（江蘇專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列學(xué)案 文

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1、 第六章 數(shù)　列 第一節(jié)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示 本節(jié)主要包括2個(gè)知識(shí)點(diǎn)： 1.數(shù)列的通項(xiàng)公式； 2.數(shù)列的單調(diào)性. 突破點(diǎn)(一)　數(shù)列的通項(xiàng)公式 基礎(chǔ)聯(lián)通 抓主干知識(shí)的“源”與“流” 1．?dāng)?shù)列的定義 按照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列．?dāng)?shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，數(shù)列中的每一項(xiàng)都和它的序號(hào)有關(guān)，排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)(通常也叫做首項(xiàng))． 2．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式 如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式． 3．?dāng)?shù)列的遞推公式 如果已知數(shù)列{an}的第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任何一項(xiàng)an與它的前一

2、項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，即an＝f(an－1)(或an＝f(an－1，an－2)等)，那么這個(gè)式子叫做數(shù)列{an}的遞推公式． 4．Sn與an的關(guān)系 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則an＝這個(gè)關(guān)系式對(duì)任意數(shù)列均成立． 考點(diǎn)貫通 抓高考命題的“形”與“神” 利用數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng) [例1]　寫出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式： (1)3,5,7,9，…； (2)，，，，，…； (3)－1，，－，，－，，…； (4)3,33,333,3 333，…； (5)1,0，－1,0,1,0，－1,0，…. [解]　(1)各項(xiàng)減去1后為正偶數(shù)，所

3、以an＝2n＋1. (2)每一項(xiàng)的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列21,22,23,24，…，所以an＝. (3)奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式中含因式(－1)n；各項(xiàng)絕對(duì)值的分母組成數(shù)列1,2,3,4，…；而各項(xiàng)絕對(duì)值的分子組成的數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)為1，偶數(shù)項(xiàng)為3，即奇數(shù)項(xiàng)為2－1，偶數(shù)項(xiàng)為2＋1，所以an＝(－1)n·. 也可寫為an＝ (4)將數(shù)列各項(xiàng)改寫為，，，，…，分母都是3，而分子分別是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以an＝(10n－1)． (5)觀察數(shù)列中各項(xiàng)呈現(xiàn)周期性1,0，－1,0聯(lián)想三角函數(shù)y＝cos x的特殊值，前4項(xiàng)對(duì)應(yīng)著cos θ，cos

4、 ，cos π，cos π，所以an＝cos.還可以為an＝ [方法技巧] 由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式的思路方法 給出數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)時(shí)，需要注意觀察數(shù)列中各項(xiàng)與其序號(hào)之間的關(guān)系，在所給數(shù)列的前幾項(xiàng)中，先看看哪些部分是變化的，哪些是不變的，再探索各項(xiàng)中變化部分與序號(hào)間的關(guān)系，主要從以下幾個(gè)方面來考慮： (1)分式形式的數(shù)列，分子、分母分別求通項(xiàng)，較復(fù)雜的還要考慮分子、分母的關(guān)系． (2)若第n項(xiàng)和第n＋1項(xiàng)正負(fù)交錯(cuò)，那么符號(hào)用(－1)n或(－1)n＋1或(－1)n－1來調(diào)控． (3)熟悉一些常見數(shù)列的通項(xiàng)公式． (4)對(duì)于較復(fù)雜數(shù)列的通項(xiàng)公式，其項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系不容易發(fā)現(xiàn)，這就

5、需要將數(shù)列各項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式加以變形，可使用添項(xiàng)、通分、分割等方法，將數(shù)列的各項(xiàng)分解成若干個(gè)常見數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的“和”“差”“積”“商”后再進(jìn)行歸納．　　 利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng) [例2]　已知下面數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，求{an}的通項(xiàng)公式： (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n＋b； (3)Sn＝an＋. [解]　(1)a1＝S1＝2－3＝－1， 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5， 由于a1也適合此等式， 所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝4n－5. (2)a1＝S1＝3＋b， 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝S

6、n－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2×3n－1. 當(dāng)b＝－1時(shí)，a1適合此等式． 當(dāng)b≠－1時(shí)，a1不適合此等式． 所以當(dāng)b＝－1時(shí)，an＝2×3n－1； 當(dāng)b≠－1時(shí)，an＝ (3)由Sn＝an＋得，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝an－1＋，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，整理得 an＝－2an－1，又a＝1時(shí)，S1＝a1＝a1＋，a1＝1，∴an＝(－2)n－1. [方法技巧] 已知Sn求an的三個(gè)步驟 (1)先利用a1＝S1求出a1. (2)用n－1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時(shí)an的表達(dá)式

7、． (3)對(duì)n＝1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合n≥2時(shí)an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分n＝1與n≥2兩段來寫．　　 利用遞推關(guān)系求通項(xiàng) [例3]　(1)已知數(shù)列{an}滿足a1＝，an＋1＝an＋，則an＝________； (2)若數(shù)列{an}滿足a1＝，an＋1＝an，則通項(xiàng)an＝________； (3)若數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋3，則an＝________； (4)若數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝，則an＝________. [解析]　(1)由條件知an＋1－an＝＝＝－， 則(a2－a1)＋(a

8、3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1) ＝＋＋＋…＋－， 即an－a1＝1－，又∵a1＝， ∴an＝1－＋＝－. (2)由an＋1＝an(an≠0)，得＝， 故an＝··…··a1 ＝··…·· ＝. (3)設(shè)遞推公式an＋1＝2an＋3可以轉(zhuǎn)化為an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，則t＝－3. 故an＋1＋3＝2(an＋3)． 令bn＝an＋3，則b1＝a1＋3＝4，bn≠0，且＝＝2. 所以{bn}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列． 所以bn＝4×2n－1＝2n＋1， 即an＝2n＋1－3. (4)∵an＋1＝，a1＝1， ∴an

