中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第一篇 知識(shí) 方法 固基 第四單元 圖形初步與三角形 考點(diǎn)強(qiáng)化練18 相似三角形試題.doc

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考點(diǎn)強(qiáng)化練18　相似三角形 夯實(shí)基礎(chǔ) 1.(xx廣東)在△ABC中,點(diǎn)D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn),則△ADE與△ABC的面積之比為(　　) 　　　　　　　　　　　　　 A.12 B.13 C.14 D.16 答案C 解析相似三角形面積比等于相似比的平方,由中位線性質(zhì)知相似比為1∶2,所以△ADE與△ABC的面積之比為14. 2. (xx浙江義烏)學(xué)校門口的欄桿如圖所示,欄桿從水平位置BD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AC位置,已知AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分別為B,D,AO=4 m,AB=1.6 m,CO=1 m,則欄桿C端應(yīng)下降的垂直距離CD為(　　) A.0.2 m B.0.3 m C.0.4 m D.0.5 m 答案C 解析∵AB⊥BD,CD⊥BD, ∴∠ABO=∠CDO=90,∠AOB=∠COD(對(duì)頂角相等), ∴△AOB∽△COD, ∴AOAB=COCD,41.6=1CD, ∴CD=0.4m,故選C. 3. (xx四川攀枝花)如圖,D是等邊△ABC邊AB上的點(diǎn),AD=2,BD=4.現(xiàn)將△ABC折疊,使得點(diǎn)C與點(diǎn)D重合,折痕為EF,且點(diǎn)E,F分別在邊AC和BC上,則CFCE=　　　　　. 答案54 解析由題易知∠A=∠B=∠EDF=60, ∴∠AED=∠FDB. ∴△AED∽△BDF,∴EDDF=AE+ED+ADDF+BF+DB. 由翻折易知EC=ED,FC=FD, ∴CFEC=BC+BDAC+AD.∴CFEC=54. 4. (xx四川巴中)如圖,已知在△ABC中,BC邊上的高AD與AC邊上的高BE交于點(diǎn)F,且∠BAC=45,BD=6,CD=4,則△ABC的面積為　　　　　. 答案60 解析先推導(dǎo)出△ABE是等腰直角三角形,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AE=BE, 利用同角的余角相等求出∠1=∠2,然后利用“角邊角”證明△AFE和△BCE全等; 求出BC的長為6+4=10,再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AF=BC=10,然后求出△ACD和△BFD相似,設(shè)DF=x. ∵△ADC∽△BDF, ∴ADDC=BDDF,∴10+x4=6x. 整理得x2+10x-24=0,解得x=2或-12(舍棄), ∴AD=AF+DF=12, ∴S△ABC=12BCAD=121012=60. 5. (xx江蘇常州)如圖,在△ABC紙板中,AC=4,BC=2,AB=5,P是AC上一點(diǎn),過點(diǎn)P沿直線剪下一個(gè)與△ABC相似的小三角形紙板,如果有4種不同的剪法,那么AP長的取值范圍是　　　　　. 答案3≤AP<4 解析如圖(1),當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí),都有PE∥BC,PG∥AB,∠APD=∠B,有三種相似,即△CPG∽△CAB,△APE∽△ABC,△APD∽△ABC, 圖(1) 當(dāng)∠CPF=∠B時(shí),點(diǎn)F如果與B重合如圖(2), 則△CBP∽△CAB,∴CBAC=CPCB,求得CP=1, ∴PA=3, 圖(2) 所以AP的取值范圍是3≤AP<4. 6.一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長為1.5 m,斜邊AC長為2.5 m,面積為1.5 m2,工人師傅要把它加工成一個(gè)面積最大的正方形桌面,請(qǐng)甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行設(shè)計(jì)加工方案,甲設(shè)計(jì)方案如圖1,乙設(shè)計(jì)方案如圖2.你認(rèn)為哪位同學(xué)設(shè)計(jì)的方案較好?試說明理由.(加工損耗忽略不計(jì),計(jì)算結(jié)果中可保留分?jǐn)?shù)) 解甲同學(xué)設(shè)計(jì)的方案較好,理由如下: 由AB=1.5m,S△ABC=1.5m2,可得BC=2m. 圖1中,甲設(shè)計(jì)的正方形桌面邊長為xm, 由DE∥AB,得Rt△CDE∽R(shí)t△CBA. 所以DEAB=CDBC,即x1.5=2-x2. 所以3-1.5x=2x.解得x=67. 圖2中,乙設(shè)計(jì)的桌面的邊長為ym, 由ACBH=ABBC,得BH=1.2m. 因?yàn)镈E∥AC,所以Rt△BDE∽R(shí)t△BAC. 所以BPBH=DEAC.即1.2-y1.2=y2.5.解得y=3037. 因?yàn)?7=3035>3037,所以x2>y2. 所以甲同學(xué)設(shè)計(jì)的方案較好. 7.