（全國通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 選考部分 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 2 參數(shù)方程課件 文.ppt

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1、第二節(jié) 參 數(shù) 方 程,【教材基礎(chǔ)回顧】 1.曲線的參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y 都是某個變數(shù)t的函數(shù)_________,并且對于t的每一個,允許值,由這個方程組所確定的點(diǎn)M(x,y)都在這條曲線 上,那么這個方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系 變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做_______,簡稱_____. 相對于參數(shù)方程而言,直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程 F(x,y)=0叫_____方程.,參變數(shù),參數(shù),普通,2.參數(shù)方程和普通方程的互化 (1)參數(shù)方程化普通方程:利用兩個方程相加、減、 乘、除或者代入法消去參數(shù). (2)普通方程化參數(shù)方程:如果x=f(t),把它代

2、入普通方 程,求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y=g(t),則得曲線的 參數(shù)方程,3.直線、圓與橢圓的普通方程和參數(shù)方程,【金榜狀元筆記】 1.參數(shù)方程化普通方程 (1)常用技巧:代入消元、加減消元、平方后加減 消元等. (2)常用公式:cos 2+sin 2=1,1+tan 2=,2.直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的應(yīng)用 過點(diǎn)M0(x0,y0),傾斜角為的直線l的參數(shù)方程是 若M1,M2是l上的兩點(diǎn),其對應(yīng)參數(shù)分別為t1,t2,則,(1)|M1M2|=|t1-t2|. (2)若線段M1M2的中點(diǎn)M所對應(yīng)的參數(shù)為t,則t= 中點(diǎn)M到定點(diǎn)M0的距離|MM0|=|t|= (3)若M0為線段M1M2

3、的中點(diǎn),則t1+t2=0.,【教材母題變式】 1.把下列參數(shù)方程化為普通方程,并說明它們各表示 什么曲線? (1) (t為參數(shù))(2) (為參數(shù)),【解析】(1)由y=t-1得t=y+1,代入x=3t+2得 x=3(y+1)+2,故所求普通方程為x-3y-5=0, 這是一條直線. (2)曲線方程化為 所以 這是橢圓.,2.已知曲線C的參數(shù)方程是 (t為參數(shù), aR),點(diǎn)M(-3,4)在曲線C上. (1)求常數(shù)a的值. (2)判斷點(diǎn)P(1,0),Q(3,-1)是否在曲線C上?,【解析】(1)將M(-3,4)的坐標(biāo)代入曲線C的參數(shù)方程 消去參數(shù)t,得a=1.

4、,(2)由(1)可得,曲線C的參數(shù)方程是 把點(diǎn)P的坐標(biāo)(1,0)代入方程組,解得t=0,因此P在曲線C 上,把點(diǎn)Q的坐標(biāo)(3,-1)代入方程組,得到 這個方程組無解,因此點(diǎn)Q不在曲線C上.,3.已知點(diǎn)P是橢圓 +y2=1上任意一點(diǎn),求點(diǎn)P到 直線l:x+2y=0的距離的最大值.,【解析】因?yàn)闄E圓 +y2=1的參數(shù)方程為 (為參數(shù)), 故可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2cos ,sin ), 又直線l:x+2y=0. 因此點(diǎn)P到直線l的距離d=,又0,2),所以dmax= 即點(diǎn)P到直線l:x+2y=0的距離的最大值為,【母題變式溯源】,考向一 參數(shù)方程與普通方程的互化 【典例1】將下列參數(shù)方程化為普通方程

5、.,【解析】(1)由t2-10t1或t-1 0

6、(1)利用解方程的技巧求出參數(shù)的表示式,然后代入消去參數(shù). (2)利用三角恒等式消去參數(shù).,(3)根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征,靈活地選用一些方法從整體上消去參數(shù).,【同源異考金榜原創(chuàng)】 1.設(shè) =cos ,為參數(shù),求橢圓 的參數(shù)方程.,【解析】把 cos 代入橢圓方程, 得到cos 2+ =1, 于是(y+2)2=5(1-cos 2)=5sin 2, 即y+2= sin ,由參數(shù)的任意性, 可取y=-2+ sin ,,因此橢圓 的參數(shù)方程為 (為參數(shù)).,2.將下列參數(shù)方程化為普通方程.,【解析】(1)由參數(shù)方程得et=x+y,e-t=x-y, 所以(x+y)(x-y)=1,

7、即x2-y2=1. (2)因?yàn)榍€的參數(shù)方程為 由y=2tan , 得tan = 代入得y2=2x.,考向二 參數(shù)方程的應(yīng)用 【典例2】(1)(2017全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中, 曲線C的參數(shù)方程為 (為參數(shù)),直線l的參 數(shù)方程為 (t為參數(shù)).,若a=-1,求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo); 若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為 求a.,(2)已知直線l:x+y-1=0與拋物線y=x2相交于A,B兩點(diǎn), 求線段AB的長度和點(diǎn)M(-1,2)到A,B兩點(diǎn)的距離之積.,【解析】(1)當(dāng)a=-1時,直線l的方程為x+4y-3=0. 曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是 聯(lián)立方程 解得: 則C與l的交

