江蘇省2013屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題8 向量與復(fù)數(shù)

江蘇省2013屆高考數(shù)學(xué)（蘇教版）二輪復(fù)習(xí)專題8 向量與復(fù)數(shù) 回顧2008～2012年的考題，2008年第5題，2009年第2題、第15題，2010年第15題，2011年第10題，2012年第9題、第15題分別考查了向量的線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算或數(shù)量積運(yùn)算，屬于中低檔題；2008年第3題，2009年第1題，2010年第2題，2011年第3題，2012年第3題分別考察了復(fù)數(shù)的概念與四則運(yùn)算，屬容易題. 預(yù)測在2013年的高考題中： (1)復(fù)數(shù)題依然是必考題，而且考查相對簡單，在前3題； (2)向量問題多以填空題的形式考查，也可能在解答題中以條件的形式出現(xiàn).重點(diǎn)考查數(shù)量積的運(yùn)算及應(yīng)用. 1．(2012·江蘇高考)設(shè)a，b∈R，a＋bi＝(i為虛數(shù)單位)，則a＋b＝________. 解析：∵a＋bi＝＝＝5＋3i， ∴a＝5，b＝3，故a＋b＝8. 答案：8 2.設(shè)E，F(xiàn)分別是Rt△ABC的斜邊BC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，已知AB＝3，AC＝6，則·＝________. 解析：·＝·＝· ＝·－||2＋ ·(－) ＝||2＝×45＝10. 答案：10 3．(2011·江蘇高考)已知e1，e2是夾角為π的兩個(gè)單位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，則實(shí)數(shù)k的值為____． 解析：由題意知：a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0， 即ke＋e1e2－2ke1e2－2e＝0， 即k＋cos－2kcos－2＝0，化簡可求得k＝. 答案： 4．(2012·揚(yáng)州質(zhì)檢)設(shè)＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，a>0，b>0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則＋的最小值為________． 解析：＝－＝(a－1,1)，＝(－b－1,2)． ∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴∥. ∴2(a－1)＋(b＋1)＝0. ∴2a＋b＝1. ∴＋＝＋＝4＋＋≥4＋2＝8. 答案：8 5.如圖，設(shè)點(diǎn)P是三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)(不包括邊界)，且＝m ＋n ，m，n∈R，則m2＋(n－2)2的取值范圍為________． 解析：因?yàn)辄c(diǎn)P是三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)(不包括邊界)， 所以0<m，n<1,0<m＋n<1，根據(jù)線性規(guī)劃的知識，作出如圖陰影部分，m2＋(n－2)2表示點(diǎn)P(0,2)到陰影內(nèi)點(diǎn)的距離的平方，顯然到點(diǎn)A(0,1)的距離最近，為1；到點(diǎn)B(1,0)的距離最遠(yuǎn)，這時(shí)m2＋(n－2)2＝5，故所求取值范圍為(1,5)． 答案：(1,5) 　　 若z是實(shí)系數(shù)方程x2＋2x＋p＝0的一個(gè)虛根，且|z|＝2，則p＝________. [解析]　設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)， 則a2＋b2＝4，且(a＋bi)2＋2(a＋bi)＋p＝0，得 解得p＝4. [答案]　4 利用復(fù)數(shù)相等的充要條件，將復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化是處理復(fù)數(shù)問題的基本策略． 　　 設(shè)關(guān)于x的方程x2－(tan θ＋i)x－(2＋i)＝0有實(shí)根，求銳角θ及這個(gè)實(shí)根． 解：設(shè)實(shí)數(shù)根為a，則a2－(tan θ＋i)a－(2＋i)＝0，即 a2－atan θ－2－(a＋1)i＝0. ∵a，tan θ∈R， ∴ ∴a＝－1且tan θ＝1. 又0<θ<， ∴θ＝. 　　 如圖，在△ABC和△AEF中，B是EF的中點(diǎn)，AB＝EF＝1，CA＝CB＝2，若·＋·＝2，則與的夾角θ等于________． [解析]　因?yàn)椤鰽BC中，CA＝CB＝2，AB＝1，所以cos∠CAB＝·＝，所以·＝. 又因?yàn)?#183;＋·＝2， 所以·(＋)＋·(＋)＝2， 即1＋·＋＋·＝2， 所以·＋·＝. 因?yàn)椋剑裕?#183;＋·＝， 即 (－)＝， 所以·＝， 所以cos θ＝，故θ＝. [答案]　 本題中△ABC為確定的三角形，所以以，為基底，通過，與基底的關(guān)系，進(jìn)行計(jì)算．這類問題比較難建立未知向量與基底向量之間的關(guān)系，本題中關(guān)鍵是利用條件·＋·＝2進(jìn)行轉(zhuǎn)化．另外本題也可以以B為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)進(jìn)行研究． 　　 (2012·江蘇高考)如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若·＝，則·的值是________． 