2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第五講 一元二次方程的整數(shù)整數(shù)解

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1、2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座第五講一元二次方程的整 數(shù)整數(shù)解 在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，在各類(lèi)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，一元二次方程的整數(shù)解問(wèn)題一直是個(gè)熱點(diǎn)，它將古老的整數(shù)理論與傳統(tǒng)的一元二次方程知識(shí)相結(jié)合，涉及面廣，解法靈活，綜合性強(qiáng)，備受關(guān)注，解含參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)解問(wèn)題的基本策略有： 從求根入手，求出根的有理表達(dá)式，利用整除求解； 從判別式手，運(yùn)用判別式求出參數(shù)或解的取值范圍，或引入?yún)?shù)(設(shè)△=)，通過(guò)窮舉，逼近求解； 從韋達(dá)定理入手，從根與系數(shù)的關(guān)系式中消去參數(shù)，得到關(guān)于兩根的不定方程，借助因數(shù)分解、因式分解求解； 從變更主元入人，當(dāng)方程中參數(shù)次數(shù)較低時(shí)，可考慮以參數(shù)為主元求

2、解．注：一元二次方程的整數(shù)根問(wèn)題，既涉及方程的解法、判別式、韋達(dá)定理等與方程相關(guān)的知識(shí)，又與整除、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等整數(shù)知識(shí)密切相關(guān)． 【例題求解】 【例1】若關(guān)于的方程(6-k)(9-k)x2-(117-15k)x+54=0的解都是整數(shù)，則符合條件的整數(shù) 是的值有個(gè). 思路點(diǎn)撥用因式分解法可得到根的簡(jiǎn)單表達(dá)式，因方程的類(lèi)型未指明，故須按一次方程、二次方程兩種情形討論，這樣確定是的值才能全面而準(zhǔn)確． 注：系數(shù)含參數(shù)的方程問(wèn)題，在沒(méi)有指明是二次方程時(shí)，要注意有可能是一次方程，根據(jù)問(wèn)題的題設(shè)條件，看是否要分類(lèi)討論． 【例2】已知、為質(zhì)數(shù)且是方程的根，那么的值是() A．B．C．

3、D． 思路點(diǎn)撥由韋達(dá)定理、的關(guān)系式，結(jié)合整數(shù)性質(zhì)求出、的值． 【例3】試確定一切有理數(shù)，使得關(guān)于的方程有根且只有整數(shù)根． 思路點(diǎn)撥由于方程的類(lèi)型未確定，所以應(yīng)分類(lèi)討論．當(dāng)時(shí)，由根與系數(shù)關(guān)系得到關(guān)于r的兩個(gè)等式，消去r利用因式(數(shù))分解先求出方程兩整數(shù)根. 【例4】當(dāng)為整數(shù)時(shí)，關(guān)于的方程是否有有理根?如果有，求出的值；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明 理由． 思路點(diǎn)撥整系數(shù)方程有有理根的條件是為完全平方數(shù)． 設(shè)△二(2m+1)2-4(2m-1)=4m2-4m+5=(2m-1)2+4=n2(為整數(shù))解不定方程，討論的存在性． 注：一元二次方程(aMO)而言，方程的根為整數(shù)必為有理數(shù)，而△二為完全平

4、方數(shù)是方程的根為有理數(shù)的充要條件． 【例5】若關(guān)于的方程至少有一個(gè)整數(shù)根，求非負(fù)整數(shù)的值． 思路點(diǎn)撥因根的表示式復(fù)雜，從韋達(dá)定理得出的的兩個(gè)關(guān)系式中消去也較困難，又因的次數(shù)低于的次數(shù)，故可將原方程變形為關(guān)于的一次方程． 學(xué)歷訓(xùn)練 1?已知關(guān)于的方程的根都是整數(shù)，那么符合條件的整數(shù)有—? 2. 已知方程有兩個(gè)質(zhì)數(shù)解，則m=. 3. 給出四個(gè)命題：①整系數(shù)方程(aMO)中，若△為一個(gè)完全平方數(shù)，則方程必有有理根； ②整系數(shù)方程(aMO)中，若方程有有理數(shù)根，則△為完全平方數(shù)；③無(wú)理數(shù)系數(shù)方程(aMO)的根只能是無(wú)理數(shù)；④若、均為奇數(shù)，則方程沒(méi)有有理數(shù)根，其中真命題. 4. 已知關(guān)于

