（全國通用版）2019版高考數學一輪復習 選考部分 坐標系與參數方程 2 參數方程課件 文.ppt

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1、第二節(jié) 參 數 方 程,【教材基礎回顧】 1.曲線的參數方程 在平面直角坐標系中,如果曲線上任意一點的坐標x,y 都是某個變數t的函數_________,并且對于t的每一個,允許值,由這個方程組所確定的點M(x,y)都在這條曲線 上,那么這個方程組就叫做這條曲線的參數方程,聯系 變數x,y的變數t叫做_______,簡稱_____. 相對于參數方程而言,直接給出點的坐標間關系的方程 F(x,y)=0叫_____方程.,參變數,參數,普通,2.參數方程和普通方程的互化 (1)參數方程化普通方程:利用兩個方程相加、減、 乘、除或者代入法消去參數. (2)普通方程化參數方程:如果x=f(t),把它代

2、入普通方 程,求出另一個變數與參數的關系y=g(t),則得曲線的 參數方程,3.直線、圓與橢圓的普通方程和參數方程,【金榜狀元筆記】 1.參數方程化普通方程 (1)常用技巧:代入消元、加減消元、平方后加減 消元等. (2)常用公式:cos 2+sin 2=1,1+tan 2=,2.直線參數方程的標準形式的應用 過點M0(x0,y0),傾斜角為的直線l的參數方程是 若M1,M2是l上的兩點,其對應參數分別為t1,t2,則,(1)|M1M2|=|t1-t2|. (2)若線段M1M2的中點M所對應的參數為t,則t= 中點M到定點M0的距離|MM0|=|t|= (3)若M0為線段M1M2

3、的中點,則t1+t2=0.,【教材母題變式】 1.把下列參數方程化為普通方程,并說明它們各表示 什么曲線? (1) (t為參數)(2) (為參數),【解析】(1)由y=t-1得t=y+1,代入x=3t+2得 x=3(y+1)+2,故所求普通方程為x-3y-5=0, 這是一條直線. (2)曲線方程化為 所以 這是橢圓.,2.已知曲線C的參數方程是 (t為參數, aR),點M(-3,4)在曲線C上. (1)求常數a的值. (2)判斷點P(1,0),Q(3,-1)是否在曲線C上?,【解析】(1)將M(-3,4)的坐標代入曲線C的參數方程 消去參數t,得a=1.

4、,(2)由(1)可得,曲線C的參數方程是 把點P的坐標(1,0)代入方程組,解得t=0,因此P在曲線C 上,把點Q的坐標(3,-1)代入方程組,得到 這個方程組無解,因此點Q不在曲線C上.,3.已知點P是橢圓 +y2=1上任意一點,求點P到 直線l:x+2y=0的距離的最大值.,【解析】因為橢圓 +y2=1的參數方程為 (為參數), 故可設點P的坐標為(2cos ,sin ), 又直線l:x+2y=0. 因此點P到直線l的距離d=,又0,2),所以dmax= 即點P到直線l:x+2y=0的距離的最大值為,【母題變式溯源】,考向一 參數方程與普通方程的互化 【典例1】將下列參數方程化為普通方程

5、.,【解析】(1)由t2-10t1或t-1 0

6、(1)利用解方程的技巧求出參數的表示式,然后代入消去參數. (2)利用三角恒等式消去參數.,(3)根據參數方程本身的結構特征,靈活地選用一些方法從整體上消去參數.,【同源異考金榜原創(chuàng)】 1.設 =cos ,為參數,求橢圓 的參數方程.,【解析】把 cos 代入橢圓方程, 得到cos 2+ =1, 于是(y+2)2=5(1-cos 2)=5sin 2, 即y+2= sin ,由參數的任意性, 可取y=-2+ sin ,,因此橢圓 的參數方程為 (為參數).,2.將下列參數方程化為普通方程.,【解析】(1)由參數方程得et=x+y,e-t=x-y, 所以(x+y)(x-y)=1,

7、即x2-y2=1. (2)因為曲線的參數方程為 由y=2tan , 得tan = 代入得y2=2x.,考向二 參數方程的應用 【典例2】(1)(2017全國卷)在直角坐標系xOy中, 曲線C的參數方程為 (為參數),直線l的參 數方程為 (t為參數).,若a=-1,求C與l的交點坐標; 若C上的點到l的距離的最大值為 求a.,(2)已知直線l:x+y-1=0與拋物線y=x2相交于A,B兩點, 求線段AB的長度和點M(-1,2)到A,B兩點的距離之積.,【解析】(1)當a=-1時,直線l的方程為x+4y-3=0. 曲線C的標準方程是 聯立方程 解得: 則C與l的交

8、點坐標是(3,0)和,直線l的一般式方程是x+4y-4-a=0. 設曲線C上點P(3cos ,sin ). 則P到l的距離d= 其中tan = 依題意得:dmax= 解得a=-16或a=8.,(2)因為直線l過定點M,且l的傾斜角為 所以它的參數方程為 (t為參數), 即 (t為參數),把它代入拋物線的方程,,得t2+ t-2=0, 解得 由參數t的幾何意義可知 |AB|=|t1-t2|= |MA||MB|=|t1t2|=2.,【答題模板微課】本例(1)的求解過程可模板化為: 建模板:當a=-1時,直線l的方程為x+4y-3=0. 曲線C的標準方程是 +y2=

