《電磁場(chǎng)與電磁波》第一章 矢量分析

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1、第一章 矢量分析主要內(nèi)容：矢量的基本概念、代數(shù)運(yùn)算場(chǎng)論基礎(chǔ)（梯度、矢量場(chǎng)的散度和旋度）矢量場(chǎng)的亥姆霍茲定理1-1 標(biāo)量與矢量標(biāo)量：僅具有大小特征的量。例如長(zhǎng)度、溫度、面積、體積等。矢量：具有大小和方向特征的量。例如速度、力、電場(chǎng)強(qiáng)度等。場(chǎng)是一個(gè)標(biāo)量或一個(gè)矢量的位置函數(shù)，即場(chǎng)中任一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)確定的標(biāo)量值或矢量。例如,在直角坐標(biāo)下,標(biāo)量場(chǎng))()(),(222z2y1x45zyx 矢量場(chǎng)zy2x2xyzzxxy2)z,y,x(eeeA形象描繪場(chǎng)分布的工具-場(chǎng)線矢量場(chǎng)-矢量線標(biāo)量場(chǎng)-等值線(面).constzyxh),(其方程為0d lA其方程為矢量線等值線1-2 矢量的代數(shù)運(yùn)算若矢量A與矢量B大小

2、與方向均相同，則A=B。加法運(yùn)算符合結(jié)合律和交換律。ABBA交換律：)()(CBACBA結(jié)合律：標(biāo)量乘矢量：zzyyxeAeAeAAx1-3 矢量的標(biāo)積和矢積一、矢量的標(biāo)積zzyyxxAAAeeeAxxyyzzBBBBeee矢量A與矢量B的標(biāo)積定義為：zzyyxxBABABABA矢量A的模為：222zyxAAAA AcoscoscoszyxzzyyxxaeeeeAeAeAAAAAAeA的單位矢量其中 、為矢量A的方向余弦。coscoscos顯然，兩矢量的標(biāo)積是一個(gè)標(biāo)量。則：coscoscosAAAeAAzyxaeee標(biāo)積的幾何意義標(biāo)積的幾何意義ABxy設(shè)xeAAyyxxeBeBBcosBxBc

3、os()sin2yBBB其中所以cosBABA 可見(jiàn)，標(biāo)積AB等于矢量A的模與矢量B在矢量A方向投影大小的乘積。顯然BABABABA/0二、矢量的矢積zzyyxxAAAeeeAxxyyzzBBBBeee矢量A與矢量B的矢積定義為：xyzxyzxyzeeeAAABBBAB顯然，矢量的矢積不滿足交換律。兩個(gè)矢量的矢積仍是矢量。矢積的幾何意義矢積的幾何意義設(shè)xeAAyyxxeBeBB則顯然0/A BABA BA BAABxyzBsinBAeBAz 可見(jiàn)，矢積AB的方向與矢量A及矢量B構(gòu)成的平面垂直，由A旋轉(zhuǎn)到B成右手螺旋關(guān)系；大小為 。sinBA1-4 標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù) 標(biāo)量場(chǎng)在某

4、點(diǎn)的方向?qū)?shù)表示標(biāo)量場(chǎng)在該點(diǎn)沿某一方向的變化率。PllP 例如標(biāo)量場(chǎng) 在 P 點(diǎn)沿 l 方向上的方向?qū)?shù) 定義為Pl 0()()limlPPPll二、梯度(gradient)1dxdydzlxyzdldldzedldyedldxezeyexezyxzyxcoscoscoszyx)cos,cos,(cos為 的方向余弦。l在直角坐標(biāo)系中，方向?qū)?shù) 可寫(xiě)為：l(,),xyzG)cos,cos,(cosle設(shè)lGel則有:矢量G稱為標(biāo)量場(chǎng) 的梯度，以grad 表示，即zeyexezyxgradG可見(jiàn)，標(biāo)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)矢量場(chǎng)。哈密頓算子xyzeeexyz 式中當(dāng) ,即 與 方向一致時(shí),為最大.(,)

