矢量分析.ppt

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本章內(nèi)容1 1矢量代數(shù)1 2三種常用的正交曲線坐標(biāo)系1 3標(biāo)量場(chǎng)的梯度1 4矢量場(chǎng)的通量與散度1 5矢量場(chǎng)的環(huán)流和旋度1 6無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng)1 7拉普拉斯運(yùn)算與格林定理1 8亥姆霍茲定理 第一章矢量分析 1 標(biāo)量和矢量 矢量的大小或模 矢量的單位矢量 標(biāo)量 一個(gè)只用大小描述的物理量 矢量的代數(shù)表示 1 1矢量代數(shù) 矢量 一個(gè)既有大小又有方向特性的物理量 常用黑體字母或帶箭頭的字母表示 矢量的幾何表示 一個(gè)矢量可用一條有方向的線段來(lái)表示 注意 單位矢量不一定是常矢量 常矢量 大小和方向均不變的矢量 矢量用坐標(biāo)分量表示 1 矢量的加減法 兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線 如圖所示 矢量的加減符合交換律和結(jié)合律 2 矢量的代數(shù)運(yùn)算 在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法 結(jié)合律 交換律 2 標(biāo)量乘矢量 3 矢量的標(biāo)積 點(diǎn)積 矢量的標(biāo)積符合交換律 4 矢量的矢積 叉積 用坐標(biāo)分量表示為 寫成行列式形式為 若 則 若 則 5 矢量的混合運(yùn)算 分配律 分配律 標(biāo)量三重積 矢量三重積 三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過(guò)三條相互正交曲線的交點(diǎn)來(lái)確定 三條正交曲線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系 稱為正交曲線坐標(biāo)系 三條正交曲線稱為坐標(biāo)軸 描述坐標(biāo)軸的量稱為坐標(biāo)變量 1 2三種常用的正交曲線坐標(biāo)系 1 直角坐標(biāo)系 位置矢量 面元矢量 線元矢量 體積元 坐標(biāo)變量 坐標(biāo)單位矢量 坐標(biāo)變量 坐標(biāo)單位矢量 位置矢量 線元矢量 體積元 面元矢量 圓柱坐標(biāo)系 圓柱坐標(biāo)系中的線元 面元和體積元 2 圓柱坐標(biāo)系 坐標(biāo)變量 坐標(biāo)單位矢量 位置矢量 線元矢量 體積元 面元矢量 球坐標(biāo)系 球坐標(biāo)系中的線元 面元和體積元 3 球坐標(biāo)系 直角坐標(biāo)與圓柱坐標(biāo)系 圓柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)系 直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)系 4 坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系 如果物理量是標(biāo)量 稱該場(chǎng)為標(biāo)量場(chǎng) 例如 溫度場(chǎng) 電位場(chǎng) 高度場(chǎng)等 如果物理量是矢量 稱該場(chǎng)為矢量場(chǎng) 例如 流速場(chǎng) 重力場(chǎng) 電場(chǎng) 磁場(chǎng)等 如果場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān) 稱為靜態(tài)場(chǎng) 反之為時(shí)變場(chǎng) 確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對(duì)應(yīng) 稱在該區(qū)域上定義了一個(gè)場(chǎng) 標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng) 1 3標(biāo)量場(chǎng)的梯度 時(shí)變標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為 從數(shù)學(xué)上看 場(chǎng)是定義在空間區(qū)域上的函數(shù) 靜態(tài)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為 1 3標(biāo)量場(chǎng)的梯度 1 標(biāo)量場(chǎng)的等值面 等值面 標(biāo)量場(chǎng)取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空間形成的曲面 等值面方程 常數(shù)C取一系列不同的值 就得到一系列不同的等值面 形成等值面族 標(biāo)量場(chǎng)等值面充滿場(chǎng)所在的整個(gè)空間 標(biāo)量場(chǎng)的等值面互不相交 等值面的特點(diǎn) 意義 形象直觀地描述了物理量在空間的分布狀態(tài) 意義 方向?qū)?shù)表示場(chǎng)沿某方向的空間變化率 概念 u M 沿方向增加 u M 沿方向減小 u M 沿方向無(wú)變化 特點(diǎn) 方向?qū)?shù)既與點(diǎn)M0有關(guān) 也與方向有關(guān) 問(wèn)題 在什么方向上變化率最大 其最大的變化率為多少 2 方向?qū)?shù) 梯度的表達(dá)式 圓柱坐標(biāo)系 球坐標(biāo)系 直角坐標(biāo)系 意義 描述標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向 概念 其中取得最大值的方向 3 標(biāo)量場(chǎng)的梯度 gradu或 標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量場(chǎng) 