5、的一元二次方程(為整數(shù))的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是、則=. 5.設(shè)rn為整數(shù)，且4〈m〈40，方程x2-2(2m-3)x+4m2-14m+8=0有兩個(gè)整數(shù)根，求m的值及方程的根． 6.已知方程ax2-(3a2—8a)x+2a2—13a+15=0(aMO)至少有一個(gè)整數(shù)根，求的值.7．求使關(guān)于的方程的根都是整數(shù)的值． 8. 當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，關(guān)于的方程2x2—8nx+10x—n2+35n—76=0的兩根均為質(zhì)數(shù)，試解此方程． 9. 設(shè)關(guān)于的二次方程(k2-6k+8)x2+(2k2-6k-4)x+k2=4的兩根都是整數(shù)，試求滿足條件的所有實(shí)數(shù)的值． 10. 試求所有這樣的正整數(shù)，使得方程至少有一個(gè)整數(shù)解

6、. 11．已知為質(zhì)數(shù)，使二次方程的兩根都是整數(shù)，求出的所有可能值． 12．已知方程及分別各有兩個(gè)整數(shù)根、及、，且>O，>O． (1) 求證：〈O,〈O，〈O,〈O； (2) 求證：； (3) 求、所有可能的值． 13．如果直角三角形的兩條直角邊都是整數(shù)，且是方程的根（為整數(shù)），這樣的直角三角形是否存在?若存在，求出滿足條件的所有三角形的三邊長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 參考答案 ⑤一元二次方程的整數(shù)解 【例題求解】 例15當(dāng)A6時(shí)，得工=2；當(dāng)怡=9時(shí)，得±=—3,當(dāng)AH6且"H9時(shí)，解得4=吉，乜=占，當(dāng)6T=士1,±3,±9 時(shí).xi是整數(shù)，這時(shí)人=7,5,3,15,—

7、3；當(dāng)9一怡=±1,土2,士3,士6時(shí)，為是整數(shù)，這時(shí)A=10,8,11,7,12,15,3.綜上所述^=3,6,7,9,15時(shí)原方程的解為整數(shù). 例2選Ba+6=13,則a,6為2,ll,c=a6=22. 例3(1)當(dāng)r=O時(shí)，得x=y不是整數(shù)； (2)當(dāng)A?工0時(shí)，設(shè)方程的兩根為T(mén)t,(X1),則X1+X2=—~~'X2=~~~于是，2±1工2—(心+?!>)= 2(二9)+匚嚴(yán)=3,有(2q—1)(2乜-1〉=7'：Xi,x2為整數(shù)，且X!

8、(n+2w—l)(n—2加+1〉=4 Vn+(2m—1)與n—(2m—l)奇偶性相同，故只可能有P+(2w,“'或(“+⑵"1)-[解得2m-l=0 In—(2m—1)=2In~(2ni—1)=—2 此與m為整數(shù)矛盾，故△不可能為完全平方數(shù)，方程不可能有有理根. 例50=」鳥(niǎo)篇1=(：；箒羅1①，解得；一2<^6且工工一1山=一2,0,1,2,3,4,5,6 分別代入①，得a=1,13,(a的分?jǐn)?shù)值已舍去〉 【學(xué)力訓(xùn)練】 1.5當(dāng)a=l時(shí),x=l,當(dāng)aHl時(shí),Ti=1,x2=—1—2.39943.①②④4.±1 5.A=4(2m+1)為完全平方數(shù)，又m為4

