中考數(shù)學(xué) 第八單元 四邊形 第28課時(shí) 矩形、菱形、正方形復(fù)習(xí)課件.ppt

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第28課時(shí)矩形 菱形 正方形 1 如圖28 1 已知菱形的邊長(zhǎng)為6 一個(gè)內(nèi)角為60 則菱形較短的對(duì)角線長(zhǎng)是 2 2014 蘇州 已知正方形ABCD的對(duì)角線AC 則正方形ABCD的周長(zhǎng)為 小題熱身 圖28 1 6 4 3 2014 重慶 如圖28 2 在矩形ABCD中 對(duì)角線AC BD相交于點(diǎn)O ACB 30 則 AOB的大小為 A 30 B 60 C 90 D 120 B 圖28 2 4 如圖28 3 在菱形ABCD中 對(duì)角線AC BD相交于點(diǎn)O 且AC BD 則圖中全等三角形有 A 4對(duì)B 6對(duì)C 8對(duì)D 10對(duì) C 圖28 3 一 必知4知識(shí)點(diǎn)1 矩形定義 有一個(gè)角是直角的 是矩形 矩形的性質(zhì)定理 1 矩形四個(gè)角都是 角 或矩形四個(gè)角相等 2 矩形對(duì)角線 矩形的判定定理 1 有三個(gè)角是直角的 是矩形 2 對(duì)角線相等的 是矩形 注意 利用 矩形的對(duì)角線相等且互相平分 這一性質(zhì)可以得出直角三角形的一個(gè)常用的性質(zhì) 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長(zhǎng)的一半 考點(diǎn)管理 平行四邊形 直 相等 四邊形 平行四邊形 智慧錦囊 1 矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì) 2 矩形的兩條對(duì)角線把矩形分成四個(gè)面積相等的等腰三角形 3 矩形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形 它有兩條對(duì)稱軸 矩形還是一個(gè)中心對(duì)稱圖形 它的對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn) 4 矩形的面積等于兩鄰邊的乘積 2 菱形定義 一組鄰邊相等的 是菱形 菱形的性質(zhì)定理 1 菱形的四條邊都 2 菱形的對(duì)角線互相 并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角 菱形的判定定理 1 四條邊都相等的 是菱形 2 對(duì)角線互相垂直的 是菱形 平行四邊形 相等 垂直平分 四邊形 平行四邊形 智慧錦囊 1 菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì) 2 菱形是中心對(duì)稱圖形 它的對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn) 菱形也是軸對(duì)稱圖形 兩條對(duì)角線所在的直線是它的對(duì)稱軸 3 因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直平分 所以其對(duì)角線將菱形分成4個(gè)全等三角形 故菱形的面積等于兩對(duì)角線乘積的 4 由于菱形是平行四邊形 所以菱形的面積 底 高 一半 3 正方形定義 有一組鄰邊相等 并且有一個(gè)直角的 形是正方形 正方形的性質(zhì) 1 正方形對(duì)邊平行 2 正方形四邊相等 3 正方形四個(gè)角都是直角 4 正方形對(duì)角線相等 互相 每條對(duì)角線平分一組對(duì)角 對(duì)稱性 正方形既是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形 對(duì)稱軸有四條 對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn) 平行四邊 垂直平分 正方形的判定定理 1 有一組鄰邊相等的 是正方形 2 有一個(gè)角是直角的 是正方形 矩形 菱形 智慧錦囊 矩形 菱形 正方形都是平行四邊形 且是特殊的平行四邊形 矩形是有一內(nèi)角為直角的平行四邊形 菱形是有一組鄰邊相等的平行四邊形 正方形既是矩形又是菱形 4 中點(diǎn)四邊形定義 順次連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形 我們稱之為中點(diǎn)四邊形 常用結(jié)論 1 任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形 2 對(duì)角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形 3 對(duì)角線互相垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形 4 對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是正方形 二 必會(huì)2方法1 平行四邊形 矩形 菱形 正方形之間的聯(lián)系 1 在平行四邊形的基礎(chǔ)上 增加條件 一個(gè)角是直角 或 對(duì)角線相等 可得矩形 2 在平行四邊形的基礎(chǔ)上 增加條件 一組鄰邊相等 或 對(duì)角線互相垂直 可得菱形 3 在平行四邊形的基礎(chǔ)上 要證明是正方形 可先證明它是矩形 再證明它是菱形或者先證明它是菱形 再證明它是矩形 