斐波那契數(shù)列與黃金分割.doc

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. 斐波那契數(shù)列與黃金分割 摘要：斐波納契數(shù)列（FibonFcci Sequence），又稱黃金分割數(shù)列，指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、……在數(shù)學(xué)上，斐波納契數(shù)列以如下被以遞歸的方法定義：F0=0，F(xiàn)1=1，F(xiàn)n=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*），由意大利數(shù)學(xué)家列昂納多斐波那契發(fā)明，在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域，斐波納契數(shù)列都有直接的應(yīng)用。黃金分割這一數(shù)學(xué)概念是二千多年前由希臘數(shù)學(xué)家歐多克斯發(fā)現(xiàn)的。它不僅僅是平面幾何中的概念, 與日常生活的聯(lián)系也非常密切, 在美術(shù)、音樂、建筑等領(lǐng)域通過運(yùn)用黃金分割原理, 給我們帶來了美的享受。斐波那契數(shù)列的前一位數(shù)除以后一位數(shù)無限接近于黃金分割率，所以斐波那契數(shù)列又被稱為黃金數(shù)列。 關(guān)鍵詞：斐波那契數(shù)列 黃金分割 比值 關(guān)聯(lián) 斐波那契數(shù)列最初是由意大利數(shù)學(xué)家列昂納多斐波那契在研究小兔問題的時(shí)候發(fā)現(xiàn)并提出的。小兔問題如下：兔子出生以后兩個(gè)月就能生小兔，若每次不多不少恰好生一對（一雌一雄），假如養(yǎng)了初生的小兔一對，試問一年后共有多少對兔子（如果生下的小兔都不死）？將每個(gè)月的兔子數(shù)量都列出來就可以得到這樣的一個(gè)數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233……。 如果我們我們將表中的兔子數(shù)用{Fn}表示，下標(biāo)n表示月份數(shù)，則{Fn}稱為斐波那契數(shù)列。觀察{Fn}不難發(fā)現(xiàn)，第n+1個(gè)月時(shí)的兔子可分為兩類：一類是第n個(gè)月時(shí)的兔子；另一類是當(dāng)月新出生的小兔，而這些小兔數(shù)恰好是第n-1個(gè)月時(shí)的兔子數(shù)（它們到第n+1個(gè)月時(shí)均可生殖）.因此{(lán)Fn}之間有如下遞推關(guān)系： 由此可推出： 求此通項(xiàng)的方法有很多，在此就不一一介紹了。主要可以利用特征方程（線性代數(shù)解法）或者待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列（初等代數(shù)解法） 仔細(xì)觀察這個(gè)通項(xiàng)式，我們不難發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的事實(shí)，這樣一個(gè)完全是自然數(shù)的數(shù)列，通項(xiàng)公式卻是用無理數(shù)來表達(dá)的。而且當(dāng)n趨向于無窮大時(shí)，前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的比值越來越逼近0.618。證明過程簡要如下：F[n+2]=F[n+1]+F[n]。 　　兩邊同時(shí)除以F[n+1]得到：F[n+2]F[n+1]=1+F[n]F[n+1]。若F[n+1]F[n]的極限存在，設(shè)其極限為x，則lim[n→∞](F[n+2]F[n+1])=lim[n→∞](F[n+1]F[n])=x。 所以x=1+1/x。 　　即x=x+1。 從而： 當(dāng)看到0.618這個(gè)數(shù)字的時(shí)候相信很多人都會覺得很熟悉，沒錯(cuò)，這就是我們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常能夠看到聽到的黃金分割比！黃金分割是二千多年前由希臘數(shù)學(xué)家歐多克斯發(fā)現(xiàn)的，蘊(yùn)含著客觀的視覺美和數(shù)學(xué)的奇異之美，這是包含數(shù)學(xué)愛好者、詩人、美術(shù)家、建筑師、健美教練、生物學(xué)家在內(nèi)的許多人的共識。我們可以舉出太多的例子：埃及的金字塔、印度的泰姬陵、法國的埃菲爾鐵塔上都可以發(fā)現(xiàn)它的影子。而又因?yàn)殪巢瞧鯏?shù)列中暗含著黃金分割比，所以在生活中的很多事物都能聯(lián)系上斐波那契數(shù)列。例如，在樹木的枝干上選一片葉子，記其為數(shù)0，然后依序點(diǎn)數(shù)葉子（假定沒有折損），直到到達(dá)與那些葉子正對的位置，則其間的葉子數(shù)多半是斐波那契數(shù)。葉子從一個(gè)位置到達(dá)下一個(gè)正對的位置稱為一個(gè)循回。葉子在一個(gè)循回中旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)也是斐波那契數(shù)。在一個(gè)循回中葉子數(shù)與葉子旋轉(zhuǎn)圈數(shù)的比稱為葉序（源自希臘詞，意即葉子的排列）比。多數(shù)的葉序比呈現(xiàn)為斐波那契數(shù)的比。斐波那契數(shù)有時(shí)也稱松果數(shù)，因?yàn)檫B續(xù)的斐波那契數(shù)會出現(xiàn)在松果的左和右的兩種螺旋形走向的數(shù)目之中。這種情況在向日葵的種子盤中也會看到。菠蘿是又一種可以檢驗(yàn)斐波那契數(shù)的植物。對于菠蘿，我們可以去數(shù)一下它表面上六角形鱗片所形成的螺旋線數(shù)?？纯此晒筒ぬ}的螺旋，你不得不贊嘆大自然的奇妙！ 楊輝三角是另一個(gè)能體現(xiàn)斐波那契數(shù)列和黃金分割比密切關(guān)系的數(shù)學(xué)例子。將楊輝三角依次下降，成如圖所示排列，將同一行的數(shù)加起來，即得一數(shù)列1、1、2、3、5、8、…… 公式表示如下： F⑴=C(0,0)=1。 F⑵=C(1,0)=1。 F⑶=C(2,0)+C(1,1)=1+1=2。 F⑷=C(3,0)+C(2,1)=1+2=3。 F⑸=C(4,0)+C(3,1)+C(2,2)=1+3+1=5。 F⑹=C(5,0)+C(4,1)+C(3,2)=1+4+3=8。 F⑺=C(6,0)+C(5,1)+C(4,2)+C(3,3)=1+5+6+1=13。 …… F(n)=C(n-1,0)+C(n-2,1)+…+C(n-1-m,m) (m<=n-1-m) 看著這楊輝三角暗含的斐波那契數(shù)列和黃金分割比的完美的對稱美，你不得不贊嘆數(shù)學(xué)的神奇與非凡的魅力！ 后記：關(guān)于斐波那契數(shù)列和黃金分割的關(guān)系到這里就告一個(gè)段落，通過本次的學(xué)習(xí)思考，讓我對斐波那契數(shù)列以及數(shù)列的極限有了更加深刻的了解，也讓我體會到了數(shù)學(xué)的魅力，明白了其實(shí)數(shù)學(xué)蘊(yùn)含在生活的每個(gè)角落，用心去觀察體會思考生活，也可以發(fā)現(xiàn)許多數(shù)學(xué)的道理。同時(shí)還增強(qiáng)了我的數(shù)學(xué)思維和探究解決問題的能力，讓我獲益匪淺。 參考文獻(xiàn)：百度百科、生小兔問題——斐波那契數(shù)列（Kinsong）、黃金分割與Fibonacci數(shù)列（葉軍） 理科基礎(chǔ)班 王文濤 12123405 精選word范本！