9、=12或24.當(dāng)m=\2時(shí)，勸=16,曲=26;當(dāng)觀=24時(shí)，七= 3c 6.顯然=2——,^4=1—從而可得a=l,3或5. 7-當(dāng)人=0時(shí).x=l,當(dāng)*工1時(shí)，設(shè)兩個(gè)整數(shù)根為?，工門(mén)則有pl+x2=—1—-7-① ①一②，得?+工2_工1氐=2 ② 38,4=52. |X]X2—1—— ???(x1-1)(x2-1)=3=1X3=(-1)X(-3)^得工|+孔=6或勸+孔=一2? 即_1_+=6或_l-y=-2,解得h=-寺或4=1,故滿足要求的g值為 &設(shè)兩質(zhì)數(shù)根為4、亞，則心+孔=4”一5為奇數(shù)，q、孔必一奇--偶，不妨設(shè)小=2,代入原方程得n2-19n+48=0.

10、解得=16??2=3,當(dāng)”=16時(shí)，￡2=57$當(dāng)72=3時(shí)，龍2=5. 9-4=一1一總皿=一1一占，消去k得x1xj+3x1+2=0.即m(m+3)=-2. ■:（工】=_2 Ix2+3=1 nf仝\ a=（z+2）2，解得—4￡工￡2,討論得“=1,3,6,10. Xi=1 衛(wèi)+3=—2 工嚴(yán)2, 從而得代=6,3,￥? 觀=一4.$ u.A=4p2-4(，一5p—l)=4(5p+l)為完全平方數(shù)，從而5p+l為完全平方數(shù)?令5p+l=『，注意到/>>2,故W>4,且?為整數(shù)，于是5p=(n+l)(n—1).則“+1、”一1中至少有一個(gè)是5的倍數(shù)，即”=5點(diǎn)±1

11、(點(diǎn)為整數(shù)).*.5p+l=25護(hù)±1M+l"=駅5丘土2). 由P為質(zhì)數(shù)，5怡士2>1知A=l,p=3或7,當(dāng)0=3時(shí)，原方程變?yōu)椴乓?工一7=0,得工】=一1,比=7；當(dāng)p=7時(shí)，原方程變?yōu)閤2-14x+13=0,得工i=l,總=13.所以,/>=3或7. 12. <1)假設(shè)Xi>0,由X]T2>0知t2>0,Xi+^2=~h=—.還與已知Xi^2>0,^\^/2>0矛盾，故?<0,業(yè)V0,同理 jc1<0*衛(wèi)gV?0. (2) c—(6—l)=Xix2+工]+忌+1=(工1+1)(工2+1)^0,故c^b—1，對(duì)于方程x2十工+5=0進(jìn)行同樣討論，得b^c—1,綜上有6-lWcW

12、b+l. (3) ①當(dāng)c=b+l時(shí)x2=-x1-x2+l.從而(^+1)(^+1)=2=(-l)X(-2)=1X2. (工1+1=—1匕1+1=—2 故,c或由此算出&=5"=6符合題意* IJ-2+1?—2Ix2+1——1 ② 當(dāng)c=b9有小勸=—(工1+比〉，從而(4+l)(x2+1)=1,因此，4=孔=—2+故b=w=4、符合題意. ③ 當(dāng)c=bT時(shí)，&=c+l,對(duì)方程ri+cx+b=0作類(lèi)似①討論有方=6丄=5,綜上所述得三組值.(趴C=(6,5),(5,6),(4,4). 13. 鞏2=片化廠皿+1，當(dāng)勿=1時(shí)，丄=2或0,這樣的直角三角形不存在，假設(shè)還存在不為0或1的整數(shù)加,使得方程有整數(shù)抿，則m2—zw+1=A2(A為整數(shù))*即m2—m—k1~1,必有m(m—1)=(^—1)(^+1),而m(m—l)是兩個(gè)連續(xù)的不為0的整數(shù)的乘積，但是U-1)和d+l)、l和(k2~l)都不是連續(xù)整數(shù)，故m^O且時(shí)，旳2—砒+1不是某整數(shù)的平方.綜上所述，滿足條件的直角三角形不存在.