2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 刷題首選卷 第一部分 刷考點(diǎn) 考點(diǎn)二十三 不等式選講 理

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1、考點(diǎn)二十三　不等式選講 解答題 1．已知函數(shù)f(x)＝|x－1|－|x＋2|. (1)求不等式－22|m－n|. 解　(1)依題意，f(x)＝|x－1|－|x＋2| ＝ 由－2<－2x－1<0，解得－0， 所以|1－4mn|2>4|m－n|2，故|1－4mn|>2|m－n|. 2．已知f(x)＝|x

2、－2|－|x－a|. (1)當(dāng)a＝－4時(shí)，解不等式f(x)<1； (2)當(dāng)a＝4時(shí)，求直線(xiàn)y＝x－2與函數(shù)f(x)的圖象圍成的平面圖形的面積． 解　(1)當(dāng)a＝－4時(shí)，f(x)＝|x－2|－|x＋4|<1， ∴ 解得x>2或－

3、2與函數(shù)f(x)的圖象有公共點(diǎn)，求k的取值范圍． 解　(1)由f(x)≤2，得或 或解得0≤x≤5， 故不等式f(x)≤2的解集為[0,5]． (2)f(x)＝|x－4|＋|x－1|－3＝ 作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，直線(xiàn)y＝kx－2過(guò)定點(diǎn)C(0，－2)，當(dāng)此直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(4，0)時(shí)，k＝； 當(dāng)此直線(xiàn)與直線(xiàn)AD平行時(shí)，k＝－2. 故由圖可知，k∈(－∞，－2)∪. 4．(2019·河北石家莊二模)設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－2|＋|2x－a|. (1)當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f(x)≥3的解集； (2)當(dāng)f(x)＝|x－a＋2|時(shí)，求實(shí)數(shù)x的取值范圍． 解　(1)當(dāng)a＝1

4、時(shí)， f(x)＝|x－2|＋|2x－1|＝ 不等式f(x)≥3可化為 或或 解得不等式的解集為(－∞，0]∪[2，＋∞)． (2)由絕對(duì)值的三角不等式，可得 f(x)＝|x－2|＋|2x－a|≥|2x－a－(x－2)| ＝|x－a＋2|， 當(dāng)且僅當(dāng)(2x－a)(x－2)≤0時(shí)，取“＝”， 所以當(dāng)a≤4時(shí)，x的取值范圍為≤x≤2； 當(dāng)a>4時(shí)，x的取值范圍為2≤x≤. 5．(2019·河南八市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝m|x－1|. (1)若m＝1，求不等式f(x)≤x2＋1的解集； (2)當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，不等式f(x)

5、題意，不等式|x－1|≤x2＋1，可得－x2－1≤x－1≤x2＋1， 即解得x≤－1或x≥0， 所以不等式的解集為{x|x≤－1或x≥0}． (2)因?yàn)?0，即m>－， 又因?yàn)間(x)＝－在(0,1)是增函數(shù)， 所以g(x)<－1，所以m≥－1. 6．(2019·廣東潮州二模)已知f(x)＝2|x－2|＋|x＋1|. (1)求不等式f(x)<6的解集； (2)設(shè)m，n，p為正實(shí)數(shù)，且m＋n＋p＝f(3)，求證：mn＋np＋pm≤12. 解　(1)①當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)＝2x

6、－4＋x＋1＝3x－3， 由f(x)<6，∴3x－3<6，∴x<3，即2≤x<3. ②當(dāng)－1－1，即－1－1，無(wú)解， 綜上，不等式f(x)<6的解集為(－1,3)． (2)證明：∵f(x)＝2|x－2|＋|x＋1|，∴f(3)＝6， ∴m＋n＋p＝f(3)＝6，且m，n，p為正實(shí)數(shù)， ∴(m＋n＋p)2＝m2＋n2＋p2＋2mn＋2mp＋2np＝36， ∵m2＋n2≥2mn，m2＋p2

