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1、考點二十三 不等式選講
解答題
1．已知函數(shù)f(x)＝|x－1|－|x＋2|.
(1)求不等式－22|m－n|.
解 (1)依題意，f(x)＝|x－1|－|x＋2|
＝
由－2<－2x－1<0，解得－0，
所以|1－4mn|2>4|m－n|2，故|1－4mn|>2|m－n|.
2．已知f(x)＝|x
2、－2|－|x－a|.
(1)當a＝－4時，解不等式f(x)<1；
(2)當a＝4時，求直線y＝x－2與函數(shù)f(x)的圖象圍成的平面圖形的面積．
解 (1)當a＝－4時，f(x)＝|x－2|－|x＋4|<1，
∴
解得x>2或－
3、2與函數(shù)f(x)的圖象有公共點，求k的取值范圍．
解 (1)由f(x)≤2，得或
或解得0≤x≤5，
故不等式f(x)≤2的解集為[0,5]．
(2)f(x)＝|x－4|＋|x－1|－3＝
作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，直線y＝kx－2過定點C(0，－2)，當此直線經(jīng)過點B(4，0)時，k＝；
當此直線與直線AD平行時，k＝－2.
故由圖可知，k∈(－∞，－2)∪.
4．(2019·河北石家莊二模)設函數(shù)f(x)＝|x－2|＋|2x－a|.
(1)當a＝1時，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)當f(x)＝|x－a＋2|時，求實數(shù)x的取值范圍．
解 (1)當a＝1
4、時，
f(x)＝|x－2|＋|2x－1|＝
不等式f(x)≥3可化為
或或
解得不等式的解集為(－∞，0]∪[2，＋∞)．
(2)由絕對值的三角不等式，可得
f(x)＝|x－2|＋|2x－a|≥|2x－a－(x－2)|
＝|x－a＋2|，
當且僅當(2x－a)(x－2)≤0時，取“＝”，
所以當a≤4時，x的取值范圍為≤x≤2；
當a>4時，x的取值范圍為2≤x≤.
5．(2019·河南八市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝m|x－1|.
(1)若m＝1，求不等式f(x)≤x2＋1的解集；
(2)當x∈(0,1)時，不等式f(x)
5、題意，不等式|x－1|≤x2＋1，可得－x2－1≤x－1≤x2＋1，
即解得x≤－1或x≥0，
所以不等式的解集為{x|x≤－1或x≥0}．
(2)因為00，即m>－，
又因為g(x)＝－在(0,1)是增函數(shù)，
所以g(x)<－1，所以m≥－1.
6．(2019·廣東潮州二模)已知f(x)＝2|x－2|＋|x＋1|.
(1)求不等式f(x)<6的解集；
(2)設m，n，p為正實數(shù)，且m＋n＋p＝f(3)，求證：mn＋np＋pm≤12.
解 (1)①當x≥2時，f(x)＝2x
6、－4＋x＋1＝3x－3，
由f(x)<6，∴3x－3<6，∴x<3，即2≤x<3.
②當－1－1，即－1－1，無解，
綜上，不等式f(x)<6的解集為(－1,3)．
(2)證明：∵f(x)＝2|x－2|＋|x＋1|，∴f(3)＝6，
∴m＋n＋p＝f(3)＝6，且m，n，p為正實數(shù)，
∴(m＋n＋p)2＝m2＋n2＋p2＋2mn＋2mp＋2np＝36，
∵m2＋n2≥2mn，m2＋p2
7、≥2mp，n2＋p2≥2np，
∴m2＋n2＋p2≥mn＋mp＋np，
∴(m＋n＋p)2＝m2＋n2＋p2＋2mn＋2mp＋2np≥3(mn＋mp＋np)，
又m，n，p為正實數(shù)，∴mn＋np＋pm≤12.
解答題
1．(2019·湖南長郡中學一模)已知函數(shù)f(x)＝|x－a|＋|2x－1|.
