2019屆高考數(shù)學(xué) 專題十七 圓錐曲線的幾何性質(zhì)精準(zhǔn)培優(yōu)專練 理.doc

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培優(yōu)點(diǎn)十七 圓錐曲線的幾何性質(zhì) 1．橢圓的幾何性質(zhì) 例1：如圖，橢圓的上頂點(diǎn)、左頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)分別為、、，中心為，其離心率為，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得 而，所以，故選B． 2．拋物線的幾何性質(zhì) 例2：已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在直線上的射影為，且直線的斜率為，則的面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，所以，因?yàn)橹本€的斜率為，所以，所以， 由拋物線定義知，，且，所以是以4為邊長(zhǎng)的正三角形，其面積為．故選C． 3．雙曲線的幾何性質(zhì) 例3：已知點(diǎn)是雙曲線的右支上一點(diǎn)，，分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為_________． 【答案】15 【解析】在雙曲線中，，，， ，，， ，，． 對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn) 一、單選題 1．拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離的最小值為1，則（ ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解析】拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離的最小值即到準(zhǔn)線的最小值， 很明顯滿足最小值的點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，據(jù)此可知：，．本題選擇C選項(xiàng)． 2．設(shè)點(diǎn)，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，若，則的面積等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】據(jù)題意，，且，解得，． 又，在中由余弦定理，得． 從而，所以，故選B． 3．經(jīng)過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)作傾斜角為的直線l，交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】橢圓方程為，，，，取一個(gè)焦點(diǎn)，則直線方程為， 代入橢圓方程得，，，所以，故選C． 4．過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，，則（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【解析】設(shè)的坐標(biāo)分別為，，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則，，由此解得．故選B． 5．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形（為原點(diǎn)），則雙曲線的方程為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，是邊長(zhǎng)為2的 等邊三角形（為原點(diǎn)），可得，，即，，解得，， 雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)在軸，所得雙曲線的方程為，故選B． 6．如圖所示，“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點(diǎn)變軌進(jìn)入以月球球心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道繞月飛行，之后衛(wèi)星在點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道繞月飛行，最終衛(wèi)星在點(diǎn)第三次變軌進(jìn)入以為圓心的圓形軌道繞月飛行．已知橢圓軌道和的中心與F在同一直線上，設(shè)橢圓軌道和的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)分別為，，半焦距分別為，，則有（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】設(shè)圓形軌道的半徑為，，，， 由知，故選C． 7．已知雙曲線，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，是雙曲線的一條漸近線上的點(diǎn)，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且雙曲線，的離心率相同，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)是（ ） A．32 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【解析】雙曲線的離心率為，設(shè)，雙曲線一條漸近線方程為， 可得，即有， 由，可得，即，又，且， 解得，，，即有雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為16．故選D． 8．已知是拋物線的焦點(diǎn)，是軸上一點(diǎn)，線段與拋物線相交于點(diǎn)， 若，則（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】由題意得點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)， 所以向量：，， 由向量線性關(guān)系可得：，，解得：， 代入拋物線方程可得：，則， 由兩點(diǎn)之間的距離公式可得：．故選D． 9．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，， 點(diǎn)是曲線與的一個(gè)公共點(diǎn)，，分別是和的離心率，若，則的最小值為（ ） A． B．4 C． D．