5、0lG eleGl三、梯度的物理意義|cos(,)llGeGG el方向?qū)?shù)l 標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)梯度的大小等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)。l標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量場(chǎng)，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。l 梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)最大方向?qū)?shù)的方向,即與等值線（面）相垂直的方向，它指向函數(shù)的增加方向.因此l標(biāo)量場(chǎng)的梯度函數(shù)建立了標(biāo)量場(chǎng)與矢量場(chǎng)的聯(lián)系，這一聯(lián)系使得某一類(lèi)矢量場(chǎng)可以通過(guò)標(biāo)量函數(shù)來(lái)研究，或者說(shuō)標(biāo)量場(chǎng)可以通過(guò)矢量場(chǎng)的來(lái)研究。梯度的物理意義例1 三維高度場(chǎng)的梯度 三維高度場(chǎng)的梯度高度場(chǎng)的梯度 與過(guò)該點(diǎn)的等高線垂直；數(shù)值等于該點(diǎn)位移的最大變化率；指向地勢(shì)升高的方向。例2 電位場(chǎng)的梯度 電位場(chǎng)的梯度電位場(chǎng)的梯度 與過(guò)該點(diǎn)的等位線垂

6、直；數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)；指向電位增加的方向。四、梯度運(yùn)算的基本公式 0cccff 例例 計(jì)算計(jì)算 及及 。這里。這里 R 為空間為空間 P 點(diǎn)與點(diǎn)與 點(diǎn)之間的距離點(diǎn)之間的距離,，如下圖示。，如下圖示。P 點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，表示對(duì)表示對(duì) x,y,z 運(yùn)算，運(yùn)算，表示對(duì)表示對(duì) 運(yùn)算。運(yùn)算。R1R1P),(zyxzyx,0RP),(zyxzxyr OP(x,y,z)r r r P(x,y,z)zyxzyxeeerzyxzyxeeer解解zyxzzyyxxeeeR)()()(222)()()(zzyyxxRzyxzyxeeezyxzyxeee31RRRRR1131

7、RRR表示源點(diǎn)，表示源點(diǎn)，P 表示場(chǎng)點(diǎn)。表示場(chǎng)點(diǎn)。P1-5 矢量場(chǎng)的通量、散度與散度定理一、通量 dSAS 矢量 A A 沿某一有向曲面 S S 的面積分稱為矢量 A A 通過(guò)該有向曲面 S S 的通量，以標(biāo)量 表示，即 矢量場(chǎng)的通量 物理意義：若S 為閉合曲面,則矢量A A通過(guò)面S S的通量 反映了閉合面中源的性質(zhì):SdSA=0(無(wú)源)0(有正源)由物理得知，真空中的電場(chǎng)強(qiáng)度 E 通過(guò)任一閉合曲面的通量等于該閉合面包圍的自由電荷的電量 q 與真空介電常數(shù) 0 之比，即可見(jiàn)，當(dāng)閉合面中存在正電荷時(shí)，通量為正。當(dāng)閉合面中存在負(fù)電荷時(shí)，通量為負(fù)。在電荷不存在的無(wú)源區(qū)中，穿過(guò)任一閉合面的通量為零。S

8、q 0dSE 通量?jī)H能表示閉合面中源的總量，不能顯示源的分布特性。為此需要研究矢量場(chǎng)的散度。二、散度(divergence)如果包圍點(diǎn)P的閉合面S S所圍區(qū)域V V以任意方式縮小為點(diǎn)P 時(shí),矢量A A通過(guò)該閉合面的通量與該閉合面包圍的體積之比的極限稱為矢量場(chǎng)A A在該點(diǎn)的散度，以divA A表示，即VSVd limdiv 0SAA上式表明，散度是一個(gè)標(biāo)量，它可理解為通過(guò)包圍單位體積閉合面的通量。直角坐標(biāo)系中，散度可表示為：divyxzAAAxyzAA三、散度的物理意義 矢量的散度是一個(gè)標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)；散度代表矢量場(chǎng)的通量源的分布特性 A A=0(無(wú)源）A A=0 (正源)A A=0(