9、≠0， ∴＝＋， 即－＝， 又a1＝1，則＝1， ∴是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列． ∴＝＋(n－1)×＝＋， ∴an＝. [答案]　(1)－　(2)　(3)2n＋1－3　(4) [方法技巧]　　　典型的遞推數(shù)列及處理方法 遞推式 方法 示例 an＋1＝an＋f(n) 疊加法 a1＝1，an＋1＝an＋2n an＋1＝anf(n) 疊乘法 a1＝1，＝2n an＋1＝Aan＋B (A≠0,1，B≠0) 化為等比數(shù)列 a1＝1，an＋1＝2an＋1 an＋1＝ (A，B，C為常數(shù)) 化為等差數(shù)列 a1＝1，an＋1＝ 能力練通 抓應(yīng)用

10、體驗(yàn)的“得”與“失” 1.已知n∈N*，給出4個(gè)表達(dá)式：①an＝②an＝，③an＝，④an＝.其中能作為數(shù)列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通項(xiàng)公式的可能是________(填寫所有正確表達(dá)式的序號(hào))． 解析：具體逐一檢驗(yàn)可以判斷，①②③均成立．雖然數(shù)列的通項(xiàng)公式的表達(dá)形式不唯一，但是有通項(xiàng)公式的數(shù)列的通項(xiàng)公式是唯一的；有些無規(guī)則的數(shù)列未必有通項(xiàng)公式． 答案：①②③ 2.已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.則{an}的通項(xiàng)公式是________． 解析：由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得2an＋1(an＋1)＝an

11、(an＋1)．因此{(lán)an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，所以＝.故{an}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，因此an＝. 答案：an＝ 3.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝n2－2n＋2，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________． 解析：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，由于n＝1時(shí)a1的值不適合n≥2的解析式，故{an}的通項(xiàng)公式為an＝ 答案：an＝ 4.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 解：由題意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)． 以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…

12、＋n＝＝. 又∵a1＝1，∴an＝(n≥2)． ∵當(dāng)n＝1時(shí)也滿足此式，∴an＝(n∈N*)． 5.若數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝an＋2n，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 解：由題意知an＋1－an＝2n，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1.又因?yàn)楫?dāng)n＝1時(shí)滿足此式，所以an＝2n－1. 突破點(diǎn)(二)　數(shù)列的單調(diào)性 基礎(chǔ)聯(lián)通 抓主干知識(shí)的“源”與“流” 數(shù)列的分類 分類標(biāo)準(zhǔn) 類型 滿足條件 按項(xiàng)數(shù)分類　 有窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)有限 無窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)無限 按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類

13、 遞增數(shù)列 an＋1＞an 其中n∈N* 遞減數(shù)列 an＋1＜an 常數(shù)列 an＋1＝an 按其他標(biāo)準(zhǔn)分類 有界數(shù)列 存在正數(shù)M，使|an|≤M 擺動(dòng)數(shù)列 從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng) 考點(diǎn)貫通 抓高考命題的“形”與“神” 利用數(shù)列的單調(diào)性研究最值問題 [例1]　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，常數(shù)λ＞0，且λa1an＝S1＋Sn對(duì)一切正整數(shù)n都成立． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)a1＞0，λ＝100.當(dāng)n為何值時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和最大？ [解]　(1)取n＝1，得λa＝2S1＝2a1，即a1(λa1－2)

14、＝0. 若a1＝0，則Sn＝0，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝0－0＝0， 所以an＝0. 若a1≠0，則a1＝，當(dāng)n≥2時(shí)，2an＝＋Sn,2an－1＝＋Sn－1，兩式相減得2an－2an－1＝an， 所以an＝2an－1(n≥2)，從而數(shù)列{an}是等比數(shù)列， 所以an＝a1·2n－1＝·2n－1＝. 綜上，當(dāng)a1＝0時(shí)，an＝0； 當(dāng)a1≠0時(shí)，an＝. (2)當(dāng)a1＞0且λ＝100時(shí)，令bn＝lg， 由(1)知bn＝lg＝2－nlg 2. 所以數(shù)列{bn}是單調(diào)遞減的等差數(shù)列(公差為－lg 2)． 則b1＞b2＞…＞b6＝lg＝lg＞lg 1＝0， 當(dāng)n≥7

15、時(shí)，bn≤b7＝lg＝lg＜lg 1＝0， 故當(dāng)n＝6時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)的和最大． [方法技巧] 1．判斷數(shù)列單調(diào)性的兩種方法 (1)作差比較法 an＋1－an＞0?數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列；an＋1－an＜0?數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列；an＋1－an＝0?數(shù)列{an}是常數(shù)列． (2)作商比較法 an＞0時(shí) ①＞1?數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列； ②＜1?數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列； ③＝1?數(shù)列{an}是常數(shù)列 an＜0時(shí) ①＞1?數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列； ②＜1?數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列； ③＝1?數(shù)列{an}是常數(shù)列 2.求數(shù)列最大項(xiàng)或最小項(xiàng)的方法

16、 (1)利用不等式組(n≥2)找到數(shù)列的最大項(xiàng)； (2)利用不等式組(n≥2)找到數(shù)列的最小項(xiàng)． 利用數(shù)列的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍 [例2]　已知函數(shù)f(x)＝(a＞0，且a≠1)，若數(shù)列{an}滿足an＝f(n)(n∈N*)，且{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． [解析]　因?yàn)閧an}是遞增數(shù)列，所以解得2＜a＜3，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,3)． [答案]　(2,3) [方法技巧] 已知數(shù)列的單調(diào)性求參數(shù)取值范圍的兩種方法 (1)利用數(shù)列的單調(diào)性構(gòu)建不等式，然后將其轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題進(jìn)行解決，也可通過分離參數(shù)將其轉(zhuǎn)化為最值問題處理． (