(1)當a＝1時，求f(x)≤2的解集；
(2)若f(x)≤|2x＋1|的解集包含集合，求實數(shù)a的取值范圍．
解 (1)當a＝1時，f(x)＝|x－1|＋|2x－1|，
f(x)≤2?|x－1|＋|2x－1|≤2，
可化為或
或
解得或或
∴0≤x≤或
8、
∴原不等式的解集為.
(2)∵f(x)≤|2x＋1|的解集包含集合，
∴當x∈時，不等式f(x)≤|2x＋1|恒成立，
即|x－a|＋|2x－1|≤|2x＋1|在x∈上恒成立，
∴|x－a|＋2x－1≤2x＋1，即|x－a|≤2，
∴－2≤x－a≤2，
∴x－2≤a≤x＋2在x∈上恒成立，
∴(x－2)max≤a≤(x＋2)min，
∴－1≤a≤，∴a的取值范圍是.
2．(2019·河南許昌、洛陽第三次質(zhì)檢)已知f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋a.
(1)當a＝－1時，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
(2)若存在x0∈R使得f(x0)≥g(x0)成立，求
9、a的取值范圍．
解 (1)當a＝－1時原不等式可化為|x＋1|－2|x|≥－1，
設φ(x)＝|x＋1|－2|x|＝
則或或
即－≤x≤2.
∴原不等式的解集為.
(2)若存在x0∈R使得f(x0)≥g(x0)成立，
等價于|x＋1|≥2|x|＋a有解，
由(1)即φ(x)≥a有解，即a≤φ(x)max，
由(1)可知，φ(x)在(－∞，0)單調(diào)遞增，在[0，＋∞)單調(diào)遞減．
∴φ(x)max＝φ(0)＝1，∴a≤1.
3．已知函數(shù)f(x)＝3|x－a|＋|3x＋1|，g(x)＝|4x－1|－|x＋2|.
(1)求不等式g(x)<6的解集；
(2)若存在x1，x2∈R
10、，使得f(x1)和g(x2)互為相反數(shù)，求a的取值范圍．
解 (1)∵g(x)＝
當x≤－2時，－3x＋3<6，
解得x>－1，此時無解，
當－2－，即－時，3x－3<6，
解得x<3，即
11、|≤，解得－≤a≤.
故a的取值范圍為.
4．設函數(shù)f(x)＝|2x＋a|－(x∈R，實數(shù)a>0)．
(1)當a＝1時，求不等式f(x)<0的解集；
(2)函數(shù)f(x)的最小值為m，求證：m5－1≤m3－m2.
解 (1)當a＝1時，f(x)＝|2x＋1|－<0，
即|2x＋1|<，
兩邊平方可得(2x＋1)2<2，
解得x∈.
故原不等式的解集為.
(2)證明：f(x)＝
所以f(x)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
f(x)的最小值m＝f
＝－≤－2＝－1，當且僅當＝即a＝1時取等號．
所以m3＋1≤0，m2－1≥0，
所以m5－1－(m3－m2)＝m3(m2－1
12、)－1＋m2＝(m3＋1)(m2－1)≤0.所以m5－1≤m3－m2.
5．(2019·安徽皖南八校第三次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝|3x－2|－|2x－3|.
(1)求不等式f(x)>x的解集；
(2)若關于x的不等式f(x)<2a2＋a恰有3個整數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．
解 (1)由題意，函數(shù)f(x)＝|3x－2|－|2x－3|，
得f(x)＝
因為f(x)>x，所以當x≤時，－x－1>x，
即x<－；當x，即x，即x≥.
所以不等式f(x)>x的解集為∪.
(2)由(1)知f(x)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，又f(－2
13、)＝1，f(－1)＝0，f(0)＝－1，f(1)＝0，f(2)＝3，
所以0<2a2＋a≤1，所以－1≤a<－或0
2020屆高考數(shù)學大二輪復習 刷題首選卷 第一部分 刷考點 考點二十三 不等式選講 理
