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1、
壓軸題(三)
12．(2019·江西上饒重點(diǎn)中學(xué)六校第二次聯(lián)考)已知A(－2，0)，B(2,0)，若x軸上方的點(diǎn)P滿足對(duì)任意λ∈R，恒有|－λ|≥2成立，則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值為( )
A. B. C．1 D．2
答案 D
解析 設(shè)P(x，y)，則＝(x＋2，y)，＝(4,0)，故－λ＝(x＋2－4λ，y)，|－λ|≥2恒成立，即|－λ|2≥4恒成立，則(x＋2－4λ)2＋y2－4≥0，故y2－4≥0，又由題意可知y>0，所以y≥2，
即P點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值為2.故選D.
16．(2019·湖北宜昌元月調(diào)考)已知函數(shù)f(x)＝x2＋(a－1)x－a，若函數(shù)g(x)＝
2、f[f(x)]有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值集合為_(kāi)_______．
答案 {－1}
解析 由題意得f(x)＝x2＋(a－1)x－a＝(x＋a)(x－1)，令f(x)＝t，則函數(shù)g(x)＝f[f(x)]可化為y＝f(t)，令f(t)＝0，解得t1＝1或t2＝－a，即f(x)＝1或f(x)＝－a，因?yàn)楹瘮?shù)g(x)＝f[f(x)]有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，所以f(x)＝1與f(x)＝－a共有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，f(x)＝－a可化為x2＋(a－1)x＝0，即f(x)＝－a的根為x1＝0或x2＝1－a，要使得f(x)＝1與f(x)＝－a共有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則兩方程的根必須相同．即－a＝1時(shí)，才可以使得f
3、(x)＝－a的兩根與f(x)＝1的兩個(gè)根相同，實(shí)數(shù)a的取值集合為{－1}．
20．已知過(guò)A(0,2)的動(dòng)圓恒與x軸相切，設(shè)切點(diǎn)為B，AC是該圓的直徑．
(1)求C點(diǎn)軌跡E的方程；
(2)當(dāng)AC不在y軸上時(shí)，設(shè)直線AC與曲線E交于另一點(diǎn)P，該曲線在P處的切線與直線BC交于Q點(diǎn)．求證：△PQC恒為直角三角形．
解 (1)設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則B點(diǎn)坐標(biāo)為.因?yàn)锳C是直徑，所以BA⊥BC，或C，B均在坐標(biāo)原點(diǎn)，
因此·＝0，而＝，＝，
故有－＋2y＝0，即x2＝8y.
另一方面，設(shè)C是曲線x2＝8y上一點(diǎn)，
則有|AC|＝＝，
AC中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為＝＝，
故以AC為直徑的圓與x軸
4、相切．
綜上可知，C點(diǎn)軌跡E的方程為x2＝8y.
(2)證明：設(shè)直線AC的方程為y＝kx＋2，
由得x2－8kx－16＝0，
設(shè)C(x1，y1)，P(x2，y2)，則有x1x2＝－16.
由y＝，對(duì)x求導(dǎo)知y′＝，
從而曲線E在P處的切線斜率k2＝，
直線BC的斜率k1＝＝，
于是k1k2＝＝＝－1.
因此QC⊥PQ，所以△PQC恒為直角三角形．
21．已知函數(shù)f(x)＝aeln x和g(x)＝x2－(a＋e)x(a>0)．
(1)設(shè)h(x)＝f(x)＋g(x)，求函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)x∈時(shí)，M為函數(shù)f(x)＝aeln x圖象與函數(shù)m(x)＝2－圖象的公共
5、點(diǎn)，且在點(diǎn)M處有公共切線，求點(diǎn)M的坐標(biāo)及實(shí)數(shù)a的值．
解 (1)h(x)＝aeln x＋x2－(a＋e)x(x>0)，
h′(x)＝＋x－(a＋e)＝＝.
①當(dāng)00，函數(shù)h(x)在(0，a)上單調(diào)遞增，
在x∈(a，e)時(shí)，h′(x)<0，函數(shù)h(x)在(a，e)上單調(diào)遞減；
在x∈(e，＋∞)時(shí)，h′(x)>0，函數(shù)h(x)在(e，＋∞)上單調(diào)遞增．
②當(dāng)a＝e時(shí)，在x∈(0，＋∞)時(shí)，h′(x)≥0，函數(shù)h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．
③當(dāng)a>e時(shí)，在x∈(0，e)時(shí)，h′(x)>0，函數(shù)h(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，
6、在x∈(e，a)時(shí)，h′(x)<0，函數(shù)h(x)在(e，a)上單調(diào)遞減；
在x∈(a，＋∞)時(shí)，h′(x)>0，函數(shù)h(x)在(a，＋∞)上單調(diào)遞增．
綜上：
當(dāng)0e時(shí)，函數(shù)h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，e)和(a，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(e，a)．
(2)設(shè)點(diǎn)M(x0，y0)，x0>，在點(diǎn)M(x0，y0)處有公共切線，設(shè)切線斜率為k，
因?yàn)閒′(x)＝，m′(x)＝，
所以k＝＝，即ax0＝1，
由M(x0，y0)是函數(shù)f
7、(x)＝aeln x與函數(shù)m(x)＝2－圖象的公共點(diǎn)，所以y0＝aeln x0＝2－，
化簡(jiǎn)可得aex0ln x0＝2x0－e，
將ax0＝1代入，得eln x0－2x0＋e＝0，
設(shè)函數(shù)u(t)＝eln t－2t＋e，
u′(t)＝－2＝.
因?yàn)閠>，u′(t)<0，函數(shù)u(t)在上單調(diào)遞減，
因?yàn)閡＝eln >0，u(e2)＝eln e2－2e2＋e＝3e－2e2＝e(3－2e)<0，
所以在t∈時(shí)，u(t)＝eln t－2t＋e只有一個(gè)零點(diǎn)．
由u(e)＝eln e－2e＋e＝0，
知方程eln x0－2x0＋e＝0在x0∈上只有一個(gè)實(shí)數(shù)根為x0＝e，
代入y0＝aeln x0＝aeln e＝ae＝1，所以M(e,1)，此時(shí)a＝.
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