17、2)利用數(shù)列與函數(shù)之間的特殊關(guān)系，將數(shù)列的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的性質(zhì)求解參數(shù)的取值范圍，但要注意數(shù)列通項(xiàng)中n的取值范圍．　　 能力練通 抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失” 1.設(shè)an＝－3n2＋15n－18，則數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)的值是________． 解析：an＝－32＋，由二次函數(shù)性質(zhì)，得當(dāng)n＝2或n＝3時(shí)，an取最大值，最大值為a2＝a3＝0. 答案：0 2.若數(shù)列{an}滿足：a1＝19，an＋1＝an－3，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和數(shù)值最大時(shí)，n的值為________． 解析：∵a1＝19，an＋1－an＝－3， ∴數(shù)列{an}是以19為首項(xiàng)，－3為公差的

18、等差數(shù)列， ∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n，則an是遞減數(shù)列． 設(shè){an}的前k項(xiàng)和數(shù)值最大，則有 即∴≤k≤， ∵k∈N*，∴k＝7. ∴滿足條件的n的值為7. 答案：7 3.已知{an}是遞增數(shù)列，且對(duì)于任意的n∈N*，an＝n2＋λn恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是________． 解析：∵對(duì)于任意的n∈N*，an＝n2＋λn恒成立， ∴an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn＝2n＋1＋λ. 又∵{an}是遞增數(shù)列， ∴an＋1－an＞0，且當(dāng)n＝1時(shí)，an＋1－an最小， ∴an＋1－an≥a2－a1＝3＋λ＞0， ∴λ＞－3.

19、 答案：(－3，＋∞) 4.已知數(shù)列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)． (1)若a＝－7，求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值； (2)若對(duì)任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范圍． 解：(1)∵an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)， 又∵a＝－7，∴an＝1＋. 結(jié)合函數(shù)f(x)＝1＋的單調(diào)性， 可知1＞a1＞a2＞a3＞a4，a5＞a6＞a7＞…＞an＞1(n∈N*)． ∴數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)為a5＝2，最小項(xiàng)為a4＝0. (2)an＝1＋＝1＋. ∵對(duì)任意的n∈N*，都有an≤a6成立，結(jié)合函數(shù)f(x)＝1＋的單調(diào)性，知5＜＜6，

20、 ∴－10＜a＜－8. 故a的取值范圍為(－10，－8)． [課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)] 　　 重點(diǎn)保分課時(shí)——一練小題夯雙基，二練題點(diǎn)過高考 [練基礎(chǔ)小題——強(qiáng)化運(yùn)算能力] 1．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋n，則a4的值為________． 解析：a4＝S4－S3＝20－12＝8. 答案：8 2．(2018·鎮(zhèn)江模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1an＝2n(n∈N*)，則a10＝________. 解析：∵an＋1an＝2n，∴an＋2an＋1＝2n＋1，兩式相除得＝2.又a1a2＝2，a1＝1，∴a2＝2.則···＝24，即a10＝25＝32. 答案：32 3

21、．在數(shù)列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，則的值是________． 解析：由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，∴2a3＝2＋(－1)3，a3＝，∴a4＝＋(－1)4，a4＝3，∴3a5＝3＋(－1)5，∴a5＝，∴＝×＝. 答案： 4．(2018·山東棗莊第八中學(xué)階段性檢測(cè))已知數(shù)列，欲使它的前n項(xiàng)的乘積大于36，則n的最小值為________． 解析：由數(shù)列的前n項(xiàng)的乘積···…·＝＞36，得n2＋3n－70＞0，解得n＜－10或n＞7.又因?yàn)閚∈N*，所以n的最小值為8. 答案：8 5．(2018·蘭州模擬)在數(shù)列1,2，，，，…中2

22、是這個(gè)數(shù)列的第________項(xiàng)． 解析：數(shù)列1,2，，，，…，即數(shù)列，，，，，…，∴該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝＝，∴＝2＝，∴n＝26，故2是這個(gè)數(shù)列的第26項(xiàng)． 答案：26 [練?？碱}點(diǎn)——檢驗(yàn)高考能力] 一、填空題 1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－2n，則a2＋a18＝________. 解析：當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－3；當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝－1，所以an＝2n－3(n∈N*)，所以a2＋a18＝34. 答案：34 2．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝1，對(duì)于所有的n≥2，n∈N*都有a1·a2·a3·…·an＝n2，則a3＋a5＝________.

23、解析：令n＝2,3,4,5，分別求出a3＝，a5＝，∴a3＋a5＝. 答案： 3.如圖，互不相同的點(diǎn)A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分別在角O的兩條邊上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面積均相等．設(shè)OAn＝an.若a1＝1，a2＝2，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是________． 解析：記△OA1B1的面積為S，則△OA2B2的面積為4S.從而四邊形AnBnBn＋1An＋1的面積均為3S. 可得△OAnBn的面積為S＋3(n－1)S＝(3n－2)S. ∴a＝3n－2，即an＝. 答案：an＝ 4．已知數(shù)列{an}滿足a1＝15，且3an

24、＋1＝3an－2.若ak·ak＋1＜0，則正整數(shù)k＝________. 解析：由3an＋1＝3an－2得an＋1＝an－，則{an}是等差數(shù)列，又a1＝15，∴an＝－n.∵ak·ak＋1＜0，∴·＜0，∴＜k＜，∴k＝23. 答案：23 5．已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝，則a2 018＝________. 解析：因?yàn)閍1＝3，an＋1＝，所以a2＝＝1，a3＝＝2，a4＝＝3，所以數(shù)列{an}是周期為3的周期數(shù)列．所以a2 018＝a672×3＋2＝a2＝1. 答案：1 6．?dāng)?shù)列 {an}滿足 an＋1＝ , a8＝2，則a1 ＝________. 解析：將a8＝2

25、代入an＋1＝，可求得a7＝；再將a7＝代入an＋1＝，可求得a6＝－1；再將a6＝－1代入an＋1＝，可求得a5＝2；由此可以推出數(shù)列{an}是一個(gè)周期數(shù)列，且周期為3，所以a1＝a7＝. 答案： 7．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，若an＝2an－1＋1(n≥2)，則a5的值是________． 解析：∵an＝2an－1＋1，∴an＋1＝2(an－1＋1)，∴＝2，又a1＝1，∴{an＋1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即an＋1＝2×2n－1＝2n，∴a5＋1＝25，即a5＝31. 答案：31 8．?dāng)?shù)列{an}定義如下：a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝若an＝，則n的值為____