8、點(diǎn)坐標(biāo)是(3,0)和,直線l的一般式方程是x+4y-4-a=0. 設(shè)曲線C上點(diǎn)P(3cos ,sin ). 則P到l的距離d= 其中tan = 依題意得:dmax= 解得a=-16或a=8.,(2)因?yàn)橹本€l過定點(diǎn)M,且l的傾斜角為 所以它的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)), 即 (t為參數(shù)),把它代入拋物線的方程,,得t2+ t-2=0, 解得 由參數(shù)t的幾何意義可知 |AB|=|t1-t2|= |MA||MB|=|t1t2|=2.,【答題模板微課】本例(1)的求解過程可模板化為: 建模板:當(dāng)a=-1時,直線l的方程為x+4y-3=0. 曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是 +y2=

9、1,化方程 聯(lián)立方程組,解得: 則C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)是(3,0)和 求坐標(biāo),直線l的一般式方程是x+4y-4-a=0. 設(shè)曲線C上點(diǎn)P(3cos ,sin ).設(shè)坐標(biāo) 則P到l的距離d= 其中tan = 建模型,依題意得:dmax= 解得a=-16或a=8. 求最值,套模板:已知曲線C1: (t為參數(shù)), C2: (為參數(shù)).,若曲線C1上的點(diǎn)P對應(yīng)的參數(shù)為t= Q為曲線C2上的 動點(diǎn),求PQ中點(diǎn)M到直線C3: (t為參數(shù))距離的 最小值.,【解析】直線C3的普通方程為x-2y-7=0,化方程 當(dāng)t= 時,P(-4,4), 設(shè)Q(8cos ,

10、3sin ), 故 設(shè)坐標(biāo),則點(diǎn)M到直線C3的距離d= |4cos -3sin -13|. 建模型 從而當(dāng) 時,d取得最小值 求最值,【技法點(diǎn)撥】 1.應(yīng)用直線參數(shù)方程的注意點(diǎn) 在使用直線參數(shù)方程的幾何意義時,要注意參數(shù)前面的系數(shù)應(yīng)該是該直線傾斜角的正、余弦值,否則參數(shù)不具備該幾何含義.,2.圓和圓錐曲線參數(shù)方程的應(yīng)用 有關(guān)圓或圓錐曲線上的動點(diǎn)距離的最大值、最小值以及取值范圍的問題,通常利用它們的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最大值、最小值求解.,【同源異考金榜原創(chuàng)】 1.已知直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)), 圓C的參數(shù)方程為 (為參數(shù)). (1)求直線l和圓

11、C的普通方程. (2)若直線l與圓C有公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.,【解析】(1)直線l的普通方程為2x-y-2a=0, 圓C的普通方程為x2+y2=20. (2)因?yàn)橹本€l與圓C有公共點(diǎn), 故圓C的圓心到直線l的距離d= 解得-5a5.,2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù)),直線l經(jīng)過點(diǎn)P(1,2),傾斜角 = (1)寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線l的參數(shù)方程. (2)設(shè)直線l與圓C相交于A,B兩點(diǎn),求|PA||PB|的值.,【解析】(1)消去,得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=16. 直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)).,(2)把直線l的方程 代入x2+y2=16, 得

12、 即t2+(2+ )t-11=0,易知0, 所以t1t2=-11,即|PA||PB|=11.,考向三 極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的綜合應(yīng)用高頻考點(diǎn),【典例3】(1)(2017全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中, 直線l1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),直線l2的參 數(shù)方程為 (m為參數(shù)).設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P,當(dāng) k變化時,P的軌跡為曲線C.,寫出C的普通方程; 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系, 設(shè)l3:(cos +sin )- =0,M為l3與C的交點(diǎn),求M 的極徑.,(2)(2018衡水模擬)已知曲線C的極坐標(biāo)方程是 2=4cos +6sin -12. 以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸的

13、正半軸建立平面直角坐標(biāo) 系,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)).,寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程,并判 斷它們的位置關(guān)系; 將曲線C向左平移兩個單位,再向下平移三個單位得到曲線D,設(shè)曲線D經(jīng)過伸縮變換 得到曲線E,設(shè)曲線E上任一點(diǎn)為M(x,y),求 的取值范圍.,(3)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的方程為 (為參數(shù)). 求過橢圓的右焦點(diǎn),且與直線 (t為參數(shù)) 垂直的直線l的普通方程; 求橢圓C的內(nèi)接矩形ABCD面積的最大值.,【解析】(1)直線l1的普通方程為y=k(x-2), 直線l2的普通方程為x=-2+ky, 消去k得x2-y2=4, 即C的普通