9、負(fù)源)在矢量場(chǎng)中，若 A=0，稱之為有源場(chǎng)，稱為(通量)源密度；若矢量場(chǎng)中處處 A=0，稱之為無(wú)源場(chǎng)。四、高斯定理（散度定理）散度定理Sv10vdSAAlimdiv 由于 是通量源密度，即穿過(guò)包圍單位體積的閉合面的通量，對(duì) 體積分后，為穿出閉合面S S的通量AAV1nn0VnSdVVlimdnAASAVSdVdASA高斯定理 建立了矢量函數(shù)面積分與標(biāo)量函數(shù)體積分的互換。該公式表明了區(qū)域V 中場(chǎng)A與邊界S上的場(chǎng)A之間的關(guān)系。五、散度的運(yùn)算公式div0divdivdivdivC 為常矢量為常數(shù)CCCCAAAAAABAB例例 求空間任一點(diǎn)位置矢量求空間任一點(diǎn)位置矢量 r 的散度的散度。3zzyyxx

10、r求得求得zyxzyxeeer已知已知解解Oxzyrxzy1-6矢量場(chǎng)的環(huán)量、旋度與旋度定理一、環(huán)量與漩渦源 不是所有的矢量場(chǎng)都由通量源激發(fā)。存在另一類(lèi)不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場(chǎng)的矢量線是閉合的，它對(duì)于任何閉合曲面的通量為零。但在場(chǎng)所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。如磁場(chǎng)沿任意閉合曲線的積分與通過(guò)閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即：上式建立了磁場(chǎng)與電流的關(guān)系。sLdz,y,xIdz,y,xsJLB00環(huán)量表示閉合曲線內(nèi)存在另一種源漩渦源。電流是磁場(chǎng)的漩渦源。例：流速場(chǎng) 流速場(chǎng)水流沿平行于水管軸線方向流動(dòng)=0，無(wú)渦旋運(yùn)動(dòng)流體做渦旋運(yùn)動(dòng)0，有產(chǎn)生渦旋的源環(huán)量：矢量場(chǎng)A沿有向閉合曲線l的

11、線積分稱為矢量場(chǎng)A沿該曲線的環(huán)量，以表示為 環(huán)量的計(jì)算llA d物理意義：矢量沿閉合曲線的環(huán)量反映了閉合曲線內(nèi)源的性質(zhì)。二、旋度（rotation）過(guò)點(diǎn)P作一微小曲面S,它的邊界曲線記為L(zhǎng),面的法線方與曲線繞向成右手 螺旋法則。當(dāng)S點(diǎn)P時(shí),存在極限LdS1dSdPSllim 此極限稱為矢量A A在P點(diǎn)對(duì)于方向e en的環(huán)量密度，或環(huán)量強(qiáng)度。同一點(diǎn)不同方向上環(huán)量密度不同。1.環(huán)量密度en1en2en2.旋度 矢量A A的旋度是一個(gè)矢量，其模值等于環(huán)量密度的最大值；方向?yàn)樽畲蟓h(huán)量密度的方向，以符號(hào)curl表示，即maxn0curl=limSdS lAlAe它與環(huán)量密度的關(guān)系為curl nddSA

12、e在直角坐標(biāo)系下curlxyzxyzxyzAAAeeeAA即某點(diǎn)環(huán)量密度的大小為矢量A在該點(diǎn)的旋度在環(huán)量密度方向的投影。三、旋度的物理意義 矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。點(diǎn)P的旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)量密度的最大值。點(diǎn)P的旋度的方向是該點(diǎn)最大環(huán)量密度的方向。在矢量場(chǎng)中，若A=J0,稱之為旋度場(chǎng)(或旋渦場(chǎng))，J 稱為旋度源(或旋渦源)；若矢量場(chǎng)處處A=0，稱之為無(wú)旋場(chǎng)。四、斯托克斯定理（旋度定理）斯托克斯定理iiddilSAAl)(是環(huán)量密度，即圍繞單位面積環(huán)路的環(huán)量，因此取面積微元 ，包圍其的閉合曲線為 則有AidSidl對(duì)于包圍面積S的閉合曲線l，有l(wèi)AlASdSd上式稱為斯托克斯定理或