26、____． 解析：因?yàn)閍1＝1，所以a2＝1＋a1＝2，a3＝＝，a4＝1＋a2＝3，a5＝＝，a6＝1＋a3＝，a7＝＝，a8＝1＋a4＝4，a9＝＝，所以n＝9. 答案：9 9．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1(an＋2)＝an(n∈N*)，若bn＋1＝(n－p)，b1＝－p，且數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)p的取值范圍為________． 解析：由題中條件，可得＝＋1，則＋1＝2＋1，易知＋1＝2≠0，則是等比數(shù)列，所以＋1＝2n，可得bn＋1＝2n(n－p)，則bn＝2n－1(n－1－p)(n∈N*)，由數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列，得2n(n－p)＞2n－1(n－1

27、－p)，則p＜n＋1恒成立，又n＋1的最小值為2，則p的取值范圍是(－∞，2)． 答案：(－∞，2) 10．(2018·南通模擬)設(shè){an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且(n＋1)a－na＋an＋1·an＝0(n＝1,2,3，…)，則它的通項(xiàng)公式an＝________. 解析：∵(n＋1)a＋an＋1·an－na＝0， ∴(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0， 又an＋1＋an＞0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0， 即＝，∴····…·＝××××…×，∵a1＝1，∴an＝. 答案： 二、解答題 11．已知Sn為正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足Sn＝a＋an(n∈

28、N*)． (1)求a1，a2，a3，a4的值； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 解：(1)由Sn＝a＋an(n∈N*)，可得 a1＝a＋a1，解得a1＝1； S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2； 同理，a3＝3，a4＝4. (2)Sn＝a＋an，① 當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝a＋an－1，② ①－②，整理得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0. 由于an＋an－1≠0， 所以an－an－1＝1， 又由(1)知a1＝1， 故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故an＝n. 12．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝n2＋kn＋4. (1)若k＝－5

29、，則數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值； (2)對(duì)于n∈N*，都有an＋1＞an，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． 解：(1)由n2－5n＋4＜0， 解得1＜n＜4. 因?yàn)閚∈N*，所以n＝2,3， 所以數(shù)列中有兩項(xiàng)是負(fù)數(shù)，即為a2，a3. 因?yàn)閍n＝n2－5n＋4＝2－， 由二次函數(shù)性質(zhì)，得當(dāng)n＝2或n＝3時(shí)，an有最小值，其最小值為a2＝a3＝－2. (2)由對(duì)于n∈N*，都有an＋1＞an知該數(shù)列是一個(gè)遞增數(shù) 列，又因?yàn)橥?xiàng)公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是關(guān)于n的二次函數(shù)，考慮到n∈N*，所以－＜，即得k＞－3. 所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(－3，＋∞)

30、． 第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 本節(jié)主要包括3個(gè)知識(shí)點(diǎn)： 1.等差數(shù)列基本量的計(jì)算； 2.等差數(shù)列的基本性質(zhì)及應(yīng)用； 3.等差數(shù)列的判定與證明. 突破點(diǎn)(一)　等差數(shù)列基本量的計(jì)算 基礎(chǔ)聯(lián)通 抓主干知識(shí)的“源”與“流” 1．等差數(shù)列的有關(guān)概念 (1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列．符號(hào)表示為an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù))． (2)等差中項(xiàng)：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A＝，其中A叫做a，b的等差中項(xiàng)． 2．等差數(shù)列的有關(guān)公式 (1)通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)

31、前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋d＝. 考點(diǎn)貫通 抓高考命題的“形”與“神” 等差數(shù)列的基本運(yùn)算 [典例]　(1)(2017·宿遷高三期中)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前 n項(xiàng)和，且a2＝3，S4＝16，則S9的值為________． (2)(2018·蘇州調(diào)研)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝6，a1＝4，則公差d等于________． [解析]　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a2＝3，S4＝16，得 解得所以S9＝9×1＋×2＝81. (2)由S3＝＝6，且a1＝4， 得a3＝0，則d＝＝－2. [答案]　(1)81　(2)－2 [方法技巧]

32、 1．等差數(shù)列運(yùn)算問題的通性通法 (1)等差數(shù)列運(yùn)算問題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d，然后由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解． (2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了方程的思想．　　 2.等差數(shù)列設(shè)項(xiàng)技巧,若奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)中間三項(xiàng)為a－d，a，a＋d；若偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)中間兩項(xiàng)為a－d，a＋d，其余各項(xiàng)再依據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行對(duì)稱設(shè)元. 能力練通 抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失” 1．已知{an}是等差數(shù)列，a4＝15，S5＝55，則過點(diǎn)P(3，a3)，Q(4，

33、a4)的直線斜率為________． 解析：∵S5＝5a3＝55，∴a3＝11，∴k＝＝＝4. 答案：4 2．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝1，公差d＝2，Sn＋2－Sn＝36，則n＝________. 解析：由題意知Sn＋2－Sn＝an＋1＋an＋2＝2a1＋(2n＋1)d＝2＋2(2n＋1)＝36，解得n＝8. 答案：8 3．(2017·全國卷Ⅰ改編)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為________． 解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 則由得 即解得d＝4. 答案：4 4．(2018·南昌模擬)已

34、知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，S3＋S4＝S5. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)令bn＝(－1)n－1an，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n. 解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 由S3＋S4＝S5，可得a1＋a2＋a3＝a5，即3a2＝a5， 所以3(1＋d)＝1＋4d，解得d＝2. ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. (2)由(1)，可得bn＝(－1)n－1·(2n－1)． ∴T2n＝1－3＋5－7＋…＋(4n－3)－(4n－1) ＝(－2)×n ＝－2n. 突破點(diǎn)(二)　等差數(shù)列的基本性質(zhì)及應(yīng)用 基礎(chǔ)聯(lián)通 抓主干知識(shí)的“源