它在空間某點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場(chǎng)變化最大 增大 的方向 其數(shù)值表示變化最大方向上場(chǎng)的空間變化率 標(biāo)量場(chǎng)在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù) 是梯度在該方向上的投影 梯度運(yùn)算的基本公式 標(biāo)量場(chǎng)的梯度垂直于通過(guò)該點(diǎn)的等值面 或切平面 梯度的性質(zhì) 解 1 由梯度計(jì)算公式 可求得P點(diǎn)的梯度為 設(shè)一標(biāo)量函數(shù) x y z x2 y2 z描述了空間標(biāo)量場(chǎng) 求 1 該函數(shù) 在點(diǎn)P 1 1 1 處的梯度 以及表示該梯度方向的單位矢量 2 求該函數(shù) 沿單位矢量方向的方向?qū)?shù) 并以點(diǎn)P 1 1 1 處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較 得出相應(yīng)結(jié)論 例1 2 1 表征其方向的單位矢量 2 由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知 沿el方向的方向?qū)?shù)為 而該點(diǎn)的梯度值為 顯然 梯度描述了P點(diǎn)處標(biāo)量函數(shù) 的最大變化率 即最大的方向?qū)?shù) 故恒成立 對(duì)于給定的P點(diǎn) 上述方向?qū)?shù)在該點(diǎn)取值為 1 矢量線 意義 形象直觀地描述了矢量場(chǎng)的空間分布狀態(tài) 矢量線方程 概念 矢量線是這樣的曲線 其上每一點(diǎn)的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場(chǎng)的方向 1 4矢量場(chǎng)的通量與散度 問(wèn)題 如何定量描述矢量場(chǎng)的大小 引入通量的概念 通量的概念 面積元的法向單位矢量 穿過(guò)面積元的通量 如果曲面S是閉合的 則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合曲面內(nèi)指向外 矢量場(chǎng)對(duì)閉合曲面的通量是 2 矢量場(chǎng)的通量 通過(guò)閉合曲面有凈的矢量線穿出 有凈的矢量線進(jìn)入 進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等 矢量場(chǎng)通過(guò)閉合曲面通量的三種可能結(jié)果 閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場(chǎng)通過(guò)閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源的關(guān)系 通量的物理意義 為了定量研究場(chǎng)與源之間的關(guān)系 需建立場(chǎng)空間任意點(diǎn) 小體積元 的通量源與矢量場(chǎng) 小體積元曲面的通量 的關(guān)系 利用極限方法得到這一關(guān)系 稱為矢量場(chǎng)的散度 散度是矢量通過(guò)包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限 3 矢量場(chǎng)的散度 圓柱坐標(biāo)系 球坐標(biāo)系 直角坐標(biāo)系 散度的有關(guān)公式 散度的表達(dá)式 由此可知 穿出前 后兩側(cè)面的凈通量值為 不失一般性 令包圍P點(diǎn)的微體積 V為一直平行六面體 如圖所示 則 直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo) 根據(jù)定義 則得到直角坐標(biāo)系中的散度表達(dá)式為 同理 分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量 并合成之 即得由點(diǎn)P穿出該六面體的凈通量為 從散度的定義出發(fā) 可以得到矢量場(chǎng)在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場(chǎng)的散度的體積分 即 散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個(gè)變換關(guān)系 在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用 4 散度定理 1 矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋渦源 例如 流速場(chǎng) 不是所有的矢量場(chǎng)都由通量源激發(fā) 存在另一類不同于通量源的矢量源 它所激發(fā)的矢量場(chǎng)的力線是閉合的 它對(duì)于任何閉合曲面的通量為零 但在場(chǎng)所定義的空間中閉合路徑的積分不為零 1 5矢量場(chǎng)的環(huán)流和旋度 如磁場(chǎng)沿任意閉合曲線的積分與通過(guò)閉合曲線所圍曲面的電流成正比 即 上式建立了磁場(chǎng)的環(huán)流與電流的關(guān)系 如果矢量場(chǎng)的任意閉合回路的環(huán)流恒為零 稱該矢量場(chǎng)為無(wú)旋場(chǎng) 又稱為保守場(chǎng) 矢量場(chǎng)對(duì)于閉合曲線C的環(huán)流定義為該矢量對(duì)閉合曲線C的線積分 即 如果矢量場(chǎng)對(duì)于任何閉合曲線的環(huán)流不為零 稱該矢量場(chǎng)為有旋矢量場(chǎng) 能夠激發(fā)有旋矢量場(chǎng)的源稱為旋渦源 電流是磁場(chǎng)的旋渦源 環(huán)流的概念 矢量場(chǎng)的環(huán)流給出了矢量場(chǎng)與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源宏觀聯(lián)系 