5、
利用復(fù)數(shù)相等的充要條件，將復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化是處理復(fù)數(shù)問題的基本策略．
設(shè)關(guān)于x的方程x2－(tan θ＋i)x－(2＋i)＝0有實(shí)根，求銳角θ及這個(gè)實(shí)根．
解：設(shè)實(shí)數(shù)根為a，則a2－(tan θ＋i)a－(2＋i)＝0，即
a2－atan θ－2－(a＋1)i＝0.
∵a，tan θ∈R，
∴
∴a＝－1且tan θ＝1.
又0<θ<，
∴θ＝.
如圖，在△ABC和△AEF中，B是EF的中點(diǎn)，AB＝EF＝1，CA＝CB＝2，若·＋·＝2，則與的夾角θ等于________．
[解析] 因?yàn)椤鰽BC中，CA＝CB＝2，AB＝1，所以cos∠CAB＝·＝，所以·
6、＝.
又因?yàn)椤ぃぃ?，
所以·(＋)＋·(＋)＝2，
即1＋·＋＋·＝2，
所以·＋·＝.
因?yàn)椋剑?，所以－·＋·＝?
即 (－)＝，
所以·＝，
所以cos θ＝，故θ＝.
[答案]
本題中△ABC為確定的三角形，所以以，為基底，通過，與基底的關(guān)系，進(jìn)行計(jì)算．這類問題比較難建立未知向量與基底向量之間的關(guān)系，本題中關(guān)鍵是利用條件·＋·＝2進(jìn)行轉(zhuǎn)化．另外本題也可以以B為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)進(jìn)行研究．
(2012·江蘇高考)如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若·＝，則·的值是________．
解析：以A為坐標(biāo)
7、原點(diǎn)，AB，AD所在的直線分別為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系，則B(，0)，E(，1)，D(0,2)，C(，2)．設(shè)F(x,2)
(0≤x≤)，由·＝?x＝?x＝1，所以F(1,2)，·＝(，1)·(1－，2)＝.
答案：
如圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，P為以A為圓心、AB為半徑的圓弧上的任意一點(diǎn)，設(shè)向量＝λ＋μ，則λ＋μ的最小值為________．
[解析] 以A為原點(diǎn)，為x軸正方向，為y軸正方向，建立直角坐標(biāo)系．
設(shè)AB＝1，P(cos θ，sin θ)，θ∈，
則＝(1,1)，＝，＝(cos θ，sin θ)，
由題意得解得μ＝.
又λ＝μsin θ－1
8、，
所以λ＋μ＝μ(sin θ＋1)－1＝－1.
設(shè)y＝，
則y′＝
＝，
因?yàn)閥′＝>0，
所以y＝在遞增．
所以(λ＋μ)min＝.
[答案]
解決本題的關(guān)鍵是將點(diǎn)P坐標(biāo)設(shè)為三角函數(shù)，從而引入三角函數(shù)來表示參數(shù)λ，μ.難點(diǎn)是對(duì)所得函數(shù)的進(jìn)一步研究，通過導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求得最小值．
設(shè)e1，e2是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，已知＝e1，＝e2，＝x·＋y· (x，y為實(shí)數(shù))．若△PMN是以M為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則x－y取值的集合為________．
解析：由題意得||＝||＝1，·＝，
又因?yàn)椤鱌MN是以M為直角頂點(diǎn)的直角三角形，
所以有
9、·＝0，
即(－)·(－)＝0，
所以((x－1) ＋y)·(－)＝0，
得(1－x)＋y＋(x－1－y)＝0，
所以－(x－y)＝－，
即x－y＝1，故x－y取值的集合為{1}．
答案：{1}
(1)向量的數(shù)量積問題主要涉及向量的模、夾角、坐標(biāo)這三個(gè)基本方面，有關(guān)向量數(shù)量積的運(yùn)算都是這三個(gè)方面的運(yùn)算．
(2)處理向量問題，一般有兩個(gè)途徑，一是建立直角坐標(biāo)系用坐標(biāo)運(yùn)算研究向量間的問題，二是用基底表示后直接運(yùn)算．
(3)平面向量的線性運(yùn)算中應(yīng)注意以下幾個(gè)關(guān)鍵要素：
①基底向量的建立；
②未知向量與基底向量的關(guān)系；
③向量條件的幾何意義
10、；
④參數(shù)取值范圍的幾何解法．
1．(2012·南通第一次調(diào)研)若復(fù)數(shù)z滿足(1＋2i)z＝－3＋4i(i是虛數(shù)單位)，則z＝________.