35、”與“流” 等差數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}為等差數(shù)列，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． (3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列． (4)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差數(shù)列，公差為m2d. (5)S2n－1＝(2n－1)an，S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)，遇見S奇，S偶時(shí)可分別運(yùn)用性質(zhì)及有關(guān)公式求解． (6){an}，{bn}均為等差數(shù)列且其前n項(xiàng)和為Sn

36、，Tn，則＝. (7)若{an}是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列，其首項(xiàng)與{an}的首項(xiàng)相同，公差是{an}的公差的. 考點(diǎn)貫通 抓高考命題的“形”與“神” 等差數(shù)列的性質(zhì) [例1]　(1)(2017·南京一模)設(shè){an}是等差數(shù)列，若a4＋a5＋a6＝21，則S9＝________. (2)已知{an}，{bn}都是等差數(shù)列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，則a5＋b6＝________. [解析]　(1)因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，所以a1＋a9＝a4＋a6＝2a5.又a4＋a5＋a6＝21，所以a1＋a9＝14，所以S9＝＝＝63. (2)因?yàn)閧an}，{bn}都是等

37、差數(shù)列，所以2a3＝a1＋a5,2b8＝b10＋b6，所以2(a3＋b8)＝(a1＋b10)＋(a5＋b6)，即2×15＝9＋(a5＋b6)，解得a5＋b6＝21. [答案]　(1)63　(2)21 [方法技巧] 利用等差數(shù)列性質(zhì)求解問題的注意點(diǎn) (1)如果{an}為等差數(shù)列，m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出現(xiàn)am－n，am，am＋n等項(xiàng)時(shí)，可以利用此性質(zhì)將已知條件轉(zhuǎn)化為與am(或其他項(xiàng))有關(guān)的條件；若求am項(xiàng)，可由am＝(am－n＋am＋n)轉(zhuǎn)化為求am－n，am＋n或am＋n＋am－n的值． (2)要注意等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的

38、靈活應(yīng)用，如an＝am＋(n－m)d，d＝，S2n－1＝(2n－1)an，Sn＝＝(n，m∈N*)等． [提醒]　一般地，am＋an≠am＋n，等號(hào)左、右兩邊必須是兩項(xiàng)相加，當(dāng)然也可以是am－n＋am＋n＝2am.　　 等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值 [例2]　等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＞0，設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn，且S5＝S12，則當(dāng)n為何值時(shí)，Sn有最大值？ [解]　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由S5＝S12得5a1＋10d＝12a1＋66d，d＝－a1＜0. 法一：Sn＝na1＋d ＝na1＋· ＝－a1(n2－17n)＝－a12＋a1， 因?yàn)閍1＞0，n∈N*， 所以當(dāng)n＝

39、8或n＝9時(shí)，Sn有最大值． 法二：設(shè)此數(shù)列的前n項(xiàng)和最大，則 即解得即8≤n≤9， 又n∈N*，所以當(dāng)n＝8或n＝9時(shí)，Sn有最大值． 法三：由于Sn＝na1＋d＝n2＋n， 設(shè)f(x)＝x2＋x，則函數(shù)y＝f(x)的圖象為開口向下的拋物線， 由S5＝S12知，拋物線的對(duì)稱軸為x＝＝(如圖所示)， 由圖可知，當(dāng)1≤n≤8時(shí)，Sn單調(diào)遞增；當(dāng)n≥9時(shí)，Sn單調(diào)遞減． 又n∈N*，所以當(dāng)n＝8或n＝9時(shí)，Sn最大． [方法技巧] 求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的三種方法 (1)函數(shù)法 利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式Sn＝an2＋bn，通過配方結(jié)合圖象借助求二次函數(shù)最值的

40、方法求解． (2)鄰項(xiàng)變號(hào)法 ①a1＞0，d＜0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm； ②當(dāng)a1＜0，d＞0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm. (3)通項(xiàng)公式法 求使an≥0(an≤0)成立時(shí)最大的n值即可．一般地，等差數(shù)列{an}中，若a1＞0，且Sp＝Sq(p≠q)，則： ①若p＋q為偶數(shù)，則當(dāng)n＝時(shí)，Sn最大； ②若p＋q為奇數(shù)，則當(dāng)n＝或n＝時(shí)，Sn最大．　　 能力練通 抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失” 1.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1＋a7＋a13＝π，則cos(a2＋a12)的值為________． 解析：在等差數(shù)列{an}中，因?yàn)閍1＋a7＋

41、a13＝π，所以a7＝，所以a2＋a12＝，所以cos(a2＋a12)＝－. 答案：－ 2.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，(n＋1)Sn＜nSn＋1(n∈N*)．若＜－1，則當(dāng)Sn取最小值時(shí)n＝________. 解析：由(n＋1)Sn＜nSn＋1得(n＋1)＜n，整理得an＜an＋1，所以等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，又＜－1，所以a8＞0，a7＜0，所以數(shù)列{an}的前7項(xiàng)為負(fù)值，即當(dāng)n＝7時(shí)，Sn的值最?。? 答案：7 3.已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且＝，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是________． 解析：由等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)知，

42、＝＝＝＝7＋，故當(dāng)n＝1,2,3,5,11時(shí)，為整數(shù)，故使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是5. 答案：5 4.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知前6項(xiàng)和為36，最后6項(xiàng)的和為180，Sn＝324(n＞6)，求數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)及a9＋a10. 解：由題意知a1＋a2＋…＋a6＝36，① an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，② ①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，∴a1＋an＝36， 又Sn＝＝324，∴18n＝324，∴n＝18. ∵a1＋an＝36，n＝18，∴a1＋a18＝36， 從而a9＋a10＝a1＋