解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在的直線分別為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系，則B(，0)，E(，1)，D(0,2)，C(，2)．設(shè)F(x,2) (0≤x≤)，由·＝?x＝?x＝1，所以F(1,2)，·＝(，1)·(1－，2)＝. 答案： 　　 如圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，P為以A為圓心、AB為半徑的圓弧上的任意一點(diǎn)，設(shè)向量＝λ＋μ，則λ＋μ的最小值為________． [解析]　以A為原點(diǎn)，為x軸正方向，為y軸正方向，建立直角坐標(biāo)系． 設(shè)AB＝1，P(cos θ，sin θ)，θ∈， 則＝(1,1)，＝，＝(cos θ，sin θ)， 由題意得解得μ＝. 又λ＝μsin θ－1， 所以λ＋μ＝μ(sin θ＋1)－1＝－1. 設(shè)y＝， 則y′＝ ＝， 因?yàn)閥′＝>0， 所以y＝在遞增． 所以(λ＋μ)min＝. [答案]　 解決本題的關(guān)鍵是將點(diǎn)P坐標(biāo)設(shè)為三角函數(shù)，從而引入三角函數(shù)來表示參數(shù)λ，μ.難點(diǎn)是對所得函數(shù)的進(jìn)一步研究，通過導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求得最小值． 　　 設(shè)e1，e2是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，已知＝e1，＝e2，＝x·＋y· (x，y為實(shí)數(shù))．若△PMN是以M為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則x－y取值的集合為________． 解析：由題意得||＝||＝1，·＝， 又因?yàn)椤鱌MN是以M為直角頂點(diǎn)的直角三角形， 所以有·＝0， 即(－)·(－)＝0， 所以((x－1) ＋y)·(－)＝0， 得(1－x)＋y＋(x－1－y)＝0， 所以－(x－y)＝－， 即x－y＝1，故x－y取值的集合為{1}． 答案：{1} 　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)向量的數(shù)量積問題主要涉及向量的模、夾角、坐標(biāo)這三個(gè)基本方面，有關(guān)向量數(shù)量積的運(yùn)算都是這三個(gè)方面的運(yùn)算． (2)處理向量問題，一般有兩個(gè)途徑，一是建立直角坐標(biāo)系用坐標(biāo)運(yùn)算研究向量間的問題，二是用基底表示后直接運(yùn)算． (3)平面向量的線性運(yùn)算中應(yīng)注意以下幾個(gè)關(guān)鍵要素： ①基底向量的建立； ②未知向量與基底向量的關(guān)系； ③向量條件的幾何意義； ④參數(shù)取值范圍的幾何解法． 1．(2012·南通第一次調(diào)研)若復(fù)數(shù)z滿足(1＋2i)z＝－3＋4i(i是虛數(shù)單位)，則z＝________. 解析：z＝＝＝＝1＋2i. 答案：1＋2i 2．定義：復(fù)數(shù)b＋ai是z＝a＋bi(a，b∈R)的轉(zhuǎn)置復(fù)數(shù)，記為z′＝b＋ai；復(fù)數(shù)a－bi是z＝a＋bi(a，b∈R)的共軛復(fù)數(shù)，記為＝a－bi.給出下列三個(gè)命題：①z′＝i·；②′＋＝0；③z1′·z2′＝1·2.其中真命題的個(gè)數(shù)為________． 解析：i·＝i(a－bi)＝b＋ai＝z′，①正確；′＋＝(a－bi)′＋＝－b＋ai＋b－ai＝0，②正確；z1′·z2′＝(a1＋b1i)′(a2＋b2i)′＝(b1＋a1i)(b2＋a2i)＝(b1b2－a1a2)＋(b1a2＋a1b2)i，1·2＝·＝＝(a1a2－b1b2)－(a1b2＋a2b1)i，∴z1′·z2′≠1·2，③錯(cuò)，因此真命題個(gè)數(shù)是2. 答案：2 3．在△ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，設(shè)向量x＝(sin B，sin C)，向量y＝(cos B，cos C)，向量z＝(cos B，－cos C)，若z∥(x＋y)，則tan B＋tan C的值為________． 解析：x＋y＝(sin B＋cos B，sin C＋cos C)， 由z∥(x＋y)， 得cos C(sin B＋cos B)＋cos B(sin C＋cos C)＝0， 即sin Bcos C＋cos Bsin C＝－2cos Bcos C. 所以＝tan B＋tan C＝－2. 答案：－2 4．平面內(nèi)兩個(gè)非零向量α，β，滿足|β|＝1，且α與β－α夾角為135°，則|α|的取值范圍________． 解析：如圖所示，在△OAB中，設(shè)∠OBA＝θ， 所以＝， 即|α|＝OA＝sin θ， 又θ∈，故|α|∈(0， ]． 答案：(0， ] 5．等邊三角形ABC中，P在線段AB上，且＝λ，若·＝·，則實(shí)數(shù)λ的值是________． 解析：P在線段AB上，所以0≤λ≤1，不妨設(shè)等邊三角形ABC邊長為1，∵·＝·， ∴(＋)·＝·(－)， 從而有·＋·＝·－·， ∴－＋2λ＝λ2，解得λ＝1±.又0≤λ≤1， ∴λ＝1－. 答案：1－ 6.如圖放置的邊長為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、D分別在x軸、y軸正半軸上(含原點(diǎn))滑動，則·的最大值是________． 