2018年秋高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 階段復(fù)習(xí)課 第3課 不等式學(xué)案 新人教A版必修5

2、∈N*，n≥1)． 性質(zhì)8 如果a>b>0，那么>(n∈N*，n≥2). 3.二元一次不等式表示的平面區(qū)域 Ax＋By＋C(B>0)表示對應(yīng)直線方區(qū)域． 4．二元一次不等式組表示的平面區(qū)域 每個二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分就是不等式組所表示的區(qū)域． 5．兩個不等式 不等式 內(nèi)容 等號成立條件 重要不等式 a2＋b2≥2ab(a，b∈R) “a＝b”時取等號 基本不等式 ≤(a>0，b>0) “a＝b”時取等號 [體系構(gòu)建] [題型探究] 一元二次不等式的解法 [探究問題] 1．當(dāng)a>0時，若方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不等實(shí)根α，

3、β且α<β，則 不等式ax2＋bx＋c>0的解集是什么？ 提示：借助函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象可知，不等式的解集為{x|x<α或 x>β}． 2．若[探究1]中的a<0，則不等式ax2＋bx＋c>0的解集是什么？ 提示：解集為{x|α0的解集是什么？ 提示：當(dāng)a>0時，不等式的解集為R；當(dāng)a<0時，不等式的解集為?. 　若不等式組的整數(shù)解只有－2，求k的取 值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號：91432361】 思路探究：不等式組的解集是各個不等式解集的交集，分別求解兩個不

4、 等式，取交集判斷． [解]　由x2－x－2>0，得x<－1或x>2. 對于方程2x2＋(2k＋5)x＋5k＝0有兩個實(shí)數(shù)解x1＝－，x2＝－k. (1)當(dāng)－>－k，即k>時，不等式的解集為，顯然－2? . (2)當(dāng)－k＝－時，不等式2x2＋(2k＋5)x＋5k<0的解集為?. (3)當(dāng)－<－k，即k<時， 不等式的解集為. ∴不等式組的解集由 或確定． ∵原不等式組整數(shù)解只有－2， ∴－2<－k≤3， 故所求k的范圍是－3≤k<2. 母題探究：.(變條件，變結(jié)論)若將例題改為“已知a∈R，解關(guān)于x的不 等式ax2－2x＋a<0”． [解]　(1)若a＝0，則原

5、不等式為－2x<0，故解集為{x|x>0}． 　(2)若a>0，Δ＝4－4a2. ①當(dāng)Δ>0，即01時，原不等式的解集為?. (3)若a<0，Δ＝4－4a2. ①當(dāng)Δ>0，即－10， ∴原不等式的解集為{x|x∈R且x≠－1}． ③當(dāng)Δ<0，即a<－1時，原不等式的解集為R. 綜上所述，當(dāng)a≥1時，原不等式的解集為?； 當(dāng)0

6、原不等式的解集為； 當(dāng)a＝0時，原不等式的解集為{x|x>0}； 當(dāng)－10(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)的形式； ②求出相應(yīng)的一元二次方程的根或利用二次函數(shù)的圖象與根的判別式確 定一元二次不等式的解集., (2)含參數(shù)的一元二次不等式.,解題時應(yīng)先看二次項系數(shù)的正負(fù)，其次考 慮判別式，最后分析兩根的大小，此種情況討論是必不可少的. 不等式

7、恒成立問題 　已知不等式mx2－mx－1<0. (1)若x∈R時不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍； (2)若x∈[1,3]時不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍； (3)若滿足|m|≤2的一切m的值能使不等式恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號：91432362】 思路探究：先討論二次項系數(shù)，再靈活的選擇方法解決恒成立問題． [解]　(1)①若m＝0，原不等式可化為－1<0，顯然恒成立； ②若m≠0，則不等式mx2－mx－1<0 恒成立?解得－ 4

8、0顯然恒成立； ②當(dāng)m>0時，若對于x∈[1,3]不等式恒成立，只需即可，∴解得m<，∴0

9、取值范圍的變量要看做主元． 2．分離參數(shù)法 若f(a)g(x)恒成立，則f(a)>g(x)max. 3．?dāng)?shù)形結(jié)合法 利用不等式與函數(shù)的關(guān)系將恒成立問題通過函數(shù)圖象直觀化． [跟蹤訓(xùn)練] 1．設(shè)f(x)＝mx2－mx－6＋m， (1)若對于m∈[－2,2]，f(x)<0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍； (2)若對于x∈[1,3]，f(x)<0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． [解]　(1)依題意，設(shè)g(m)＝(x2－x＋1)m－6， 則g(m)為關(guān)于m的一次函數(shù)，且一次項系數(shù)x2－x＋1＝2＋>0， 所以g(m)在[－2

10、,2]上遞增， 所以欲使f(x)<0恒成立， 需g(m)max＝g(2)＝2(x2－x＋1)－6<0， 解得－10，則f(x)在[1,3]上單調(diào)遞增， 要使f(x)<0對x∈[1,3]恒成立， 只需f(3)<0即7m－6<0， 所以0