43、a18＝36. 5.(2018·重慶高三期中)已知公比為q的等比數(shù)列{an}的前6項(xiàng)和S6＝21，且4a1，a2，a2成等差數(shù)列． (1)求an； (2)設(shè){bn}是首項(xiàng)為2，公差為－a1的等差數(shù)列，記{bn}前n項(xiàng)和為Tn，求Tn的最大值． 解：(1)4a1，a2，a2成等差數(shù)列，∴4a1＋a2＝3a2，即2a1＝a2，∴q＝2，∴S6＝＝21，解得a1＝，∴an＝. (2)由(1)可知{bn}是首項(xiàng)為2，公差為－的等差數(shù)列，∴bn＝－n＋， 法一：Tn＝－n2＋n＝－2＋，則Tn的最大值為7，此時(shí)n＝6或7. 法二：∵公差為－為負(fù)數(shù)，∴數(shù)列{bn}是遞減數(shù)列． ∵b7＝0，

44、∴n＝6或7時(shí)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn取得最大值7. 突破點(diǎn)(三)　等差數(shù)列的判定與證明 基礎(chǔ)聯(lián)通 抓主干知識(shí)的“源”與“流” 等差數(shù)列的判定與證明方法 方法 解讀 適合題型 定義法 對(duì)于數(shù)列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)為同一常數(shù)?{an}是等差數(shù)列 解答題中的證明問題 等差中項(xiàng)法 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立?{an}是等差數(shù)列 通項(xiàng)公式法 an＝pn＋q(p，q為常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列 填空題中的判定問題 前n項(xiàng)和公式法 驗(yàn)證Sn＝An2＋Bn(A，B是常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù)n都成立?{

45、an}是等差數(shù)列 考點(diǎn)貫通 抓高考命題的“形”與“神” 等差數(shù)列的判定與證明 [典例]　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足：an＋2SnSn－1＝0(n≥2，n∈N*)，a1＝，判斷{an}是否為等差數(shù)列，并說明你的理由． [解]　因?yàn)閍n＝Sn－Sn－1(n≥2)，an＋2SnSn－1＝0， 所以Sn－Sn－1＋2SnSn－1＝0(n≥2)． 所以－＝2(n≥2)．又S1＝a1＝， 所以是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列． 所以＝2＋(n－1)×2＝2n，故Sn＝. 所以當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－＝， 所以an＋1＝，而an＋1－an＝－＝＝.

46、 所以當(dāng)n≥2時(shí)，an＋1－an的值不是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)，故數(shù)列{an}不是等差數(shù)列． 能力練通 抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失” 1．已知{an}是公差為1的等差數(shù)列，判斷{a2n－1＋2a2n}是否為等差數(shù)列，并說明理由． 解：令bn＝a2n－1＋2a2n，則bn＋1＝a2n＋1＋2a2n＋2，故bn＋1－bn＝a2n＋1＋2a2n＋2－(a2n－1＋2a2n)＝(a2n＋1－a2n－1)＋2(a2n＋2－a2n)＝2d＋4d＝6d＝6×1＝6.即{a2n－1＋2a2n}是公差為6的等差數(shù)列． 2．已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an＝2－(n≥2，n∈N*)，設(shè)bn＝(n∈N*

47、)．求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列． 證明：∵an＝2－， ∴an＋1＝2－. ∴bn＋1－bn＝－＝－＝＝1， ∴{bn}是首項(xiàng)為b1＝＝1，公差為1的等差數(shù)列． 3．(2018·蘇州月考)已知數(shù)列{an}中，a2＝1，前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝. (1)求a1； (2)證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并寫出其通項(xiàng)公式． 解：(1)令n＝1，則a1＝S1＝＝0. (2)由Sn＝，即Sn＝，① 得Sn＋1＝.② ②－①，得(n－1)an＋1＝nan.③ 于是，nan＋2＝(n＋1)an＋1.④ ③＋④，得nan＋2＋nan＝2nan＋1，即an＋2＋an＝2an＋1. 又a

48、1＝0，a2＝1，a2－a1＝1， 所以，數(shù)列{an}是以0為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列． 所以，an＝n－1. [課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)] 　　 重點(diǎn)保分課時(shí)——一練小題夯雙基，二練題點(diǎn)過高考 [練基礎(chǔ)小題——強(qiáng)化運(yùn)算能力] 1．若等差數(shù)列{an}的前5項(xiàng)之和S5＝25，且a2＝3，則a7＝________. 解析：由S5＝，得25＝，解得a4＝7，所以7＝3＋2d，即d＝2，所以a7＝a4＋3d＝7＋3×2＝13. 答案：13 2．在等差數(shù)列{an}中，a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，則m的值為________． 解析：am＝a1＋a2＋…＋a9＝9a1＋d＝

49、36d＝a37，即m＝37. 答案：37 3．(2018·啟東中學(xué)月考)在單調(diào)遞增的等差數(shù)列{an}中，若a3＝1，a2a4＝，則a1＝________. 解析：由題知，a2＋a4＝2a3＝2，又∵a2a4＝，數(shù)列{an}單調(diào)遞增，∴a2＝，a4＝.∴公差d＝＝.∴a1＝a2－d＝0. 答案：0 4．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝－11，a3＋a7＝－6，則當(dāng)Sn取最小值時(shí)，n等于________． 解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.因?yàn)閍3＋a7＝－6，所以a5＝－3，d＝2，則Sn＝n2－12n，故當(dāng)n等于6時(shí)Sn取得最小值． 答案：6 5．(2018·蘇南

50、四校聯(lián)考)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若＝，則＝________. 解析：法一：各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列{an}中，由＝得＝，∴a1＝d， 即an＝d＋(n－1)d＝nd，所以Sn＝nd＋＝d，所以＝＝3. 法二：等差數(shù)列{an}中，a1＋a9＝2a5，a1＋a5＝2a3，所以＝＝＝×＝3. 答案：3 [練?？碱}點(diǎn)——檢驗(yàn)高考能力] 一、填空題 1．(2017·黃岡質(zhì)檢)在等差數(shù)列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝________. 解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8構(gòu)成新的等差數(shù)列，