解析：z＝＝＝＝1＋2i.
答案：1＋2i
2．定義：復(fù)數(shù)b＋ai是z＝a＋bi(a，b∈R)的轉(zhuǎn)置復(fù)數(shù)，記為z′＝b＋ai；復(fù)數(shù)a－bi是z＝a＋bi(a，b∈R)的共軛復(fù)數(shù)，記為＝a－bi.給出下列三個(gè)命題：①z′＝i·；②′＋＝0；③z1′·z2′＝1·2.其中真命題的個(gè)數(shù)為________．
解析：i·＝i(a－bi)＝b＋ai＝z′，①正確；′＋＝(a－bi)′＋＝－b＋ai＋b－ai＝0，②正確；z1′·z2′＝(a1
11、＋b1i)′(a2＋b2i)′＝(b1＋a1i)(b2＋a2i)＝(b1b2－a1a2)＋(b1a2＋a1b2)i，1·2＝·＝＝(a1a2－b1b2)－(a1b2＋a2b1)i，∴z1′·z2′≠1·2，③錯(cuò)，因此真命題個(gè)數(shù)是2.
答案：2
3．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，設(shè)向量x＝(sin B，sin C)，向量y＝(cos B，cos C)，向量z＝(cos B，－cos C)，若z∥(x＋y)，則tan B＋tan C的值為________．
解析：x＋y＝(sin B＋cos B，sin C＋cos C)，
由z∥(x＋y)，
得cos C(sin
12、 B＋cos B)＋cos B(sin C＋cos C)＝0，
即sin Bcos C＋cos Bsin C＝－2cos Bcos C.
所以＝tan B＋tan C＝－2.
答案：－2
4．平面內(nèi)兩個(gè)非零向量α，β，滿足|β|＝1，且α與β－α夾角為135°，則|α|的取值范圍________．
解析：如圖所示，在△OAB中，設(shè)∠OBA＝θ，
所以＝，
即|α|＝OA＝sin θ，
又θ∈，故|α|∈(0， ]．
答案：(0， ]
5．等邊三角形ABC中，P在線段AB上，且＝λ，若·＝·，則實(shí)數(shù)λ的值是________．
解析：P在線段AB上，所以0≤λ≤1，不妨設(shè)等邊
13、三角形ABC邊長(zhǎng)為1，∵·＝·，
∴(＋)·＝·(－)，
從而有·＋·＝·－·，
∴－＋2λ＝λ2，解得λ＝1±.又0≤λ≤1，
∴λ＝1－.
答案：1－
6.如圖放置的邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、D分別在x軸、y軸正半軸上(含原點(diǎn))滑動(dòng)，則·的最大值是________．
解析：設(shè)∠OAD＝θ，則OA＝AD·cos θ＝cos θ，
點(diǎn)B的坐標(biāo)為(cos θ＋cos(90°－θ)，sin(90°－θ))，
即B(cos θ＋sin θ，cos θ)，
同理可求得C(sin θ，sin θ＋cos θ)，
所以·＝(cos θ＋sin θ，cos θ)·(sin θ，
14、sin θ＋cos θ)＝1＋sin 2θ.
所以(·)max＝2.
答案：2
7．等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝，AD是BC邊上的高，P為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別為AB邊和AC邊上的點(diǎn)，且M、N關(guān)于直線AD對(duì)稱，當(dāng)·＝－時(shí)，＝________.