為了給出空間任意點(diǎn)矢量場(chǎng)與旋渦源的關(guān)系 引入矢量場(chǎng)的旋度 1 環(huán)流面密度 稱為矢量場(chǎng)在點(diǎn)M處沿方向的環(huán)流面密度 特點(diǎn) 其值與點(diǎn)M處的方向有關(guān) 過(guò)點(diǎn)M作一微小曲面 S 它的邊界曲線記為C 曲面的法線方向與曲線的繞向成右手螺旋法則 當(dāng) S 0時(shí) 極限 2 矢量場(chǎng)的旋度 而 推導(dǎo)的示意圖如圖所示 直角坐標(biāo)下旋度分量的表達(dá)式 于是 同理可得 故得 概念 矢量場(chǎng)在M點(diǎn)處的旋度為一矢量 其數(shù)值為M點(diǎn)的環(huán)流面密度最大值 其方向?yàn)槿〉铆h(huán)量密度最大值時(shí)面積元的法線方向 即 物理意義 旋渦源密度矢量 性質(zhì) 2 矢量場(chǎng)的旋度 旋度的計(jì)算公式 旋度的有關(guān)公式 斯托克斯定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個(gè)變換關(guān)系式 也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用 從旋度的定義出發(fā) 可以得到矢量場(chǎng)沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場(chǎng)的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量 即 3 斯托克斯定理 4 散度和旋度的區(qū)別 1 矢量場(chǎng)的源 散度源 是標(biāo)量 產(chǎn)生的矢量場(chǎng)在包圍源的封閉面上的通量等于 或正比于 該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和 源在一給定點(diǎn)的 體 密度等于 或正比于 矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的散度 旋度源 是矢量 產(chǎn)生的矢量場(chǎng)具有渦旋性質(zhì) 穿過(guò)一曲面的旋度源等于 或正比于 沿此曲面邊界的閉合回路的環(huán)量 在給定點(diǎn)上 這種源的 面 密度等于 或正比于 矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的旋度 1 6無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng) 1 無(wú)旋場(chǎng) 性質(zhì) 線積分與路徑無(wú)關(guān) 是保守場(chǎng) 僅有散度源而無(wú)旋度源的矢量場(chǎng) 無(wú)旋場(chǎng)可以用標(biāo)量場(chǎng)的梯度表示為 例如 靜電場(chǎng) 2 矢量場(chǎng)按源的分類 2 無(wú)散場(chǎng) 僅有旋度源而無(wú)散度源的矢量場(chǎng) 即 性質(zhì) 無(wú)散場(chǎng)可以表示為另一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度 例如 恒定磁場(chǎng) 3 無(wú)旋 無(wú)散場(chǎng) 源在所討論的區(qū)域之外 4 有散 有旋場(chǎng) 這樣的場(chǎng)可分解為兩部分 無(wú)旋場(chǎng)部分和無(wú)散場(chǎng)部分 1 拉普拉斯運(yùn)算 標(biāo)量拉普拉斯運(yùn)算 概念 拉普拉斯算符 直角坐標(biāo)系 計(jì)算公式 圓柱坐標(biāo)系 球坐標(biāo)系 1 7拉普拉斯運(yùn)算與格林定理 矢量拉普拉斯運(yùn)算 概念 即 注意 對(duì)于非直角分量 直角坐標(biāo)系中 如 設(shè)任意兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng) 及 若在區(qū)域V中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù) 那么 可以證明該兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng) 及 滿足下列等式 根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系 上式又可寫成 以上兩式稱為標(biāo)量第一格林定理 式中S為包圍V的閉合曲面 為標(biāo)量場(chǎng) 在S表面的外法線方向上的偏導(dǎo)數(shù) 2 格林定理 基于上式還可獲得下列兩式 上兩式稱為標(biāo)量第二格林定理 格林定理說(shuō)明了區(qū)域V中的場(chǎng)與邊界S上的場(chǎng)之間的關(guān)系 因此 利用格林定理可以將區(qū)域中場(chǎng)的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄?chǎng)的求解問(wèn)題 此外 格林定理反映了兩種標(biāo)量場(chǎng)之間滿足的關(guān)系 因此 如果已知其中一種場(chǎng)的分布 即可利用格林定理求解另一種場(chǎng)的分布 格林定理廣泛地用于電磁理論 亥姆霍茲定理 若矢量場(chǎng)在無(wú)限空間中處處單值 且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界 源分布在有限區(qū)域中 則當(dāng)矢量場(chǎng)的散度及旋度給定后 該矢量場(chǎng)可表示為 式中 亥姆霍茲定理表明 在無(wú)界空間區(qū)域 矢量場(chǎng)可由其散度及旋度確定 1 8亥姆霍茲定理 有界區(qū)域 在有界區(qū)域 矢量場(chǎng)不但與該區(qū)域中的散度和旋度有關(guān) 還與區(qū)域邊界上矢量場(chǎng)的切向分量和法向分量有關(guān) TheEnd