高中數(shù)學 第3章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入本章概覽素材 蘇教版選修1-2（通用）

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1、第3章　數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 本章概覽 內容提要 本章的主要內容是復數(shù)的有關概念，復數(shù)代數(shù)形式的運算以及數(shù)系的擴充等. 1.數(shù)集的擴充過程是 自然數(shù)集（N）→整數(shù)集（Z）→有理數(shù)集（Q）→實數(shù)集（R）→復數(shù)集（C）. 數(shù)集的每一次擴充，都使數(shù)集本身能適合更多種代數(shù)運算. 2.形如a+bi的數(shù)叫做復數(shù)，其中a、b∈R，i2=-1.當b=0時為實數(shù)，當b≠0時為虛數(shù)，當b≠0且a=0時為純虛數(shù). 全體復數(shù)所組成的集合稱為復數(shù)集，記為C，即C={z|z=a+bi,a,b∈R}. 3.任一復數(shù)z=a+bi（a、b∈R）和復平面內的一點Z(a,b)對應，且是一一對應；任一復數(shù)z=a+b

2、i（a、b∈R)與它對應的點所在平面內的一個向量對應（O是坐標原點），且也是一一對應. 4.引進i2=-1后，復數(shù)的四則運算就可按實數(shù)的運算法則同樣地進行，并且也滿足關于加法、減法的運算律.復數(shù)的加、減、乘、除（除數(shù)不為0）運算的結果仍是復數(shù). 5.本章中的常用結論 （1）共軛復數(shù)的常用性質： 設z=a+bi（a、b∈R），則 ①z+=2a;②z-=2bi（純虛數(shù)或零）；③（）=z. （2）共軛復數(shù)的代數(shù)運算： ①(可推廣到任意有限個復數(shù)相加的情形)；②；③（可推廣到任意有限個復數(shù)相乘的情形）；④；⑤（z2≠0）. （3）共軛復數(shù)與模的關系： z=|z|2=||2. (4)

3、判斷一個復數(shù)是純虛數(shù)，可以從下面幾個方面去思考： ①實部為0且虛部不為0，則z為純虛數(shù)；②z+=0且z≠0,則z為純虛數(shù)；③若z為虛數(shù)，則z-為純虛數(shù)；④若z≠0且|z-a|=|z+a|(a∈R+)，則z為純虛數(shù)；⑤若z為純虛數(shù)，則可得z=ki（k∈R且k≠0）. （5）判斷一個復數(shù)是實數(shù)，可從如下幾個方面思考： ①z的虛部為0，則z∈R;②z=z∈R;③z+∈R;④z=|z|2∈R;⑤z1、z2為純虛數(shù)，則z1·z2∈R. 學法指導 我們把一個數(shù)集連同相應的運算及結構叫作一個數(shù)系.本章內容——復數(shù)的引入實現(xiàn)了中學階段數(shù)系的最后一次擴充. 數(shù)系擴充的過程體現(xiàn)了數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，同時體現(xiàn)了數(shù)學發(fā)生發(fā)展的客觀需求和背景，復數(shù)的引入是中學階段數(shù)系的又一次擴充.在本模塊中，將在問題情境中了解數(shù)系擴充的過程以及引入復數(shù)的必要性，學習復數(shù)的一些基本知識，體會人類理性思維在數(shù)系擴充中的作用. 在有關復數(shù)內容的學習過程中，切實注意： 1.復數(shù)的定義； 2.復數(shù)相等的概念及其充要條件； 3.復數(shù)的運算法則.