即得正方形 2 活用菱形對(duì)角線的性質(zhì)解題菱形是一組鄰邊相等的平行四邊形 它是軸對(duì)稱圖形 其對(duì)稱軸是任意一條對(duì)角線 關(guān)于菱形的對(duì)角線 有如下性質(zhì) 菱形對(duì)角線互相垂直平分 并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角 靈活運(yùn)用這一特殊性質(zhì) 可以順利解決一些問題 此類題型是中考的熱點(diǎn)考題 三 必明2易錯(cuò)點(diǎn)1 在判定矩形 菱形 正方形時(shí) 要弄清是在 四邊形 還是在 平行四邊形 的基礎(chǔ)上來求證的 要熟悉各種判定定理的聯(lián)系和區(qū)別 解題時(shí)要認(rèn)真審題 通過仔細(xì)分析已知條件來確定用哪一種判定方法 2 平行四邊形 矩形 菱形 正方形的性質(zhì)與判定方法很多 很容易混淆 復(fù)習(xí)時(shí)要從這幾種圖形的定義入手 從邊 角 對(duì)角線三個(gè)角度考慮 正確掌握這幾種圖形之間的區(qū)別與聯(lián)系 類型之一菱形的性質(zhì)與判定 2015 長(zhǎng)沙 如圖28 4 在菱形ABCD中 AB 2 ABC 60 對(duì)角線AC BD相交于點(diǎn)O 將對(duì)角線AC所在的直線繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角 0 90 后得直線l 直線l與AD BC兩邊分別相交于點(diǎn)E和點(diǎn)F 1 求證 AOE COF 2 當(dāng) 30 時(shí) 求線段EF的長(zhǎng)度 圖28 4 解析 1 利用ASA證明 AOE COF 2 首先畫出 30 時(shí)的圖形 根據(jù)菱形的性質(zhì)得到EF AD 解三角形即可求出OE的長(zhǎng) 進(jìn)而得到EF的長(zhǎng) 解 1 證明 在菱形ABCD中 AD BC AO CO EAO FCO 在 AOE和 COF中 AOE COF ASA 2 AB BC 2 ABC 60 ABC是等邊三角形 AC 2 ACB 60 OC 1 30 時(shí) OF BC 1 如圖28 5 菱形ABCD中 AB 4 B 60 AE BC AF CD 垂足分別為E F 連結(jié)EF 則 AEF的面積是 解析 四邊形ABCD是菱形 BC CD B D 60 AE BC AF CD S菱形ABCD BC AE CD AF BAE DAF 30 AE AF 圖28 5 變式跟進(jìn)1答圖 B 60 BAD 120 EAF 120 30 30 60 AEF是等邊三角形 AE EF AEF 60 AB 4 2 2015 荊門 已知 如圖28 6 在四邊形ABCD中 AB CD E F為對(duì)角線AC上兩點(diǎn) 且AE CF DF BE AC平分 BAD 求證 四邊形ABCD為菱形 解析 首先證得 ABE CDF 得到AB CD 從而得到四邊形ABCD是平行四邊形 然后證得AD CD 利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形進(jìn)行證明 證明 AB CD BAE DCF DF BE DFE BEF 圖28 6 AEB CFD 又 AE CF ABE CDF ASA AB CD AB CD 四邊形ABCD是平行四邊形 AC平分 BAD BAE DAF BAE DCF DAF DCF AD CD 四邊形ABCD是菱形 點(diǎn)悟 菱形的四邊相等 有一個(gè)角是60 的菱形可以被一條對(duì)角線分成兩個(gè)等邊三角形 類型之二矩形的性質(zhì)與判定 2015 聊城 如圖28 7 在 ABC中 AB BC BD平分 ABC 四邊形ABED是平行四邊形 DE交BC于點(diǎn)F 連結(jié)CE 求證 四邊形BECD是矩形 解析 根據(jù)已知條件易推知四邊形BECD是平行四邊形 結(jié)合等腰 ABC 三線合一 的性質(zhì)證得BD AC 即 BDC 90 所以由 有一內(nèi)角為直角的平行四邊形是矩形 得到 BECD是矩形 圖28 7 證明 AB BC BD平分 ABC BD AC AD CD 四邊形ABED是平行四邊形 BE AD BE AD BE CD 四邊形BECD是平行四邊形 BD AC BDC 90 BECD是矩形 點(diǎn)悟 證明一個(gè)四邊形是矩形 一般常用的方法是 1 有三個(gè)角是直角的四邊形 2 有一個(gè)角是直角的平行四邊形 3 對(duì)角線相等的平行四邊形 2015 內(nèi)江 如圖28 8 將 ABCD的邊AB延長(zhǎng)至點(diǎn)E 使AB BE 連結(jié)DE EC DE交BC于點(diǎn)O 1 求證 ABD BEC 2 連結(jié)BD 若 BOD 2 A 求證 四邊形BECD是矩形 解析 1 根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)得到四邊形BECD為平行四邊形 然后由SSS推出兩三角形全等即可 2 欲證明四邊形BECD是矩形 只需推知BC ED 圖28 8 證明 1 在平行四邊形ABCD中 AD BC AB CD AB CD 則BE CD 又 AB BE BE DC 四邊形BECD為平行四邊形 BD EC ABD BEC SSS 2 由 1 知 四邊形BECD為平行四邊形 則OD OE OC OB 四邊形ABCD為平行四邊形 A BCD 即 A OCD 又 BOD 2 A BOD OCD ODC OCD ODC OC OD OC OB OD OE 即BC ED 平行四邊形BECD為矩形 