51、于是a7＋a8＝(a1＋a2)＋(4－1)[(a3＋a4)－(a1＋a2)]＝40＋3×20＝100. 答案：100 2．(2017·江陰三校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3，{bn}為等差數(shù)列，且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b2＝12，則a8＝________. 解析：設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，則d＝b3－b2＝－14，因?yàn)閍n＋1－an＝bn，所以a8－a1＝b1＋b2＋…＋b7＝＝[(b2－d)＋(b2＋5d)]＝－112，又a1＝3，則a8＝－109. 答案：－109 3．在等差數(shù)列{an}中，a3＋a5＋a11＋a17＝4，且其前n項(xiàng)和為Sn，則S1

52、7＝________. 解析：由a3＋a5＋a11＋a17＝4，得2(a4＋a14)＝4，即a4＋a14＝2，則a1＋a17＝2，故S17＝＝17. 答案：17 4．(2017·全國卷Ⅲ改編)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則{an}前6項(xiàng)的和為________． 解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 因?yàn)閍2，a3，a6成等比數(shù)列，所以a2a6＝a， 即(a1＋d)(a1＋5d)＝(a1＋2d)2. 又a1＝1，所以d2＋2d＝0. 又d≠0，則d＝－2， 所以{an}前6項(xiàng)的和S6＝6×1＋×(－2)＝－24. 答案：－24 5．

53、設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若為常數(shù)，則稱數(shù)列{an}為“吉祥數(shù)列”．已知等差數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為1，公差不為0，若數(shù)列{bn}為“吉祥數(shù)列”，則數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為________． 解析：設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d(d≠0)，＝k，因?yàn)閎1＝1，則n＋n(n－1)d＝k，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，整理得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0.因?yàn)閷?duì)任意的正整數(shù)n上式均成立，所以(4k－1)d＝0，(2k－1)(2－d)＝0，解得d＝2，k＝.所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n－1. 答案：bn＝2n－1 6．(2018·南通模擬)設(shè)等差數(shù)列{a

54、n}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2a4a6a8＝120，且＋＋＋＝，則S9的值為________． 解析：由題意得＋＋＋＝＋＋＋＝，則2(a2＋a8)＝14，即a2＋a8＝7，所以S9＝＝(a2＋a8)＝. 答案： 7．(2018·徐州質(zhì)檢)在等差數(shù)列{an}中，已知首項(xiàng)a1＞0，公差d＞0.若a1＋a2≤60，a2＋a3≤100，則5a1＋a5的最大值為________． 解析：由題意得所以設(shè)x(2a1＋d)＋y(2a1＋3d)＝6a1＋4d，所以解得于是兩式相加得5a1＋a5≤200. 答案：200 8．記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1＝2，且數(shù)列{}也為等差數(shù)列，則a1

55、3＝________. 解析：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d.因?yàn)閧}為等差數(shù)列，所以，，成等差數(shù)列，從而2＝＋，解得d＝4，所以a13＝2＋12d＝50. 答案：50 9．(2018·金陵中學(xué)月考)在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a7＋a10＝15，i＝77，若ak＝13，則正整數(shù)k的值為________． 解析：等差數(shù)列{an}中2a7＝a4＋a10，a4＋a14＝a5＋a13＝a6＋a12＝a7＋a11＝a8＋a10＝2a9，因?yàn)閍4＋a7＋a10＝15，i＝77，所以3a7＝15,11a9＝77，即a7＝5，a9＝7，即2d＝2，d＝1，因?yàn)閍k＝13，所以ak－a9＝13－7＝6＝

56、6d＝(k－9)d，即k＝15. 答案：15 10．(2018·無錫期初)若a，b是函數(shù)f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且a，b，－2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則p＋q的值為________． 解析：由根與系數(shù)的關(guān)系得a＋b＝p，a·b＝q，則a＞0，b＞0，當(dāng)a，b，－2適當(dāng)排序后成等比數(shù)列時(shí)，－2必為等比中項(xiàng)，故a·b＝q＝4，b＝.當(dāng)適當(dāng)排序后成等差數(shù)列時(shí)，－2必不是等差中項(xiàng)，當(dāng)a是等差中項(xiàng)時(shí)，2a＝－2，解得a＝1，b＝4；當(dāng)是等差中項(xiàng)時(shí)，＝a－2，解得a＝4，b＝1.綜上所述，a＋b＝p＝5，所以p＋q＝9. 答案：

57、9 二、解答題 11．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝(n∈N*，n≥2)，數(shù)列{bn}滿足關(guān)系式bn＝(n∈N*)． (1)求證：數(shù)列{bn}為等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 解：(1)證明：∵bn＝，且an＝，∴bn＋1＝＝＝，∴bn＋1－bn＝－＝2. 又∵b1＝＝1，∴數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列． (2)由(1)知數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1，又bn＝，∴an＝＝. ∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝. 12．已知數(shù)列{an}滿足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，它的前n項(xiàng)和為Sn，且a3＝10，S

58、6＝72，若bn＝an－30，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn的最小值． 解：∵2an＋1＝an＋an＋2，∴an＋1－an＝an＋2－an＋1， 故數(shù)列{an}為等差數(shù)列． 設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由a3＝10，S6＝72得， 解得a1＝2，d＝4. 故an＝4n－2，則bn＝an－30＝2n－31， 令即 解得≤n≤， ∵n∈N*，∴n＝15， 即數(shù)列{bn}的前15項(xiàng)均為負(fù)值，∴T15最?。? ∵數(shù)列{bn}的首項(xiàng)是－29，公差為2， ∴T15＝＝－225， ∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn的最小值為－225. 第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 本節(jié)主

59、要包括3個(gè)知識(shí)點(diǎn)： 1.等比數(shù)列基本量的計(jì)算； 2.等比數(shù)列的性質(zhì)； 3.等比數(shù)列的判定與證明. 突破點(diǎn)(一)　等比數(shù)列基本量的計(jì)算 基礎(chǔ)聯(lián)通 抓主干知識(shí)的“源”與“流” 1．等比數(shù)列的有關(guān)概念 (1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為＝q. (2)等比中項(xiàng)：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)．即：G是a與b的等比中項(xiàng)?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab. 2．等比數(shù)列的有關(guān)公式 (1)通項(xiàng)公式：an＝a1qn－1.