9 【答案】A 【解析】由題意設(shè)焦距為，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線實(shí)軸為， 令在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義，① 由橢圓定義，② 又∵，∴，③ ，得，④ 將④代入③，得， ∴，故選A． 10．已知為拋物線的焦點(diǎn)，，，為拋物線上三點(diǎn)，當(dāng)時(shí)， 稱為“和諧三角形”，則“和諧三角形”有（ ） A．0個(gè) B．1個(gè) C．3個(gè) D．無數(shù)個(gè) 【答案】D 【解析】拋物線方程為，，，為曲線上三點(diǎn)， 當(dāng)時(shí)，為的重心， 用如下辦法構(gòu)造，連接并延長(zhǎng)至，使， 當(dāng)在拋物線內(nèi)部時(shí)，設(shè)，若存在以為中點(diǎn)的弦， 設(shè)，， 則，，， 則，兩式相減化為， ，所以總存在以為中點(diǎn)的弦，所以這樣的三角形有無數(shù)個(gè)，故選D． 11．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，橢圓的離心率為，直線過點(diǎn)與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若，且，則雙曲線的兩條漸近線的傾斜角分別為（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】 由題，，， 由雙曲線的定義可得| ， ∵橢圓的離心率為：，∴，，， 在中，由余弦定理的， 在中，由余弦定理可得：， ∵，，即， 整理得2a2+3c2-7ac=0， 設(shè)雙曲線的離心率為，，解得或（舍）． ∴，，即．∴雙曲線的漸近線方程為， ∴漸近線的傾斜角為，．故選C． 12．已知為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別是，，則的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如圖，由題意設(shè)，則， ∴， 設(shè)，則， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)． 又當(dāng)點(diǎn)在橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，，∴， 此時(shí)最大，且最大值． ∴的取值范圍是，故選C． 二、填空題 13．已知過拋物線的焦點(diǎn)，且斜率為的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，則__________． 【答案】 【解析】由知，由焦點(diǎn)弦性質(zhì)， 而． 14．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為、，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)仍在橢圓上， 則的周長(zhǎng)為__________． 【答案】 【解析】設(shè)，， 關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為， 點(diǎn)在橢圓上，則：，則，，則， 故的周長(zhǎng)為：． 15．為雙曲線右支上一點(diǎn)，，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且，直線交軸于點(diǎn)，則的內(nèi)切圓半徑為__________． 【答案】2 【解析】∵，的內(nèi)切圓半徑為， ∴，∴， ∴， ∵由圖形的對(duì)稱性知：，∴．故答案為2． 16．已知直線與橢圓相切于第一象限的點(diǎn)，且直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，當(dāng)(為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積最小時(shí)，(、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn))，若此時(shí)在中，的平分線的長(zhǎng)度為，則實(shí)數(shù)的值是__________． 【答案】 【解析】由題意，切線方程為， 直線與軸分別相交于點(diǎn)，，，，， ，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， （為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積最小， 設(shè)，， 由余弦定理可得，， ，， ，，， 的內(nèi)角平分線長(zhǎng)度為，， ，， ，故答案為． 三、解答題 17．設(shè)常數(shù)．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線：，曲線：．與軸交于點(diǎn)、與交于點(diǎn)．、分別是曲線與線段上的動(dòng)點(diǎn)． （1）用表示點(diǎn)到點(diǎn)距離； （2）設(shè)，，線段的中點(diǎn)在直線，求的面積； （3）設(shè)，是否存在以、為鄰邊的矩形，使得點(diǎn)在上？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)； 若不存在，說明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，． 【解析】（1）方法一：由題意可知：設(shè)， 則，∴； 方法二：由題意可知：設(shè)， 由拋物線的性質(zhì)可知：，∴； （2），，，則， ∴，∴，設(shè)的中點(diǎn)，， ，則直線方程：， 聯(lián)立，整理得：， 解得：，（舍去），∴的面積； （3）存在，設(shè)，，則，， 直線方程為，∴，， 根據(jù)，則， ∴，解得：， ∴存在以、為鄰邊的矩形，使得點(diǎn)在上，且． 18．與橢圓相交于、兩點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上．斜率為的直線與線段相交于點(diǎn)，與橢圓相交于、兩點(diǎn)． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）求四邊形面積的取值范圍． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由橢圓焦距為4，設(shè)，，連結(jié)，設(shè)， 則，又，得，， ， 解得，，所以橢圓方程為． （2）設(shè)直線方程：，、， 由，得，所以， 由（1）知直線：，代入橢圓得，，得， 由直線與線段相交于點(diǎn)，得， ， 而與，知，， 由，得，所以， ∴四邊形面積的取值范圍．