13、旋度定理。式中 的方向與 的方向符合右手螺旋關(guān)系。Sdl d 矢量函數(shù)的線積分與面積分的互換。該公式表明了區(qū)域S中場(chǎng)A與邊界L上的場(chǎng)A之間的關(guān)系。在電磁場(chǎng)理論中，Gauss公式和 Stockes公式是兩個(gè)非常重要的公式。五、旋度的有關(guān)公式GFFGGFGFGFFFFCCCCfffff為常矢量0例例 試證任何矢量場(chǎng)試證任何矢量場(chǎng) A 均滿足下列等式均滿足下列等式SVV d d)(SAA式中式中S 為包圍體積為包圍體積 V 的閉合表面，此式又稱為的閉合表面，此式又稱為矢量矢量斯托克斯定理。斯托克斯定理。證證根據(jù)高斯定理，上式左端應(yīng)為根據(jù)高斯定理，上式左端應(yīng)為ACACCAAC)(VVVV d d)(A

14、CACSVV d)(d)(SACACSS d )d(SACSAC設(shè)設(shè) C 為任一為任一常常矢量，則矢量，則那么對(duì)于任一體積那么對(duì)于任一體積 V，得，得SVV d d)(SACAC求得求得SVAne1-7 無(wú)散場(chǎng)與無(wú)旋場(chǎng) 散度處處為零的矢量場(chǎng)稱為無(wú)散場(chǎng)，旋度處處為零的矢量場(chǎng)稱為無(wú)旋場(chǎng)?？梢宰C明，下列兩個(gè)重要公式成立：0)(A0)(上式表明，任一矢量場(chǎng) A 的旋度的散度一定等于零。因此，任一無(wú)散場(chǎng)可以表示為另一矢量場(chǎng)的旋度，或者說(shuō)，任何旋度場(chǎng)一定是無(wú)散場(chǎng)。上式表明，任一標(biāo)量場(chǎng) 的梯度的旋度一定等于零。因此，任一無(wú)旋場(chǎng)可以表示為一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度，或者說(shuō)，任何梯度場(chǎng)一定是無(wú)旋場(chǎng)。設(shè)任意兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng) 及，

15、若在區(qū)域 V 中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，如下圖示。SV,ne 那么，可以證明該兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng) 及 滿足下列等式SVSnV 2dd)(根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫(xiě)成式中S 為包圍V 的閉合曲面，為標(biāo)量場(chǎng) 在 S 表面的外法線 en 方向上的偏導(dǎo)數(shù)。nSVV 2d)(d)(S上兩式稱為標(biāo)量第一格林定理。1-8 格林定理SVSnnV 22dd)(SVV 22d d)(S基于上式還可獲得下列兩式：上兩式稱為標(biāo)量第二格林定理。設(shè)任意兩個(gè)矢量場(chǎng) P P 與 Q Q，若在區(qū)域 V 中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該矢量場(chǎng) P P 及 Q Q 滿足下列等式SVV d d)()(SQPQPQP式中 S

16、S 為包圍 V 的閉合曲面，面元 dS S 的方向?yàn)?S S 的外法線方向，上式稱為矢量第一格林定理?；谏鲜竭€可獲得下式：SVV dd()(SPQQPQPPQ此式稱為矢量第二格林定理。無(wú)論何種格林定理，都是說(shuō)明區(qū)域 V 中的場(chǎng)與邊界 S 上的場(chǎng)之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場(chǎng)的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄?chǎng)的求解問(wèn)題。此外，格林定理說(shuō)明了兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng)或矢量場(chǎng)之間應(yīng)該滿足的關(guān)系。因此，如果已知其中一個(gè)場(chǎng)的分布特性，即可利用格林定理求解另一個(gè)場(chǎng)的分布特性。位于某一區(qū)域中的矢量場(chǎng)，當(dāng)其散度、旋度以及邊界上場(chǎng)量的切向分量或法向分量給定后，則該區(qū)域中的矢量場(chǎng)被惟一地確定。已知散度和旋度代表產(chǎn)生矢量場(chǎng)