(xx山東萊蕪)已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90,D、E分別是AB、AC的中點(diǎn),將△ADE繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α(0<α<90)得到△ADE,連接BD、CE,如圖1. (1)求證:BD=CE. (2)如圖2,當(dāng)α=60時(shí),設(shè)AB與DE交于點(diǎn)F,求BFFA的值. (1)證明∵AB=AC,D、E分別是AB、AC的中點(diǎn), ∴AD=BD=AE=EC. 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:∠DAD=∠EAE=α,AD=AD,AE=AE.∴AD=AE, ∴△BDA≌△CEA,∴BD=CE. (2)解連接DD. ∵∠DAD=60,AD=AD, ∴△ADD是等邊三角形. ∴∠ADD=∠ADD=60,DD=DA=DB. ∴∠DBD=∠DDB=30,∴∠BDA=90. ∵∠DAE=90,∴∠BAE=30, ∴∠BAE=∠ABD. ∵∠BFD=∠AFE,∴△BFD∽△AFE, ∴BFAF=BDAE=BDAD. ∵在Rt△ABD中,tan∠BAD=BDAD=3, ∴BFAF=3. 8.(xx浙江寧波)從三角形(不是等腰三角形)一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交,頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形,如果分得的兩個(gè)小三角形中有一個(gè)為等腰三角形,另一個(gè)與原三角形相似,我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完美分割線. (1)如圖1,在△ABC中,CD為角平分線,∠A=40,∠B=60,求證:CD為△ABC的完美分割線; (2)在△ABC中,∠A=48,CD是△ABC的完美分割線,且△ACD為等腰三角形,求∠ACB的度數(shù); (3)如圖2,△ABC中,AC=2,BC=2,CD是△ABC的完美分割線,且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形,求完美分割線CD的長. 解(1)證明:∵∠A=40,∠B=60, ∴∠ACB=80,∴△ABC不是等腰三角形, ∵CD平分∠ACB, ∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=40, ∴∠BCD=∠A=40, 又∠A=40,∴∠A=∠ACD, ∴AD=CD,△ACD為等腰三角形, 又∵∠CBD=∠ABC, ∴△BCD∽△BAC. ∴CD是△ABC的完美分割線. (2)當(dāng)AD=CD時(shí)(如圖①), ∠ACD=∠A=48. ∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48, ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96. 當(dāng)AD=AC時(shí)(如圖②), ∠ACD=∠ADC=180-482=66. ∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48, ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114. 當(dāng)AC=CD時(shí),∠ADC=∠A=48, ∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48, 這與∠ADC>∠BCD矛盾,舍去. 綜上所述,∠ACB=96或114. (3)由已知得AC=AD=2. ∵△BCD∽△BAC, ∴BCBA=BDBC,設(shè)BD=x, 則(2)2=x(x+2),解得x=-13, ∵x>0,∴x=3-1. ∵△BCD∽△BAC,∴CDAC=BDBC=3-12, ∴CD=3-122=2(3-1)=6-2. ?導(dǎo)學(xué)號(hào)16734121? 提升能力 9. (xx內(nèi)蒙古包頭)如圖,在Rt△ACB中,∠ACB=90,AC=BC,D是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B重合),連接CD,將CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到CE,連接DE,DE與AC相交于點(diǎn)F,連接AE.下列結(jié)論: ①△ACE≌△BCD; ②若∠BCD=25,則∠AED=65; ③DE2=2CFCA; ④若AB=32,AD=2BD,則AF=53. 其中正確的結(jié)論是　　　　　.(填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)) 答案①②③ 解析①由題意易得∠BCD=∠ACE,由“邊角邊”證明△ACE≌△BCD,故①正確; ②∵△ACE≌△BCD, ∴∠CAE=∠CBD=45. ∵∠BCD=25,∴∠ACE=∠BCD=25. ∴∠AED=∠AEC-∠CED=(180-25-45)-45=65,故②正確; ③∵∠CAE=∠CED=45,∠ACE=∠FCE, ∴△ACE∽△ECF,∴ACEC=ECFC, 即EC2=ACFC. 