浙江省2019年中考數學 第四單元 三角形 課時訓練21 相似三角形的應用練習 （新版）浙教版.doc

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課時訓練(二十一)　相似三角形的應用　 |夯實基礎| 1.[xx長春] 《孫子算經》是中國古代重要的數學著作,成書于約一千五百年前,其中有首歌謠:今有竿不知其長,量得影長一丈五尺,立一標桿,長一尺五寸,影長五寸,問竿長幾何?意即:有一根竹竿不知道有多長,量出它在太陽下的影子長一丈五尺,同時立一根一尺五寸的小標桿,它的影長五寸(提示:1丈=10尺,1尺=10寸),則竹竿的長為 (　　) 圖K21-1 A.五丈 B.四丈五尺 C.一丈 D.五尺 2.[xx蘭州] 如圖K21-2,小明為了測量一涼亭的高度AB(頂端A到水平地面BD的距離),在涼亭的旁邊放置一個與涼亭臺階BC等高的臺階DE(DE=BC=0.5米,A,B,C三點共線),把一面鏡子水平放置在平臺上的點G處,測得CG=15米,然后沿直線CG后退到點E處,這時恰好在鏡子里看到涼亭的頂端A,測得EG=3米,小明身高EF=1.6米,則涼亭的高度AB約為(　　) 圖K21-2 A.8.5米 B.9米 C.9.5米 D.10米 3.[xx綿陽] 為測量操場上旗桿的高度,小麗同學想到了物理學中平面鏡成像的原理,她拿出隨身攜帶的鏡子和卷尺,先將鏡子放在腳下的地面上,然后后退,直到她站直身子剛好能從鏡子里看到旗桿的頂端E,標記好腳掌中心位置為B,測得腳掌中心位置B到鏡面中心C的距離是50 cm,鏡面中心C距離旗桿底部D的距離為4 m,如圖K21-3所示.已知小麗同學的身高是1.54 m,眼睛位置A距離小麗頭頂的距離是4 cm,則旗桿DE的高度等于 (　　) 圖K21-3 A.10 m B.12 m C.12.4 m D.12.32 m 4.[xx濰坊] 在平面直角坐標系中,點P(m,n)是線段AB上一點,以原點O為位似中心把△AOB放大到原來的兩倍,則點P的對應點的坐標為 (　　) A.(2m,2n) B.(2m,2n)或(-2m,-2n) C.( 12m,12n) D.( 12m,12n)或(-12m,-12n) 5.如圖K21-4,以點O為支點的杠桿,在A端用豎直向上的拉力將重為G的物體勻速拉起,當杠桿OA水平時,拉力為F,當杠桿被拉至OA1時,拉力為F1,過點B1作B1C⊥OA,過點A1作A1D⊥OA,垂足分別為C,D.給出下列四個結論:①△OB1C∽△OA1D;②OAOC=OBOD;③OCG=ODF1;④F=F1.其中正確結論有 (　　) 圖K21-4 A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 6.如圖K21-5,數學活動小組為了測量學校旗桿AB的高度,使用長為2 m的竹竿作為測量工具,移動竹竿,使竹竿頂端的影子與旗桿頂端的影子在地面O處重合,測得OD=4 m,BD=14 m,則旗桿AB的高為　　　　m. 圖K21-5 7.[xx岳陽] 《九章算術》是我國古代數學名著,書中有下列問題:“今有勾五步,股十二步,問勾中容方幾何?”其意思為:“今有直角三角形,勾(短直角邊)長為5步,股(長直角邊)長為12步,問該直角三角形能容納的正方形邊長最大是多少步?”該問題的答案是　　　　步. 圖K21-6 8.[xx涼山州] 如圖K21-7,若要在寬AD為20米的城南大道兩邊安裝路燈,路燈的燈臂BC長2米,且與燈柱AB成120角,路燈采用圓錐形燈罩,燈罩的軸線CO與燈臂BC垂直,當燈罩的軸線CO通過公路路面的中心線時照明效果最好,此時路燈的燈柱AB高應該設計為多少米?(結果保留根號) 圖K21-7 9.課本中有一道作業(yè)題:如圖K21-8①,有一塊三角形余料ABC,它的邊BC=120 mm,高AD=80 mm.要把它加工成正方形零件,使正方形的一邊在BC上,其余兩個頂點分別在AB,AC上.問加工成的正方形零件的邊長為多少? 小穎解得此題的答案為48 mm.小穎善于反思,她又提出了如下的問題. (1)如果原題中所要加工的零件是一個矩形,且此矩形是由兩個并排放置的正方形所組成,如圖②,此時這個矩形零件的兩條邊長分別是多少? (2)如果原題中所要加工的零件只是一個矩形,如圖③,這樣,此矩形零件的兩條邊長就不能確定,但這個矩形的面積有最大值,求達到這個最大值時矩形零件的兩條邊長. 圖K21-8 |拓展提升| 10.