60、(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝ 3．運(yùn)用方程的思想求解等比數(shù)列的基本量 (1)若已知n，an，Sn，先驗(yàn)證q＝1是否成立，若q≠1，可以通過列方程(組)求出關(guān)鍵量a1和q，問題可迎刃而解． (2)若已知數(shù)列{an}中的兩項(xiàng)an和am，可以利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到方程組計(jì)算時(shí)兩式相除可先求出q，然后代入其中一式求得a1，進(jìn)一步求得Sn.另外，還可以利用公式an＝am·qn－m直接求得q，可減少運(yùn)算量． 考點(diǎn)貫通 抓高考命題的“形”與“神” 求首項(xiàng)a1，公比q [例1]　(1)(2017·無錫模擬)已知等比數(shù)列{an}單調(diào)遞減，若a3＝1，a2＋a4＝，則a1＝_____

61、___. (2)在等比數(shù)列{an}中，a3＝7，前3項(xiàng)之和S3＝21，則公比q的值為________． [解析]　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，q＞0，則a＝a2a4＝1，又a2＋a4＝，且{an}單調(diào)遞減，所以a2＝2，a4＝，則q2＝，q＝，所以a1＝＝4. (2)根據(jù)已知條件得消去a1得＝3，整理得2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－. [答案]　(1)4　(2)1或－ 求通項(xiàng)或特定項(xiàng) [例2]　(1)(2017·全國卷Ⅲ)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，則a4＝________. (2)在等比數(shù)列{an}中，若公比q＝4，且前3項(xiàng)之和

62、等于21，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝________. [解析]　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， 則a1＋a2＝a1(1＋q)＝－1， a1－a3＝a1(1－q2)＝－3， 兩式相除，得＝，解得q＝－2，a1＝1， 所以a4＝a1q3＝－8. (2)由題意知a1＋4a1＋16a1＝21，解得a1＝1，所以等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1＝4n－1. [答案]　(1)－8　(2)4n－1 [方法技巧] 求等比數(shù)列通項(xiàng)公式的方法與策略 求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，一般先求出首項(xiàng)與公比，再利用an＝a1qn－1求解．但在某些情況下，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式的變形an＝am

63、qn－m可以簡(jiǎn)化解題過程． 求解時(shí)通常會(huì)涉及等比數(shù)列設(shè)項(xiàng)問題，常用的設(shè)項(xiàng)方法為： (1)通項(xiàng)法 設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1qn－1(n∈N*)來求解． (2)對(duì)稱設(shè)元法 與有窮等差數(shù)列設(shè)項(xiàng)方法類似，有窮等比數(shù)列設(shè)項(xiàng)也要注意對(duì)稱設(shè)元．一般地，連續(xù)奇數(shù)個(gè)項(xiàng)成等比數(shù)列，可設(shè)為…，，x，xq，…；連續(xù)偶數(shù)個(gè)項(xiàng)成等比數(shù)列，可設(shè)為…，，，xq，xq3，…(注意：此時(shí)公比q2＞0，并不適合所有情況)．這樣既可以減少未知量的個(gè)數(shù)，也使得解方程較為方便．　　 求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 [例3]　設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足6Sn＋1＝9an(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

64、(2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. [解]　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，由6a1＋1＝9a1，得a1＝. 當(dāng)n≥2時(shí)，由6Sn＋1＝9an，得6Sn－1＋1＝9an－1， 兩式相減得6(Sn－Sn－1)＝9(an－an－1)， 即6an＝9(an－an－1)，所以an＝3an－1. 所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為an＝×3n－1＝3n－2. (2)因?yàn)閎n＝＝n－2， 所以{bn}是首項(xiàng)為3，公比為的等比數(shù)列， 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝1－n. 能力練通 抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失” 1.已知等比數(shù)列{an}的前三項(xiàng)依

65、次為a－1，a＋1，a＋4，則an＝________. 解析：由題意得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，故a1＝4，a2＝6，所以q＝，則an＝4×n－1. 答案：4×n－1 2.已知數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，且a1·a3＝4，a4＝8，則a1＋q的值為________． 解析：由a1·a3＝4，a4＝8，得aq2＝4，a1q3＝8，解得q＝±2.當(dāng)q＝2時(shí)，a1＝1，此時(shí)a1＋q＝3；當(dāng)q＝－2時(shí)，a1＝－1，此時(shí)a1＋q＝－3. 答案：3或－3 3.(2018·泰州模擬)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，則＝_______

66、_. 解析：設(shè){an}的公比為q，∵ ∴由①②可得＝2，∴q＝，將q＝代入①得a1＝2，∴an＝2×n－1＝， Sn＝＝4，∴＝＝2n－1. 答案：2n－1 4.(2017·江蘇高考)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn.已知S3＝，S6＝，則a8＝________. 解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則由S6≠2S3，得q≠1，則解得 則a8＝a1q7＝×27＝32. 答案：32 5.已知{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，Sn表示{an}的前n項(xiàng)和． (1)求an及Sn； (2)設(shè){bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，公比q滿足q2－(a4＋1)q＋S4＝0，求{bn}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Tn. 解：(1)因?yàn)閧an}是首項(xiàng)a1＝1，公差d＝2的等差數(shù)列， 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1. 故Sn＝＝＝n2. (2)由(1)得a4＝7，S4＝16. 因?yàn)閝2－(a4＋1)q＋S4＝0，即q2－8q＋16＝0， 所以(q－4)2＝0，從而q＝4. 又b1＝2，{bn}是公比q＝4的等比數(shù)列， 所以bn＝b1qn－1＝2·4n－