在Rt△DCE中,DE2=2CE2=2FCAC, ∴DE2=2CFCA,故③正確; ④作DM⊥BC于點(diǎn)M,∴DM=BM=1. ∴CM=3-1=2,∴DC=CE=5. 由③可知DE2=2CFCA, ∴(2CE)2=23FC. ∴FC=106=53. ∴AF=3-53=43,故④錯(cuò)誤. 10.(xx海南)已知,如圖1,在?ABCD中,點(diǎn)E是AB中點(diǎn),連接DE并延長,交CB的延長線于點(diǎn)F. 圖1 圖2 (1)求證:△ADE≌△BFE; (2)如圖2,點(diǎn)G是邊BC上任意一點(diǎn)(點(diǎn)G不與點(diǎn)B,C重合),連接AG交DF于點(diǎn)H,連接HC,過點(diǎn)A作AK∥HC,交DF于點(diǎn)K. ①求證:HC=2AK; ②當(dāng)點(diǎn)G是邊BC中點(diǎn)時(shí),恰有HD=nHK(n為正整數(shù)),求n的值. 解(1)證明:在?ABCD中,有AD∥BC, ∴∠ADE=∠F. ∵點(diǎn)E是AB中點(diǎn),∴AE=BE. ∵∠AED=∠BEF,∴△ADE≌△BFE. (2)①在?ABCD中,有AB∥CD,AB=CD. ∴∠AEK=∠CDH,∵AK∥HC, ∴∠AKE=∠CHD,∴△AEK∽△CDH. ∴AECD=AKCH. ∵E是邊AB的中點(diǎn),∴2AE=AB=CD, ∴HC=2AK. ②當(dāng)點(diǎn)G是邊BC中點(diǎn)時(shí), 在?ABCD中,有AD∥BC,AD=BC, ∴△AHD∽△GHF, ∴ADGF=HDHF. 由(1)得,△ADE≌△BFE,∴AD=BF. ∵G是BC中點(diǎn),∴2BG=AD=BF, ∴ADGF=23=DHHF,∴DH=23HF. ∵AD∥FC,∴∠ADK=∠F.∵AK∥HC, ∴∠AKH=∠CHK,∴∠AKD=∠CHF. ∴△AKD∽△CHF. ∴ADCF=KDHF=12,∴KD=12HF,HK=HD-KD=16HF,∴HDHK=4,∴n=4. 11.(xx遼寧大連)如圖1,四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,OB=OD,OC=OA+AB,AD=m,BC=n,∠ABD+∠ADB=∠ACB. (1)填空:∠BAD與∠ACB的數(shù)量關(guān)系為　; (2)求mn的值; (3)將△ACD沿CD翻折,得到△ACD(如圖2),連接BA,與CD相交于點(diǎn)P.若CD=5+12,求PC的長. 解(1)∠BAD+∠ACB=180 (2)如圖,作DE∥AB,交AC于點(diǎn)E, 則∠DEA=∠BAE, ∠OBA=∠ODE, 又∵OB=OD, ∴△OAB≌△OED(AAS). ∴AB=DE,OA=OE. 設(shè)AB=DE=CE=x,OA=OE=y, ∵∠EDA+∠DAB=180, ∴∠EDA=∠ACB. ∵∠DEA=∠EAB,∴△EAD∽△ABC. ∴EDAC=AEAB=DACB=mn, 即xx+2y=2yx,4y2+2xy-x2=0. ∴2yx2+2yx-1=0,解得2yx=-1+52. ∴mn=5-12. (3)∵DE=CE,∠DCA=∠DCA, ∴DE∥CA. ∵AB∥DE,∴AB∥CA. ∴∠ABC+∠ACB=180. ∵△EAD∽△ACB, ∴∠DAE=∠BCA=∠DAE. ∴∠DAE+∠BCA=180,∴AD∥BC. ∴△PAD∽△PBC,∴PC=nm+nCD=1. ?導(dǎo)學(xué)號(hào)16734122? 創(chuàng)新拓展 12.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90,AC=5 cm,∠BAC=60,動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā),在BA邊上以每秒2 cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā),在CB邊上以每秒3 cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0≤t≤5),連接MN. (1)若BM=BN,求t的值; (2)若△MBN與△ABC相似,求t的值; (3)當(dāng)t為何值時(shí),四邊形ACNM的面積最小?并求出最小值. 解(1)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90,AC=5,∠BAC=60, ∴AB=10,BC=53. 由題意知BM=2t,CN=3t,BN=53-3t, 由BM=BN,得2t=53-3t. 解得t=532+3=103-15. (2)①當(dāng)△MBN∽△ABC時(shí),MBAB=BNBC, 即2t10=53-3t53.解得t=52. ②當(dāng)△NBM∽△ABC時(shí),NBAB=BMBC, 即53-3t10=2t53.解得t=157. 綜上所述,當(dāng)t=52或t=157時(shí),△MBN與△ABC相似. (3)如圖,過M作MD⊥BC于點(diǎn)D,則MD=t.設(shè)四邊形ACNM的面積為y, 則y=S△ABC-S△BMN =12ACBC-12BNMD =12553-12(53-3t)t=32t2-532t+2532 =32t-522+7583. 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)t=52時(shí), y的值最小,此時(shí),y最小=7583. ?導(dǎo)學(xué)號(hào)16734123?