初中數(shù)學(xué)專題:折疊問(wèn)題
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第 專題八 折疊問(wèn)題 學(xué)習(xí)要點(diǎn)與方法點(diǎn)撥: 出題位置:選擇、填空壓軸題或壓軸題倒數(shù)第二題 折疊問(wèn)題中,常出現(xiàn)的知識(shí)時(shí)軸對(duì)稱。折疊對(duì)象有三角形、矩形、正方形、梯形等; 考查問(wèn)題有求折點(diǎn)位置、求折線長(zhǎng)、折紙邊長(zhǎng)周長(zhǎng)、求重疊面積、求角度、判斷線段之間關(guān)系等;軸對(duì)稱性質(zhì)-----折線,是對(duì)稱軸、折線兩邊圖形全等、對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線垂直對(duì)稱軸、對(duì)應(yīng)邊平行或交點(diǎn)在對(duì)稱軸上。 壓軸題是由一道道小題綜合而成,常常伴有折疊;解壓軸題時(shí),要學(xué)會(huì)將大題分解成一道道小題;那么多作折疊的選擇題填空題,很有必要。 基本圖形: 在矩形ABCD中,將△ABF沿BE折疊至△FBE,可得何結(jié)論? 結(jié)論:(1)全等;(2)垂直。 (1) 基本圖形練習(xí): 如圖,將三角形紙片ABC沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊,使得AC落在AB上,折痕為AD,展開(kāi)紙片;再次折疊,使得A和D點(diǎn)重合,折痕為EF,展開(kāi)紙片后得到△AEF,則△AEF是等腰三角形,對(duì)嗎? (2) 折疊中角的考法與做法: 將矩形紙片ABCD沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊,使得A落在BC邊上的點(diǎn)F處,折痕為BE(圖1);再沿過(guò)點(diǎn)E的直線折疊,使點(diǎn)D落在BE邊上的點(diǎn)D’,折痕為EG(圖2),再展開(kāi)紙片,求圖(3)中角a的大小。 (3) 折疊中邊的考法與做法: 如圖,將邊長(zhǎng)為6cm的正方形ABCD折疊,使點(diǎn)D落在AB邊中點(diǎn)E處, 折痕為FH,點(diǎn)C落在Q處,EQ與BC交于點(diǎn)G,則△EBG的周長(zhǎng)是多少? ★解題步驟: 第一步:將已知條件標(biāo)在圖上; 第二步:設(shè)未知數(shù),將未知數(shù)標(biāo)在圖上; 第三步:列方程,多數(shù)情況可通過(guò)勾股定理解決。 模塊精講 例1.(2014?揚(yáng)州)已知矩形ABCD的一條邊AD=8,將矩形ABCD折疊,使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處. (1)如圖1,已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O,連結(jié)AP、OP、OA. ①求證:△OCP∽△PDA; ②若△OCP與△PDA的面積比為1:4,求邊AB的長(zhǎng); (2)若圖1中的點(diǎn)P恰好是CD邊的中點(diǎn),求∠OAB的度數(shù); (3)如圖2,,擦去折痕AO、線段OP,連結(jié)BP.動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上(點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不重合),動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上,且BN=PM,連結(jié)MN交PB于點(diǎn)F,作ME⊥BP于點(diǎn)E.試問(wèn)當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過(guò)程中,線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化?若變化,說(shuō)明理由;若不變,求出線段EF的長(zhǎng)度. 例2.(2013?蘇州)如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn),將△ADE沿AE折疊后得到△AFE,且點(diǎn)F在矩形ABCD內(nèi)部.將AF延長(zhǎng)交邊BC于點(diǎn)G.若=,則= 用含k的代數(shù)式表示). 例3、(2013?蘇州)如圖,點(diǎn)O為矩形ABCD的對(duì)稱中心,AB=10cm,BC=12cm,點(diǎn)E、F、G分別從A、B、C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā),沿矩形的邊按逆時(shí)針?lè)较騽蛩龠\(yùn)動(dòng),點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s,點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度為3cm/s,點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度為1.5cm/s,當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)C(即點(diǎn)F與點(diǎn)C重合)時(shí),三個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng).在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,△EBF關(guān)于直線EF的對(duì)稱圖形是△EB′F.設(shè)點(diǎn)E、F、G運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(單位:s). (1)當(dāng)t= s時(shí),四邊形EBFB′為正方形; (2)若以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F,C,G為頂點(diǎn)的三角形相似,求t的值; (3)是否存在實(shí)數(shù)t,使得點(diǎn)B′與點(diǎn)O重合?若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 例4、如圖,已知矩形紙片ABCD,AD=2,AB=4.將紙片折疊,使頂點(diǎn)A與邊CD上的點(diǎn)E重合,折痕FG分別與AB,CD交于點(diǎn)G,F(xiàn),AE與FG交于點(diǎn)O. (1)如圖1,求證:A,G,E,F(xiàn)四點(diǎn)圍成的四邊形是菱形; (2)如圖2,當(dāng)△AED的外接圓與BC相切于點(diǎn)N時(shí),求證:點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn); (3)如圖2,在(2)的條件下,求折痕FG的長(zhǎng). 例5、已知AD∥BC,AB⊥AD,點(diǎn)E,點(diǎn)F分別在射線AD,射線BC上.若點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于AC對(duì)稱,點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于BD對(duì)稱,AC與BD相交于點(diǎn)G,則( ?。? A.1+tan∠ADB= B.2BC=5CF C.∠AEB+22=∠DEF D.4cos∠AGB= 課堂練習(xí) 1、 2、(2014連云港)如圖1,將正方形紙片ABCD對(duì)折,使AB與CD重合,折痕為EF.如圖2,展開(kāi)后再折疊一次,使點(diǎn)C與點(diǎn)E重合,折痕為GH,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M,EM交AB于N,則tan∠ANE= _________?。? 圖3 圖4 3、(2014?徐州)如圖3,在等腰三角形紙片ABC中,AB=AC,∠A=50,折疊該紙片,使點(diǎn)A落在點(diǎn)B處,折痕為DE,則∠CBE= _________?。? 4、(2014?揚(yáng)州)如圖4,△ABC的中位線DE=5cm,把△ABC沿DE折疊,使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)F處,若A、F兩點(diǎn)間的距離是8cm,則△ABC的面積為 _________ cm2. 5、(2013?揚(yáng)州)如圖1,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90,AB=2,CD=1,BC=m,P為線段BC上的一動(dòng)點(diǎn),且和B、C不重合,連接PA,過(guò)P作PE⊥PA交CD所在直線于E.設(shè)BP=x,CE=y. (1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式; (2)若點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)E總在線段CD上,求m的取值范圍; (3)如圖2,若m=4,將△PEC沿PE翻折至△PEG位置,∠BAG=90,求BP長(zhǎng). 課后鞏固習(xí)題 1、(2014?淮安)如圖,在三角形紙片ABC中,AD平分∠BAC,將△ABC折疊,使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合,展開(kāi)后折痕分別交AB、AC于點(diǎn)E、F,連接DE、DF.求證:四邊形AEDF是菱形. 2、(2013?宿遷)如圖,在梯形ABCD中,AB∥DC,∠B=90,且AB=10,BC=6,CD=2.點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)E作EF∥AD交邊AB于點(diǎn)F.將△BEF沿EF所在的直線折疊得到△GEF,直線FG、EG分別交AD于點(diǎn)M、N,當(dāng)EG過(guò)點(diǎn)D時(shí),點(diǎn)E即停止運(yùn)動(dòng).設(shè)BE=x,△GEF與梯形ABCD的重疊部分的面積為y. (1)證明△AMF是等腰三角形; (2)當(dāng)EG過(guò)點(diǎn)D時(shí)(如圖(3)),求x的值; (3)將y表示成x的函數(shù),并求y的最大值. 3、 如圖,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,把△BCD沿著對(duì)角線BD折疊,使點(diǎn)C落在C處,BC交AD于點(diǎn)G,E,F,分別是CD和BD上的點(diǎn),線段EF交AD于點(diǎn)H,把△FDE沿著EF折疊,使點(diǎn)D落在D處,點(diǎn)D恰好與點(diǎn)A重合. (1)求證:三角形ABG≌△CDG (2)求tan∠ABG的值; (3)求EF的長(zhǎng)。 3、 7 〖九年級(jí) 第8講 專題精講〗- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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