解析：由等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝，AD是BC邊上的高，P為AD的中點(diǎn)知，AD＝1，AP＝.由·＝－知(＋)·(＋)＝－，
即P2＋(＋)·＋·＝－.
又M、N關(guān)于直線AD對(duì)稱，
得||××cos 135°＋||××cos 135°＝－，
故||＝，所以＝3.
答案：3
8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中
15、，設(shè)A、B、C是圓x2＋y2＝1上相異三點(diǎn)，若存在正實(shí)數(shù)λ，μ，使得＝λ＋μ，則λ2＋(μ－3)2的取值范圍是________．
解析：設(shè)與的夾角為θ，則由＝λ＋μ得λ2＋2λμcos θ＋u2＝1，從而由正實(shí)數(shù)λ，μ及|cos θ|<1，得－1<<1，所以λ＋μ>1，且|λ－μ|<1，作出如圖所示的可行域，則λ2＋(μ－3)2表示區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)到點(diǎn)(0,3)的距離的平方，而當(dāng)點(diǎn)(0,3)到直線λ－μ＋1＝0的距離d為最小值時(shí)，d2＝2，所以λ2＋(μ－3)2的取值范圍為(2，＋∞)．
答案：(2，＋∞)
9．(1)設(shè)向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，其中
16、0<α<β<π，若|2a＋b|＝|a－2b|，則β－α＝________.
(2)在△ABC中，AB＝1，AC＝2，O為△ABC外接圓的圓心，則·＝________.
解析：(1)由|2a＋b|＝|a－2b|得3a2＋8a·b－3b2＝0，即a·b＝0，從而cos(β－α)＝0.
又0<α<β<π，故0<β－α<π，所以β－α＝.
(2)法一：·＝·(－)
＝·－·，
又||＝|－|，||＝|－|，
所以
即·－·＝，故·＝.
法二：過O作OD垂直于BC，垂足為D，因?yàn)镺是三角形ABC的外接圓圓心，所以D為線段BC的中點(diǎn)，
所以＝＋，則·＝(＋)·＝· ＝(＋)·(－)
17、＝||2－||2＝.
答案：(1) (2)
10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)；
(2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(－t )·＝0，求t的值．
解：(1)由題設(shè)知＝(3,5)，＝(－1,1)，
則＋＝(2,6)，－＝(4,4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為4，2.
(2)由題設(shè)知＝(－2，－1)，－ t ＝(3＋2t,5＋t)，由(－t )·＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，
從而5t＝－11，所以t＝－.
11．已知點(diǎn)A(2,0)，
18、B(0,2)，點(diǎn)C(x，y)在以原點(diǎn)為圓心的單位圓上．
(1)若|＋|＝(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求向量與的夾角θ；
(2)若⊥，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
解：(1)由＝(2,0)，＝(x，y)，得＋＝(2＋x，y)．
由|＋|＝，得(2＋x)2＋y2＝7，
所以解得x＝，y＝±.
cos θ＝＝＝y(tǒng)＝±，
所以與的夾角為30°或150°.
(2) ＝(x－2，y)，＝(x，y－2)，由⊥得，·＝0，則x2－2x＋y2－2y＝0.
由
解得或
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為或.
12.已知點(diǎn)P是圓x2＋y2＝1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，設(shè)＝＋.
(1)求點(diǎn)M的軌跡方程；
(2)求向量和夾角最大時(shí)的余弦值，并求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．
解：(1)設(shè)P(x0，y0)，M(x，y)，
則＝(x0，y0)，＝(x0,0)，
＝＋＝(2x0，y0)．
∴?
∵x＋y＝1，∴＋y2＝1.
故點(diǎn)M的軌跡方程為＋y2＝1.
(2)設(shè)向量與的夾角為α，
則cos α＝＝＝ ，
令t＝3x＋1，
則cos α＝ ＝≥，
當(dāng)且僅當(dāng)t＝2時(shí)，等號(hào)成立，即α最大．
∴與夾角最大時(shí)的余弦值為，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為.
江蘇省2013屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題8 向量與復(fù)數(shù)