14、方程為x2-y2=4.,l3的直角坐標(biāo)方程為x+y= 聯(lián)立 所以2=x2+y2= 所以l3與C的交點(diǎn)M的極徑為,(2)直線l的普通方程為 曲線C的 直角坐標(biāo)方程為(x-2)2+(y-3)2=1. 因?yàn)? 所以直線l和曲線C相切.,曲線D為x2+y2=1, 曲線D經(jīng)過伸縮變換 得到曲線E的方程為 x2+ =1. 則其參數(shù)方程為 (為參數(shù)),,代入 得, 所以 的取值范圍為-2,2.,(3)橢圓方程為 橢圓的右焦點(diǎn)為(3,0), 已知直線的斜率k= ,于是所求直線l的方程可設(shè)為 y=-2x+b,又直線過(3,0) 所以所求直線方程為:y=-2x+6.,設(shè)A(4cos

15、 , sin ),則橢圓C的內(nèi)接矩形ABCD 面積S=4|xy|=16 |sin cos |=8 |sin 2|, 面積最大為8 .,【技法點(diǎn)撥】 極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程綜合問題的解題策略 (1)求交點(diǎn)坐標(biāo)、距離、線段長.可先求出直角坐標(biāo)系方程,然后求解.,(2)判斷位置關(guān)系.先轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)方程,然后再作出判斷. (3)求參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程綜合的問題.一般是先將方程化為直角坐標(biāo)方程,利用直角坐標(biāo)方程來研究問題.,【同源異考金榜原創(chuàng)】 命題點(diǎn)1求交點(diǎn)坐標(biāo)、距離、線段長 1.在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正 半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1:2-4cos +3 =0,0,2,

16、曲線C2:= 0,2.,(1)求曲線C1的一個參數(shù)方程. (2)若曲線C1和曲線C2相交于A,B兩點(diǎn),求|AB|的值.,【解析】(1)由2-4cos +3=0可知:x2+y2-4x+3=0, 所以(x-2)2+y2=1. 令x-2=cos ,y=sin ; 所以C1的一個參數(shù)方程為 (R).,(2)C2: 所以 即2x- -3=0, 因?yàn)橹本€2x- -3=0 與圓(x-2)2+y2=1相交于A,B兩點(diǎn), 所以圓心到直線的距離為d= 所以,命題點(diǎn)2判斷位置關(guān)系 2.在極坐標(biāo)系中,已知三點(diǎn)O(0,0), (1)求經(jīng)過O,A,B的圓C1的極坐標(biāo)方程. (2)以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸

17、為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,圓C2的參數(shù)方程為 (是參數(shù)),若圓C1與圓C2外切,求實(shí)數(shù)a的值.,【解析】(1)O(0,0), 對應(yīng)的直 角坐標(biāo)分別為O(0,0),A(0,2),B(2,2),則過O,A,B 的圓的普通方程為x2+y2-2x-2y=0,又因?yàn)? 代入可求得經(jīng)過O,A,B的圓C1的 極坐標(biāo)方程為=,(2)圓C2: (是參數(shù))對應(yīng)的普通方程 為(x+1)2+(y+1)2=a2, 當(dāng)圓C1與圓C2外切時,有 +|a|=2 ,解得a= .,命題點(diǎn)3求最值和取值范圍問題 3.(2018唐山模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線 C1:x+y=4,曲線C2: (為參

18、數(shù)),以坐標(biāo)原 點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.,(1)求曲線C1,C2的極坐標(biāo)方程. (2)若射線l:=(0)分別交C1,C2于A,B兩點(diǎn),求 的最大值.,【解析】(1)因?yàn)樵谥苯亲鴺?biāo)系xOy中,曲線C1:x+y=4,曲線C1的極坐標(biāo)方程為(cos +sin )=4, C2的普通方程為(x-1)2+y2=1, 所以曲線C2的極坐標(biāo)方程為=2cos .,(2)設(shè)A(1,),B(2,), 則1= 2=2cos , 2cos (cos +sin ) 當(dāng)= 時, 取得最大值,核心素養(yǎng)系列（六十一） 數(shù)學(xué)建模參數(shù)方程中的核心素養(yǎng) 建立有關(guān)曲線的參數(shù)方程,研究解析幾何中位置關(guān)系、交

19、點(diǎn)坐標(biāo)、弦長和最值問題.,【典例】(2016全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線 C1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù),a0).在以坐標(biāo) 原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2: =4cos .,(1)說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標(biāo) 方程. (2)直線C3的極坐標(biāo)方程為=0,其中0滿足 tan 0=2,若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上,求a.,【解析】(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程為x2+(y-1)2 =a2.C1是以(0,1)為圓心,a為半徑的圓. 將x=cos ,y=sin 代入C1的普通方程中,得到C1的極坐標(biāo)方程為2-2sin +1-a2=0.,(2)C2:=4cos ,兩邊同乘,得2=4cos , 因?yàn)?=x2+y2,cos =x, 所以x2+y2=4x. 即(x-2)2+y2=4. C3:化為直角坐標(biāo)方程為y=2x,,由題意:C1和C2的公共弦所在直線即為C3. -得:4x-2y+1-a2=0,即為C3, 所以1-a2=0, 所以a=1.,