類型之三正方形的性質(zhì)與判定 2015 涼山 如圖28 9 在正方形ABCD中 G是BC上任意一點(diǎn) 連結(jié)AG DE AG于E BF DE交AG于F 探究線段AF BF EF三者之間的數(shù)量關(guān)系 并說明理由 解 AF BF EF 理由如下 如答圖 四邊形ABCD是正方形 AB AD BAD 90 1 2 90 DE AG AED 90 2 3 90 圖28 9 例3答圖 1 3 BF DE BFA AED DEF 90 ABF DAE AAS AE BF AF AE EF AF BF EF 2014 紹興 1 如圖28 10 正方形ABCD中 點(diǎn)E F分別在邊BC CD上 EAF 45 延長(zhǎng)CD到點(diǎn)G 使DG BE 連結(jié)EF AG 求證 EF FG 2 如圖28 10 等腰直角三角形ABC中 BAC 90 AB AC 點(diǎn)M N在邊BC上 且 MAN 45 若BM 1 CN 3 求MN的長(zhǎng) 圖28 10 解 1 證明 正方形ABCD中 DG BE AB AD B ADG ABE ADG SAS BAE DAG AE AG EAF 45 BAD 90 BAE EAD EAD DAG EAG 90 GAF EAF 45 AEF AGF SAS EF FG 2 如答圖 過點(diǎn)A作AK AM于點(diǎn)A 取AK AM 連結(jié)NK CK MAK 90 BAC 90 1 2 MAN 45 2 3 1 3 90 MAN 45 MAN NAK AB AC 變式跟進(jìn)答圖 ABM ACK AMN AKN BAC 90 AB AC B 4 45 5 B 45 CK BM 1 NK MN 4 5 90 類型之四平行四邊形的折疊問題 2014 成都 如圖28 11 在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中 A 60 M是AD邊的中點(diǎn) N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn) 將 AMN沿MN所在的直線翻折得到 A MN 連結(jié)A C 則A C長(zhǎng)度的最小值是 圖28 11 解析 如答圖所示 MA 是定值 A C長(zhǎng)度最小時(shí) A 在MC上 過點(diǎn)M作MF DC于點(diǎn)F 在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中 A 60 CD 2 ADC 120 FDM 60 FMD 30 例4答圖 1 如圖28 12 將矩形ABCD沿對(duì)角線BD折疊 使點(diǎn)C與點(diǎn)C 重合 若AB 2 則C D的長(zhǎng)為 A 1B 2C 3D 4 解析 在矩形ABCD中 CD AB 矩形ABCD沿對(duì)角線BD折疊后點(diǎn)C和點(diǎn)C 重合 C D CD C D AB AB 2 C D 2 故選B B 圖28 12 2 如圖28 13 將長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊 使邊DC落在對(duì)角線AC上 折痕為CE 且D點(diǎn)落在D 處 若AB 3 AD 4 則ED的長(zhǎng)為 A 圖28 13 解析 AB 3 AD 4 DC 3 根據(jù)折疊可得 DEC D EC D C DC 3 DE D E 設(shè)ED x 則D E x AD AC CD 2 AE 4 x 在Rt AED 中 AD 2 D E 2 AE2 22 x2 4 x 2 C 圖28 14 陰影部分的周長(zhǎng) A D A H BH BC CG D G AD AB BC CD 2 4 8 變式跟進(jìn)3答圖 4 2014 上海 如圖28 15 已知在矩形ABCD中 點(diǎn)E在邊BC上 BE 2CE 將矩形沿著過點(diǎn)E的直線翻折后 點(diǎn)C D分別落在邊BC下方的點(diǎn)C D 處 且點(diǎn)C D B在同一條直線上 折痕與邊AD交于點(diǎn)F D F與BE交于點(diǎn)G 設(shè)AB t 那么 EFG的周長(zhǎng)為 用含t的代數(shù)式表示 圖28 15 解析 由翻折的性質(zhì)得 CE C E BE 2CE BE 2C E 又 C C 90 EBC 30 FD C D 90 BGD 60 FGE BGD 60 AD BC AFG FGE 60 變式跟進(jìn)4答圖 EFG是等邊三角形 AB t 點(diǎn)悟 折疊的實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱 折疊前后對(duì)應(yīng)部分重合 即對(duì)應(yīng)角相等 對(duì)應(yīng)邊相等 對(duì)應(yīng)圖形全等 特殊平行四邊形判定錯(cuò)誤診斷 廣州中考 在平面中 下列命題為真命題的是 A 四邊相等的四邊形是正方形B 對(duì)角線相等的四邊形是菱形C 四個(gè)角相等的四邊形是矩形D 對(duì)角線互相垂直的四邊形是平行四邊形 錯(cuò)解 A或B或D 錯(cuò)因 A 四邊相等的四邊形不一定是正方形 例如菱形 故此選項(xiàng)錯(cuò)誤 B 對(duì)角線相等的四邊形不是菱形 例如矩形 等腰梯形 故此選項(xiàng)錯(cuò)誤 C 四個(gè)角相等的四邊形是矩形 故此選項(xiàng)正確 D 對(duì)角線互相垂直的四邊形不一定是平行四邊形 如答圖所示 故此選項(xiàng)錯(cuò)誤 正解 C 易錯(cuò)警示答圖