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1、(全國通用版)2022年高考數學一輪復習 第七章 不等式 課時達標檢測(三十二)基本不等式 文
對點練(一) 利用基本不等式求最值
1.(2018·河北衡水中學調研)若a>0,b>0,lg a+lg b=lg(a+b),則a+b的最小值為( )
A.8 B.6
C.4 D.2
解析:選C 由a>0,b>0,lg a+lg b=lg(a+b),得lg(ab)=lg(a+b),即ab=a+b,則有+=1,所以a+b=(a+b)=2++≥2+2 =4,當且僅當a=b=2時等號成立,所以a+b的最小值為4,故選C.
2.若2x+2y=1,則x+y的取值范圍是( )
A.[0,2]
2、 B.[-2,0]
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
解析:選D ∵1=2x+2y≥2=2,∴≤,∴2x+y≤,得x+y≤-2.
3.(2018·江西九校聯(lián)考)若正實數x,y滿足(2xy-1)2=(5y+2)·(y-2),則x+的最大值為( )
A.-1+ B.1
C.1+ D.
解析:選A 由(2xy-1)2=(5y+2)·(y-2),可得(2xy-1)2=9y2-(2y+2)2,即(2xy-1)2+(2y+2)2=9y2,得2+2=9,又2+2≥=,當且僅當2x-=2+時等號成立,所以2≤18,得2x+≤3-2,所以x+≤,所以x+的最大值為-1+.故選A.
4.(2
3、018·邯鄲模擬)設x>0,y>0,且2=,則當x+取最小值時,x2+=________.
解析:∵x>0,y>0,∴當x+取最小值時,2取得最小值,
∵2=x2++,
又2=,∴x2+=+,
∴2=+≥2 =16,
∴x+≥4,當且僅當=,
即x=2y時取等號,
∴當x+取最小值時,x=2y,x2++=16,
∴x2++=16,
∴x2+=16-4=12.
答案:12
5.(2018·天津模擬)已知x,y為正實數,則+的最小值為________.
解析:∵x,y為正實數,則+
=++1=++1,
令t=,則t>0,∴+=+t+1
=+t++≥2+=,
當且僅當
4、t=時取等號.
∴+的最小值為.
答案:
對點練(二) 基本不等式的綜合問題
1.(2018·遼寧師大附中模擬)函數y=loga(x+3)-1(a>0,且a≠1)的圖象恒過定點A,若點A在直線mx+ny+1=0上,其中m,n均大于0,則+的最小值為( )
A.2 B.4
C.8 D.16
解析:選C ∵當x=-2時,y=loga1-1=-1,
∴函數y=loga(x+3)-1(a>0,
且a≠1)的圖象恒過定點(-2,-1),即A(-2,-1).
∵點A在直線mx+ny+1=0上,
∴-2m-n+1=0,即2m+n=1.
∵m>0,n>0,
∴+=+=2+++2
5、≥4+2·=8,
當且僅當m=,n=時取等號.故選C.
2.(2018·海淀期末)當0
6、實數p的取值范圍是( )
A.(1,3) B.(1,2]
C. D.
解析:選A 對任意的正實數x,y,由于a=≥=,當且僅當x=y(tǒng)時等號成立,b=p,c=x+y≥2,當且僅當x=y(tǒng)時等號成立,且三角形的任意兩邊之和大于第三邊,
∴解得1
7、,所以ac=4,又a>0,所以c>0,則+=+=+=-+-=+-≥2 -=1-=,當且僅當a=c=2時等號成立,故選B.
5.(2018·江西八校聯(lián)考)已知點P(x,y)到點A(0,4)和到點B(-2,0)的距離相等,則2x+4y的最小值為________.
解析:由題意得,x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,整理得x+2y=3,∴2x+4y≥2=2=4,當且僅當x=2y=時等號成立,故2x+4y的最小值為4.
答案:4
6.(2018·湖南長郡中學月考)設正項等差數列{an}的前n項和為Sn,若S2017=4 034,則+的最小值為________.
解析:由等差數列的前n項和
8、公式,
得S2 017==4 034,
則a1+a2 017=4.
由等差數列的性質得a9+a2 009=4,
所以+=
=
=
≥=4,
當且僅當a2 009=3a9時等號成立.
答案:4
7.某地區(qū)要建造一條防洪堤,其橫斷面為等腰梯形,腰與底邊夾角為60°(如圖),考慮到防洪堤的堅固性及水泥用料等因素,要求設計其橫斷面的面積為9平方米,且高度不低于米,記防洪堤橫斷面的腰長為x米,外周長(梯形的上底與兩腰長的和)為y米,若要使堤的上面與兩側面的水泥用料最省(即橫斷面的外周長最小),則防洪堤的腰長x=________.
解析:設橫斷面的高為h,
由題意得AD=BC+2·
9、=BC+x,h=x,
∴9=(AD+BC)h=(2BC+x)·x,故BC=-,由得2≤x<6,
∴y=BC+2x=+(2≤x<6),
從而y=+≥2 =6,
當且僅當=(2≤x<6),即x=2時等號成立.
答案:2
[大題綜合練——遷移貫通]
1.設a,b∈R,a2+b2=2,求+的最小值.
解:由題意知a2+b2=2,a2+1+b2+1=4,
∴+
=(a2+1+b2+1)
=≥,
當且僅當=,
即a2=,b2=時等號成立,
∴+的最小值為.
2.(2018·河北唐山模擬)已知x,y∈(0,+∞),x2+y2=x+y.
(1)求+的最小值.
(2)是否存在x
10、,y滿足(x+1)(y+1)=5?并說明理由.
解:(1)因為+==≥=2,當且僅當x=y(tǒng)=1時,等號成立,
所以+的最小值為2.
(2)不存在.理由如下:
因為x2+y2≥2xy,
所以(x+y)2≤2(x2+y2)=2(x+y).
又x,y∈(0,+∞),所以x+y≤2.
從而有(x+1)(y+1)≤2≤4,
因此不存在x,y滿足(x+1)(y+1)=5.
3.某學校為了支持生物課程基地研究植物生長,計劃利用學??盏亟ㄔ煲婚g室內面積為900 m2的矩形溫室,在溫室內劃出三塊全等的矩形區(qū)域,分別種植三種植物,相鄰矩形區(qū)域之間間隔1 m,三塊矩形區(qū)域的前、后與內墻各保留1 m寬的通道,左、右兩塊矩形區(qū)域分別與相鄰的左右內墻保留3 m寬的通道,如圖.設矩形溫室的室內長為x(單位:m),三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積為S(單位:m2).
(1)求S關于x的函數關系式;
(2)求S的最大值.
解:(1)由題設,得S=(x-8)=-2x-+916,x∈(8,450).
(2)因為8