17、的源，可見(jiàn)惟一性定理表明，矢量場(chǎng)被其源及邊界條件共同決定的。VSF(r)ntor and&FFFF1-9 矢量場(chǎng)的唯一性定理1-10 亥姆霍茲定理 若矢量場(chǎng) F F(r r)在無(wú)限區(qū)域中處處是單值的，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，源分布在有限區(qū)域 V 中，則當(dāng)矢量場(chǎng)的散度及旋度給定后，該矢量場(chǎng) F F(r r)可以表示為 )()()(rArrFVVd)(41)(rrrFrVVd)(41)(rrrFrA式中l(wèi)任一矢量場(chǎng)均可表示為一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)與一個(gè)無(wú)散場(chǎng)之和。V zxyr Or r r F(r)l無(wú)散且無(wú)旋的矢量場(chǎng)在無(wú)限空間中是不存在的。l有限空間中的矢量場(chǎng)由其散度、旋度唯一的確定。若矢量場(chǎng)F(r)位于區(qū)域V中

18、，則上述方程變?yōu)椋?()()(rArrF SrrrFrrrFrdVdVS4141 1144VSdVd F rF rA rSrrrr式中上式中的面積分分別代表了邊界S上場(chǎng)量的法向分量和切向分量。l有限空間中的矢量場(chǎng)由其散度、旋度和邊界條件唯一的確定。l若有限區(qū)域是無(wú)源的，則場(chǎng)僅決定于邊界條件。l矢量場(chǎng)的散度及旋度特性是研究矢量場(chǎng)的首要問(wèn)題。1-11 正交曲面座標(biāo)系 一個(gè)正交曲面座標(biāo)系由u1=常數(shù)、u2=常數(shù)、u3=常數(shù)的三個(gè)正交坐標(biāo)曲面構(gòu)成，u1、u2、u3稱為坐標(biāo)變量。令eu1、eu2、eu3分別表示3個(gè)相應(yīng)坐標(biāo)變量的梯度方向的單位矢量，那么在三維正交座標(biāo)系（u1、u2、u3）中，矢量A可表示

19、為：332211uuueAeAeAA式中，A1、A2、A3分別為矢量A在相應(yīng)座標(biāo)軸上的座標(biāo)分量。直角直角(x,y,z)zxyz=z 0 x=x 0y=y 0P0zexeyeO123xyzAeA eA eA圓柱圓柱(r,z)yzxP0 0=0r=r0z=z 0rezeeO123rzAeA eA eAxzy=0 0 0球球(r,)r=r 0=0ereeP0O123rAeA eA eA微分單元的表示微分單元的表示球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系d sin d ddrrrreeeld dd d sin d d sind2rrrrrreeeSd d d sind2rrV 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系z(mì)rrzrdd ddeeel

20、d d d dd d drrzrzrzreeeSzrrVd d d d直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系z(mì)yxzyxddddeeelyxzxzyzyxddddd ddeeeSzyxVd d ddzzryrxsincoszzxyyxrarctan22坐標(biāo)變量轉(zhuǎn)換關(guān)系坐標(biāo)變量轉(zhuǎn)換關(guān)系cossinsincossinrzryrxxyzyxzyxrarctanarctan22222坐標(biāo)分量轉(zhuǎn)換關(guān)系坐標(biāo)分量轉(zhuǎn)換關(guān)系z(mì)yxzrAAAAAA 1000cossin0sincoszyxrAAAAAA 0cossinsinsincoscoscoscossinsincossinzrrAAAAAA 010sin0coscos0sin