高中數(shù)學必修1基本初等函數(shù)常考題型：對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)

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對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì) 【知識梳理】 1．對數(shù)函數(shù)的定義 函數(shù) (，且)叫做對數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是． 2．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 圖象 性質(zhì) 定義域： 值域： 過點，即當時， 在上是增函數(shù) 在上是減函數(shù) 3．對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關系 指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)(，且)互為反函數(shù)． 【?？碱}型】 題型一、對數(shù)函數(shù)的概念 【例1】　判斷下列函數(shù)是否是對數(shù)函數(shù)？并說明理由． ①(，且)； ②； ③； ④(，且)； ⑤. [解]　∵①中真數(shù)不是自變量， ∴不是對數(shù)函數(shù)； ∵②中對數(shù)式后減，∴不是對數(shù)函數(shù)； ∵③中前的系數(shù)是，而不是， ∴不是對數(shù)函數(shù)； ∵④中底數(shù)是自變量，而非常數(shù)， ∴不是對數(shù)函數(shù)． ⑤為對數(shù)函數(shù)． 【類題通法】 判斷一個函數(shù)是否為對數(shù)函數(shù)的方法 判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)必須是形如(且)的形式，即必須滿足以下條件： ①系數(shù)為. ②底數(shù)為大于且不等于的常數(shù)． ③對數(shù)的真數(shù)僅有自變量. 【對點訓練】 函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，則實數(shù)________. 解析：，解得或. 又，且，∴. 答案： 題型二、對數(shù)函數(shù)的圖象 【例2】　(1)函數(shù)(，且)的圖象恒過點________． (2)如圖所示的曲線是對數(shù)函數(shù)，，，的圖象，則，，，與的大小關系為________． [解析]　(1)因為函數(shù)(，且)的圖象恒過點，則令得，此時， 所以函數(shù)(，且)的圖象恒過點． (2)由圖可知函數(shù)，的底數(shù)，，函數(shù)，的底數(shù),. 過點作平行于軸的直線，則直線與四條曲線交點的橫坐標從左向右依次為，，，，顯然. [答案]　(1)　 (2) 【類題通法】 1．對數(shù)函數(shù)圖象過定點問題 求函數(shù)(，且)的圖象過的定點時，只需令求出，即得定點為． 2．對數(shù)函數(shù)圖象的判斷 根據(jù)對數(shù)函數(shù)圖象判斷底數(shù)大小的方法： 作直線與所給圖象相交，交點的橫坐標即為各個底數(shù)，依據(jù)在第一象限內(nèi)，自左向右，圖象對應的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大，可比較底數(shù)的大?。? 【對點訓練】 已知，且，則函數(shù)與的圖象只能是(　　) 解析：選B　法一：若，則函數(shù)的圖象下降且過點，而函數(shù)的圖象上升且過點，以上圖象均不符合． 若，則函數(shù)的圖象上升且過點，而函數(shù)的圖象下降且過點，只有B中圖象符合． 法二：首先指數(shù)函數(shù)的圖象只可能在上半平面，函數(shù)的圖象只可能在左半平面，從而排除A，C；再看單調(diào)性，與的單調(diào)性正好相反，排除D.只有B中圖象符合. 題型三、與對數(shù)函數(shù)有關的定義域問題 【例3】　求下列函數(shù)的定義域 (1)；(2)； (3)；(4) [解]　(1)要使函數(shù)式有意義，需，解得，所以函數(shù)的定義域是． (2)要使函數(shù)式有意義，需，解得，且，所以函數(shù)的定義域是． (3)要使函數(shù)式有意義，需，解得，且，所以函數(shù)的定義域是． (4)要使函數(shù)式有意義，需，解得，所以函數(shù) 的定義域是． 【類題通法】 求對數(shù)函數(shù)定義域應注意的問題 定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合，求與對數(shù)函數(shù)有關的定義域問題時，要注意對數(shù)函數(shù)的概念，若自變量在真數(shù)上，則必須保證真數(shù)大于；若自變量在底數(shù)上，應保證底數(shù)大于且不等于. 【對點訓練】 求下列函數(shù)的定義域： (1)； (2)； (3)； (4)． 解：(1)要使函數(shù)式有意義，需，解得，且. ∴函數(shù)的定義域是． (2)要使函數(shù)式有意義，需，即，解得. ∴所求函數(shù)的定義域是． (3)要使函數(shù)式有意義，需，解得. ∴所求函數(shù)的定義域是． (4)要使函數(shù)式有意義，需，解得，且. ∴所求函數(shù)的定義域是． 【練習反饋】 1．函數(shù)的定義域是(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D． 解析：選C　由題意知 ，解得且. 2．當時，函數(shù)和的圖象只能是(　　) 解析：選B　因為，所以為增函數(shù)，且函數(shù)圖象過定點，故排除C，D.又，所以直線應過原點，且經(jīng)過第二象限和第四象限．故選B. 3．已知對數(shù)函數(shù)過點，則的解析式為________． 解析：設，則由得 ，∴， ∴. 答案： 4．函數(shù)(，)的圖象必經(jīng)過點________． 解析：當時，，所以圖象必經(jīng)過點． 答案： 5．已知. (1)作出這個函數(shù)的圖象； (2)若，利用圖象求的取值范圍． 解：(1)作出函數(shù)的圖象如圖所示． (2)令，即， 解得. 由圖象知：當時， 恒有． ∴所求的取值范圍為.