控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù).ppt

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第三節(jié) 控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 第三節(jié)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 一 傳遞函數(shù)的概念二 傳遞函數(shù)的性質(zhì)三 典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù) 引言 控制系統(tǒng)的微分方程 是在時(shí)域描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型 在給定外作用及初始條件下 求解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出響應(yīng) 但系統(tǒng)中某個(gè)參數(shù)變化或者結(jié)構(gòu)形式改變 便需要重新列寫并求解微分方程 傳遞函數(shù) 對線性常微分方程進(jìn)行拉氏變換 得到的系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型為傳遞函數(shù) 傳遞函數(shù)不僅可以表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性 而且可以研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響 傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最基本也是最重要的概念 一 傳遞函數(shù)的概念 圖2 14所示的RC電路中電容的端電壓uc t 根據(jù)克?；舴蚨?可列寫如下微分方程 2 60 2 61 消去中間變量i t 得到輸入ur t 與輸出uc t 之間的線性定常微分方程 2 62 圖2 14RC電路 現(xiàn)在對上述微分方程兩端進(jìn)行拉氏變換 并考慮電容上的初始電壓uc 0 得 2 63 式中Uc s 輸出電uc t 的拉氏變換 Ur s 輸入電壓ur t 的拉氏變換 當(dāng)輸入為階躍電壓ur t u0 1 t 時(shí) 對Uc s 求拉氏反變換 即得uc t 的變化規(guī)律 由上式求出Uc s 的表達(dá)式 2 64 2 65 式中第一項(xiàng)稱為零狀態(tài)響應(yīng) 由ur t 決定的分量 第二項(xiàng)稱為零輸入響應(yīng) 由初始電壓uc 0 決定的分量 圖2 15表示各分量的變化曲線 電容電壓uc t 即為兩者的合成 圖2 15RC網(wǎng)絡(luò)的階躍響應(yīng)曲線 在式 2 65 中 如果把初始電壓uc 0 也視為一個(gè)輸入作用 則根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理 可以分別研究在輸入電壓ur t 和初始電壓uc 0 作用時(shí) 電路的輸出響應(yīng) 若uc 0 0 則有 2 66 當(dāng)輸入電壓ur t 一定時(shí) 電路輸出響應(yīng)的拉氏變換Uc s 完全由1 RCs 1 所確定 式 2 66 亦可寫為 2 67 當(dāng)初始電壓為零時(shí) 電路輸出響應(yīng)的象函數(shù)與輸入電壓的象函數(shù)之比 是一個(gè)只與電路結(jié)構(gòu)及參數(shù)有關(guān)的函數(shù) 用式 2 67 來表征電路本身特性 稱做傳遞函數(shù) 記為 式中T RC 顯然 傳遞函數(shù)G s 確立了電路輸入電壓與輸出電壓之間的關(guān)系 圖2 16傳遞函數(shù) 傳遞函數(shù)可用圖2 16表示 該圖表明了電路中電壓的傳遞關(guān)系 即輸入電壓Ur s 經(jīng)過G s 的傳遞 得到輸出電壓Uc s G s Ur s 對傳遞函數(shù)作如下定義 線性 或線性化 定常系統(tǒng)在零初始條件下 輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比稱為傳遞 函數(shù) 若線性定常系統(tǒng)由下述n階微分方程描述 2 68 式中c t 是系統(tǒng)輸出量 r t 是系統(tǒng)輸入量 a0 a1 an b0 b1 bm是與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)的常系數(shù) 令C s L c t R s L r t 在初始條件為零時(shí) 對式 2 68 進(jìn)行拉氏變換 可得到s的代數(shù)方程 ansn an 1sn 1 a1s a0 C s bmsm bm 1sm 1 b1s b0 R s 由傳遞函數(shù)的定義 由式 2 68 描述的線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 式中M s bmsm bm 1sm 1 b1s b0為傳遞函數(shù)的分子多項(xiàng)式 D s ansn an 1sn 1 a1s a0為傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式 2 69 傳遞函數(shù)是在初始條件為零 或稱零初始條件 時(shí)定義的 控制系統(tǒng)的零初始條件有兩方面的含義 一系統(tǒng)輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)在t 0時(shí)的值均為零 二系統(tǒng)輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)在t 0時(shí)的值也為零 二 傳遞函數(shù)的性質(zhì) 從線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)的定義式 2 69 可知 傳遞函數(shù)具有以下性質(zhì) 1 傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù) 分子的階數(shù)m低于或等于分母的階數(shù)n m n 且所有系數(shù)均為實(shí)數(shù) 2 傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)和元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù) 與外作用及初始條件無關(guān) 2 70 2 70 3 傳遞函數(shù)的零 極點(diǎn)分布圖也表征了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能 將式 2 69 中分子多項(xiàng)式及分母多項(xiàng)式因式分解后 寫為如下形式 式中k為常數(shù) z1 zm為傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式方程的m個(gè)根 稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn) p1 pn為分母多項(xiàng)式方程的n個(gè)根 稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn) 一般zi pi可為實(shí)數(shù) 也可為復(fù)數(shù) 且若為復(fù)數(shù) 必共軛成對出現(xiàn) 將零 極點(diǎn)標(biāo)在復(fù)平面上 則得傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)分布圖 如圖2 17所示 圖中零點(diǎn)用 表示 極點(diǎn)用 表示 圖2 17G s 零極點(diǎn)分布圖 4 若取式 2 69 中s 0 則 常稱為傳遞系數(shù) 或靜態(tài)放大系數(shù) 從微分方程式 2 68 看 s 0相當(dāng)于所有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)為零 方程蛻變?yōu)殪o態(tài)方程 或 b0 a0恰為輸出輸入時(shí)靜態(tài)比值 5 傳遞函數(shù)無法全面反映信號傳遞通路中的中間變量 多輸入多輸出系統(tǒng)各變量間的關(guān)系要用傳遞函數(shù)陣表示 三 典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù) 控制系統(tǒng)從動(dòng)態(tài)性能或數(shù)學(xué)模型來看可分成為以下幾種基本環(huán)節(jié) 也就是典型環(huán)節(jié) 一 比例環(huán)節(jié) 比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 G s K 2 71 輸出量與輸入量成正比 比例環(huán)節(jié)又稱為無慣性環(huán)節(jié)或放大環(huán)節(jié) 圖2 18比例環(huán)節(jié) 圖2 18 a 所示為一電位器 輸入量和輸出量關(guān)系如圖2 18 b 所示 二 慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為如下形式的環(huán)節(jié)為慣性環(huán)節(jié) 2 72 當(dāng)環(huán)節(jié)的輸入量為單位階躍函數(shù)時(shí) 環(huán)節(jié)的輸出量將按指數(shù)曲線上升 具有慣性 如圖2 19 a 所示 式中K 環(huán)節(jié)的比例系數(shù) T 環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù) 圖2 19慣性環(huán)節(jié) 三 積分環(huán)節(jié)它的傳遞函數(shù)為 2 73 當(dāng)積分環(huán)節(jié)的輸入為單位階躍函數(shù)時(shí) 則輸出為t T 它隨著時(shí)間直線增長 T稱為積分時(shí)間常數(shù) T很大時(shí)慣性環(huán)節(jié)的作用就近似一個(gè)積分環(huán)節(jié) 圖2 20 b 為積分調(diào)節(jié)器 積分時(shí)間常數(shù)為RC 圖2 20積分環(huán)節(jié) 四 微分環(huán)節(jié) 理想微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為 G s Ts 2 74 輸入是單位階躍函數(shù)1 t 時(shí) 理想微分環(huán)節(jié)的輸出為c t Td t 是個(gè)脈沖函數(shù) 在實(shí)際系統(tǒng)中 微分環(huán)節(jié)常帶有慣性 它的傳遞函數(shù)為 理想微分環(huán)節(jié)的實(shí)例示于圖2 21 a b a 為測速發(fā)電機(jī) 圖中 b 為微分運(yùn)算放大器 2 75 它由理想微分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)組成 如圖2 21 c d 所示 在低頻時(shí)近似為理想微分環(huán)節(jié) 否則就有式 2 75 的傳遞函數(shù) 圖2 21微分環(huán)節(jié) 五 振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 2 76 式中wn 無阻尼自然振蕩頻率 wn 1 T z 阻尼比 0 z 1 圖2 22所示為單位階躍函數(shù)作用下的響應(yīng)曲線 圖2 22振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)曲線 六 延滯環(huán)節(jié)延滯環(huán)節(jié)是線性環(huán)節(jié) t稱為延滯時(shí)間 又稱死時(shí) 具有延滯環(huán)節(jié)的系統(tǒng)叫做延滯系統(tǒng) 如圖2 23所示 當(dāng)輸入為階躍信號 輸出要隔一定時(shí)間t后才出現(xiàn)階躍信號 在0 1 t內(nèi) 輸出為零 圖2 23延滯環(huán)節(jié) 延滯環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)可求之如下 c t r t t 其拉氏變換為 式中x t t 所以延滯環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)具有延滯環(huán)節(jié)對系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利 延滯越大 影響越大 2 77