7、≥2mp，n2＋p2≥2np， ∴m2＋n2＋p2≥mn＋mp＋np， ∴(m＋n＋p)2＝m2＋n2＋p2＋2mn＋2mp＋2np≥3(mn＋mp＋np)， 又m，n，p為正實(shí)數(shù)，∴mn＋np＋pm≤12. 解答題 1．(2019·湖南長(zhǎng)郡中學(xué)一模)已知函數(shù)f(x)＝|x－a|＋|2x－1|. (1)當(dāng)a＝1時(shí)，求f(x)≤2的解集； (2)若f(x)≤|2x＋1|的解集包含集合，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝|x－1|＋|2x－1|， f(x)≤2?|x－1|＋|2x－1|≤2， 可化為或 或 解得或或 ∴0≤x≤或

8、 ∴原不等式的解集為. (2)∵f(x)≤|2x＋1|的解集包含集合， ∴當(dāng)x∈時(shí)，不等式f(x)≤|2x＋1|恒成立， 即|x－a|＋|2x－1|≤|2x＋1|在x∈上恒成立， ∴|x－a|＋2x－1≤2x＋1，即|x－a|≤2， ∴－2≤x－a≤2， ∴x－2≤a≤x＋2在x∈上恒成立， ∴(x－2)max≤a≤(x＋2)min， ∴－1≤a≤，∴a的取值范圍是. 2．(2019·河南許昌、洛陽(yáng)第三次質(zhì)檢)已知f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋a. (1)當(dāng)a＝－1時(shí)，求不等式f(x)≥g(x)的解集； (2)若存在x0∈R使得f(x0)≥g(x0)成立，求

9、a的取值范圍． 解　(1)當(dāng)a＝－1時(shí)原不等式可化為|x＋1|－2|x|≥－1， 設(shè)φ(x)＝|x＋1|－2|x|＝ 則或或 即－≤x≤2. ∴原不等式的解集為. (2)若存在x0∈R使得f(x0)≥g(x0)成立， 等價(jià)于|x＋1|≥2|x|＋a有解， 由(1)即φ(x)≥a有解，即a≤φ(x)max， 由(1)可知，φ(x)在(－∞，0)單調(diào)遞增，在[0，＋∞)單調(diào)遞減． ∴φ(x)max＝φ(0)＝1，∴a≤1. 3．已知函數(shù)f(x)＝3|x－a|＋|3x＋1|，g(x)＝|4x－1|－|x＋2|. (1)求不等式g(x)<6的解集； (2)若存在x1，x2∈R

10、，使得f(x1)和g(x2)互為相反數(shù)，求a的取值范圍． 解　(1)∵g(x)＝ 當(dāng)x≤－2時(shí)，－3x＋3<6， 解得x>－1，此時(shí)無(wú)解， 當(dāng)－2－，即－時(shí)，3x－3<6， 解得x<3，即

11、|≤，解得－≤a≤. 故a的取值范圍為. 4．設(shè)函數(shù)f(x)＝|2x＋a|－(x∈R，實(shí)數(shù)a>0)． (1)當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f(x)<0的解集； (2)函數(shù)f(x)的最小值為m，求證：m5－1≤m3－m2. 解　(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝|2x＋1|－<0， 即|2x＋1|<， 兩邊平方可得(2x＋1)2<2， 解得x∈. 故原不等式的解集為. (2)證明：f(x)＝ 所以f(x)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)， f(x)的最小值m＝f ＝－≤－2＝－1，當(dāng)且僅當(dāng)＝即a＝1時(shí)取等號(hào)． 所以m3＋1≤0，m2－1≥0， 所以m5－1－(m3－m2)＝m3(m2－1

12、)－1＋m2＝(m3＋1)(m2－1)≤0.所以m5－1≤m3－m2. 5．(2019·安徽皖南八校第三次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝|3x－2|－|2x－3|. (1)求不等式f(x)>x的解集； (2)若關(guān)于x的不等式f(x)<2a2＋a恰有3個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　(1)由題意，函數(shù)f(x)＝|3x－2|－|2x－3|， 得f(x)＝ 因?yàn)閒(x)>x，所以當(dāng)x≤時(shí)，－x－1>x， 即x<－；當(dāng)x，即x，即x≥. 所以不等式f(x)>x的解集為∪. (2)由(1)知f(x)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，又f(－2

13、)＝1，f(－1)＝0，f(0)＝－1，f(1)＝0，f(2)＝3， 所以0<2a2＋a≤1，所以－1≤a<－或0