解析：設(shè)∠OAD＝θ，則OA＝AD·cos θ＝cos θ， 點(diǎn)B的坐標(biāo)為(cos θ＋cos(90°－θ)，sin(90°－θ))， 即B(cos θ＋sin θ，cos θ)， 同理可求得C(sin θ，sin θ＋cos θ)， 所以·＝(cos θ＋sin θ，cos θ)·(sin θ，sin θ＋cos θ)＝1＋sin 2θ. 所以(·)max＝2. 答案：2 7．等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝，AD是BC邊上的高，P為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別為AB邊和AC邊上的點(diǎn)，且M、N關(guān)于直線AD對稱，當(dāng)·＝－時(shí)，＝________. 解析：由等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝，AD是BC邊上的高，P為AD的中點(diǎn)知，AD＝1，AP＝.由·＝－知(＋)·(＋)＝－， 即P2＋(＋)·＋·＝－. 又M、N關(guān)于直線AD對稱， 得||××cos 135°＋||××cos 135°＝－， 故||＝，所以＝3. 答案：3 8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)A、B、C是圓x2＋y2＝1上相異三點(diǎn)，若存在正實(shí)數(shù)λ，μ，使得＝λ＋μ，則λ2＋(μ－3)2的取值范圍是________． 解析：設(shè)與的夾角為θ，則由＝λ＋μ得λ2＋2λμcos θ＋u2＝1，從而由正實(shí)數(shù)λ，μ及|cos θ|<1，得－1<<1，所以λ＋μ>1，且|λ－μ|<1，作出如圖所示的可行域，則λ2＋(μ－3)2表示區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)到點(diǎn)(0,3)的距離的平方，而當(dāng)點(diǎn)(0,3)到直線λ－μ＋1＝0的距離d為最小值時(shí)，d2＝2，所以λ2＋(μ－3)2的取值范圍為(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞) 9．(1)設(shè)向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，其中0<α<β<π，若|2a＋b|＝|a－2b|，則β－α＝________. (2)在△ABC中，AB＝1，AC＝2，O為△ABC外接圓的圓心，則·＝________. 解析：(1)由|2a＋b|＝|a－2b|得3a2＋8a·b－3b2＝0，即a·b＝0，從而cos(β－α)＝0. 又0<α<β<π，故0<β－α<π，所以β－α＝. (2)法一：·＝·(－) ＝·－·， 又||＝|－|，||＝|－|， 所以 即·－·＝，故·＝. 法二：過O作OD垂直于BC，垂足為D，因?yàn)镺是三角形ABC的外接圓圓心，所以D為線段BC的中點(diǎn)， 所以＝＋，則·＝(＋)·＝· ＝(＋)·(－) ＝||2－||2＝. 答案：(1)　(2) 10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)． (1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長； (2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(－t )·＝0，求t的值． 解：(1)由題設(shè)知＝(3,5)，＝(－1,1)， 則＋＝(2,6)，－＝(4,4)． 所以|＋|＝2，|－|＝4. 故所求的兩條對角線長分別為4，2. (2)由題設(shè)知＝(－2，－1)，－ t ＝(3＋2t,5＋t)，由(－t )·＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0， 從而5t＝－11，所以t＝－. 11．已知點(diǎn)A(2,0)，B(0,2)，點(diǎn)C(x，y)在以原點(diǎn)為圓心的單位圓上． (1)若|＋|＝(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求向量與的夾角θ； (2)若⊥，求點(diǎn)C的坐標(biāo)． 解：(1)由＝(2,0)，＝(x，y)，得＋＝(2＋x，y)． 由|＋|＝，得(2＋x)2＋y2＝7， 所以解得x＝，y＝±. cos θ＝＝＝y(tǒng)＝±， 所以與的夾角為30°或150°. (2) ＝(x－2，y)，＝(x，y－2)，由⊥得，·＝0，則x2－2x＋y2－2y＝0. 由 解得或 所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為或. 12.已知點(diǎn)P是圓x2＋y2＝1上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，設(shè)＝＋. (1)求點(diǎn)M的軌跡方程； (2)求向量和夾角最大時(shí)的余弦值，并求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)． 解：(1)設(shè)P(x0，y0)，M(x，y)， 則＝(x0，y0)，＝(x0,0)， ＝＋＝(2x0，y0)． ∴? ∵x＋y＝1，∴＋y2＝1. 故點(diǎn)M的軌跡方程為＋y2＝1. (2)設(shè)向量與的夾角為α， 則cos α＝＝＝ ， 令t＝3x＋1， 則cos α＝ ＝≥， 當(dāng)且僅當(dāng)t＝2時(shí)，等號成立，即α最大． ∴與夾角最大時(shí)的余弦值為，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為.