11、m<0，則f(x)在[1,3]上單調(diào)遞減， 要使f(x)<0對x∈[1,3]恒成立， 只需f(1)<0即m<6， 所以m<0. 綜上可知m的取值范圍是. 線性規(guī)劃問題 　已知變量x，y滿足約束條件且有無窮多個點(diǎn)(x，y)使目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my取得最小值，則m＝________. 【導(dǎo)學(xué)號：91432363】 思路探究：先畫出可行域，再研究目標(biāo)函數(shù)，由于目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)m，故需討論m的值，再結(jié)合可行域，數(shù)形結(jié)合確定滿足題意的m的值. 1　[作出線性約束條件表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示． 若m＝0，則z＝x，目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my取得最小值的最優(yōu)解只有一個，不

12、符合題意． 若m≠0，目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my可看作動直線y＝－x＋， 若m<0，則－>0，數(shù)形結(jié)合知使目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my取得最小值的最優(yōu)解不可能有無窮多個； 若m>0，則－<0，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)動直線與直線AB重合時，有無窮多個點(diǎn)(x，y)在線段AB上，使目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my取得最小值，即－＝－1，則m＝1. 綜上可知，m＝1.] [規(guī)律方法]　 1．線性規(guī)劃在實(shí)際中的類型主要有： (1)給定一定數(shù)量的人力、物力資源，如何運(yùn)用這些資源，使完成任務(wù)量最大，收到的效益最高； (2)給定一項任務(wù)，怎樣統(tǒng)籌安排，使得完成這項任務(wù)耗費(fèi)的人力、物力資源最少． 2．解答線性規(guī)劃應(yīng)用題的步驟

13、： (1)列：設(shè)出未知數(shù)，列出約束條件，確定目標(biāo)函數(shù)． (2)畫：畫出線性約束條件所表示的可行域． (3)移：在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點(diǎn)且縱截距最大或最小的直線． (4)求：通過解方程組求出最優(yōu)解． (5)答：作出答案． [跟蹤訓(xùn)練] 2．制定投資計劃時，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損．某投資人打算投資甲、乙兩個項目，根據(jù)預(yù)測，甲、乙項目可能的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損率分別為30%和10%，投資人計劃投資金額不超過10萬元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過1.8萬元，問投資人對甲、乙兩個項目各投資

14、多少萬元，才能使可能的盈利最大？ [解]　設(shè)投資人分別用x萬元、y萬元投資甲、乙兩個項目． 由題意，知 目標(biāo)函數(shù)z＝x＋0.5y. 畫出可行域如圖中陰影部分． 作直線l0：x＋0.5y＝0，并作平行于l0的一組直線x＋0.5y＝z，z∈R，與可行域相交，其中有一條直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時，z取得最大值． 由得 即M(4,6)． 此時z＝4＋0.5×6＝7(萬元)． ∴當(dāng)x＝4，y＝6時，z取得最大值，即投資人用4萬元投資甲項目，6萬元投資乙項目，才能在確保虧損不超過1.8萬元的前提下，使可能的盈利最大. 利用基本不等式求最值 　設(shè)函數(shù)f(x)＝x＋，x∈[0，＋∞)．

15、 (1)當(dāng)a＝2時，求函數(shù)f(x)的最小值； (2)當(dāng)00，>0， ∴x＋1＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝， 即x＝－1時，f(x)取等號，此時f(x)min＝2－1. (2)當(dāng)0

16、號取不到． f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增． ∴f(x)min＝f(0)＝a. [規(guī)律方法]　基本不等式是證明不等式、求某些函數(shù)的最大值及最小值 的理論依據(jù)，在解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題中應(yīng)用廣泛. (1)基本不等式通常用來求最值，一般用a＋b≥解 “定積求和，和最小”問題，用ab≤解“定和求積，積最大”問題. (2)在實(shí)際運(yùn)用中，經(jīng)常涉及函數(shù)f(x)＝x＋，一定要注意 適用的范圍和條件：“一正、二定、三相等”.特別是利用拆項、添項、 配湊、分離變量、減少變元等，構(gòu)造定值條件的方法和對等號能否成立 的驗(yàn)證. [跟蹤訓(xùn)練] 3．某種商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件．

17、 (1)據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2 000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？ (2)為了擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量．公司決定明年對該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價到x元，公司擬投入(x2－600)萬元作為技改費(fèi)用，投入50萬元作為固定宣傳費(fèi)用，投入x萬元作為浮動宣傳費(fèi)用．試問：當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到多少萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時每件商品的定價． [解]　(1)設(shè)每件定價為t元，依題意，有[8－(t－25)×0.2]t≥25×8， 整理得t2－65t＋1 000≤0， 解得25≤t≤40. 因此要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為40元． (2)依題意，x>25時，不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x有解，等價于x>25時，a≥＋x＋有解． ∵＋x≥2＝10(當(dāng)且僅當(dāng)x＝30時，等號成立)， ∴a≥10.2. 因此當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到10.2萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時該商品的定價為每件30元． - 9 -