[xx寧波] 若一個三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積,我們把這個三角形叫做比例三角形. (1)已知△ABC是比例三角形,AB=2,BC=3,請直接寫出所有滿足條件的AC的長; (2)如圖K21-9①,在四邊形ABCD中,AD∥BC,對角線BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADC,求證:△ABC是比例三角形; (3)如圖②,在(2)的條件下,當∠ADC=90時,求BDAC的值. 圖K21-9  參考答案 1.B 2.A　[解析] 由題意得∠AGC=∠FGE, ∵∠ACG=∠FEG=90, ∴△FEG∽△ACG, ∴ACFE=CGEG,∴AC1.6=153, ∴AC=8,∴AB=AC+BC=8+0.5=8.5(米). 故選A. 3.B　[解析] 由題意可得,AB=1.5 m,BC=0.5 m,DC=4 m.易得△ABC∽△EDC,則ABED=BCDC, 即1.5DE=0.54,解得DE=12 m. 故選B. 4.B　[解析] 當放大后的△AOB與△AOB在原點O同側時,點P對應點的坐標為(2m,2n);當放大后的△AOB與△AOB在原點O兩側時,點P對應點的坐標為(-2m,-2n),故選B. 5.D 6.9　[解析] 由題意可知,CD=2 m,△COD∽△AOB,OB=OD+BD=18(m),∴ODOB=CDAB,即AB=CDOBOD=2184=9(m). 7.6017　[解析] 如圖①,∵四邊形CDEF是正方形,∴CD=ED=CF.設ED=x,則CD=x,AD=12-x.∵DE∥CF,∴∠ADE=∠C,∠AED=∠B,∴△ADE∽△ACB, ∴DEBC=ADAC,∴x5=12-x12,∴x=6017. 如圖②,四邊形DGFE是正方形,過C作CP⊥AB于P,交DG于Q,設ED=y,S△ABC=12ACBC=12ABCP,則125=13CP,CP=6013,同理得:△CDG∽△CAB,∴DGAB=CQCP,∴y13=6013-y6013,y=780229<6017,∴該直角三角形能容納的正方形邊長最大是6017步,故答案為:6017. 8.解:如圖,延長OC,AB交于點P. ∵∠ABC=120,∴∠PBC=60. ∵∠OCB=∠A=90,∴∠P=30. ∵AD=20米, ∴OA=12AD=10米. ∵BC=2米, ∴在Rt△CPB中,PC=BCtan 60=23(米), PB=2BC=4米. ∵∠P=∠P,∠PCB=∠A,∴△PCB∽△PAO, ∴PCPA=BCOA,∴PA=PCOABC=23102=103(米), ∴AB=PA-PB=(103-4)米. 故路燈的燈柱AB高應該設計為(103-4)米. 9.解:(1)∵四邊形PNMQ是矩形, ∴PN∥QM,∴△APN∽△ABC,∴PNBC=AEAD. 設PQ=ED=x,則PN=2x,AE=80-x, ∴2x120=80-x80,解得x=2407,2x=4807, 即矩形零件的兩邊長分別是2407 mm和4807 mm. (2)∵四邊形PNMQ是矩形, ∴PN∥QM,∴△APN∽△ABC, ∴PNBC=AEAD.設PQ=ED=x,則PN120=80-x80, 即PN=80-x80120=3(80-x)2. ∴S矩形PNMQ=PNPQ=3(80-x)2x=-32x2+120x=-32(x-40)2+2400, ∴當x=40時,S矩形PNMQ有最大值2400, 此時PN=3(80-40)2=60(mm). ∴這個矩形的面積達到最大值時矩形零件的兩條邊長分別為40 mm和60 mm. 10.解:(1)43或92或6. (2)證明:∵AD∥BC,∴∠ACB=∠CAD. 又∵∠BAC=∠ADC, ∴△ABC∽△DCA, ∴BCCA=CAAD,即CA2=BCAD. ∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD. ∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD, ∴∠ADB=∠ABD, ∴AB=AD,∴CA2=BCAB, ∴△ABC是比例三角形. (3)如圖所示,過點A作AH⊥BD于點H. ∵AB=AD,∴BH=12BD. ∵AD∥BC,∠ADC=90, ∴∠BCD=90,∴∠BHA=∠BCD=90. ∵∠ABH=∠DBC, ∴△ABH∽△DBC,∴ABBD=BHBC, ∴ABBC=BDBH, ∴ABBC=12BD2. 又∵ABBC=AC2, ∴12BD2=AC2,∴BDAC=2.