9、1,化方程 聯立方程組,解得: 則C與l的交點坐標是(3,0)和 求坐標,直線l的一般式方程是x+4y-4-a=0. 設曲線C上點P(3cos ,sin ).設坐標 則P到l的距離d= 其中tan = 建模型,依題意得:dmax= 解得a=-16或a=8. 求最值,套模板:已知曲線C1: (t為參數), C2: (為參數).,若曲線C1上的點P對應的參數為t= Q為曲線C2上的 動點,求PQ中點M到直線C3: (t為參數)距離的 最小值.,【解析】直線C3的普通方程為x-2y-7=0,化方程 當t= 時,P(-4,4), 設Q(8cos ,

10、3sin ), 故 設坐標,則點M到直線C3的距離d= |4cos -3sin -13|. 建模型 從而當 時,d取得最小值 求最值,【技法點撥】 1.應用直線參數方程的注意點 在使用直線參數方程的幾何意義時,要注意參數前面的系數應該是該直線傾斜角的正、余弦值,否則參數不具備該幾何含義.,2.圓和圓錐曲線參數方程的應用 有關圓或圓錐曲線上的動點距離的最大值、最小值以及取值范圍的問題,通常利用它們的參數方程轉化為三角函數的最大值、最小值求解.,【同源異考金榜原創(chuàng)】 1.已知直線l的參數方程為 (t為參數), 圓C的參數方程為 (為參數). (1)求直線l和圓

11、C的普通方程. (2)若直線l與圓C有公共點,求實數a的取值范圍.,【解析】(1)直線l的普通方程為2x-y-2a=0, 圓C的普通方程為x2+y2=20. (2)因為直線l與圓C有公共點, 故圓C的圓心到直線l的距離d= 解得-5a5.,2.在平面直角坐標系xOy中,圓C的參數方程為 ( 為參數),直線l經過點P(1,2),傾斜角 = (1)寫出圓C的標準方程和直線l的參數方程. (2)設直線l與圓C相交于A,B兩點,求|PA||PB|的值.,【解析】(1)消去,得圓的標準方程為x2+y2=16. 直線l的參數方程為 (t為參數).,(2)把直線l的方程 代入x2+y2=16, 得

12、 即t2+(2+ )t-11=0,易知0, 所以t1t2=-11,即|PA||PB|=11.,考向三 極坐標方程和參數方程的綜合應用高頻考點,【典例3】(1)(2017全國卷)在直角坐標系xOy中, 直線l1的參數方程為 (t為參數),直線l2的參 數方程為 (m為參數).設l1與l2的交點為P,當 k變化時,P的軌跡為曲線C.,寫出C的普通方程; 以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系, 設l3:(cos +sin )- =0,M為l3與C的交點,求M 的極徑.,(2)(2018衡水模擬)已知曲線C的極坐標方程是 2=4cos +6sin -12. 以極點為原點,極軸為x軸的

13、正半軸建立平面直角坐標 系,直線l的參數方程為 (t為參數).,寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程,并判 斷它們的位置關系; 將曲線C向左平移兩個單位,再向下平移三個單位得到曲線D,設曲線D經過伸縮變換 得到曲線E,設曲線E上任一點為M(x,y),求 的取值范圍.,(3)在平面直角坐標系xOy中,橢圓C的方程為 (為參數). 求過橢圓的右焦點,且與直線 (t為參數) 垂直的直線l的普通方程; 求橢圓C的內接矩形ABCD面積的最大值.,【解析】(1)直線l1的普通方程為y=k(x-2), 直線l2的普通方程為x=-2+ky, 消去k得x2-y2=4, 即C的普通

14、方程為x2-y2=4.,l3的直角坐標方程為x+y= 聯立 所以2=x2+y2= 所以l3與C的交點M的極徑為,(2)直線l的普通方程為 曲線C的 直角坐標方程為(x-2)2+(y-3)2=1. 因為 所以直線l和曲線C相切.,曲線D為x2+y2=1, 曲線D經過伸縮變換 得到曲線E的方程為 x2+ =1. 則其參數方程為 (為參數),,代入 得, 所以 的取值范圍為-2,2.,(3)橢圓方程為 橢圓的右焦點為(3,0), 已知直線的斜率k= ,于是所求直線l的方程可設為 y=-2x+b,又直線過(3,0) 所以所求直線方程為:y=-2x+6.,設A(4cos

15、 , sin ),則橢圓C的內接矩形ABCD 面積S=4|xy|=16 |sin cos |=8 |sin 2|, 面積最大為8 .,【技法點撥】 極坐標方程與參數方程綜合問題的解題策略 (1)求交點坐標、距離、線段長.可先求出直角坐標系方程,然后求解.,(2)判斷位置關系.先轉化為平面直角坐標方程,然后再作出判斷. (3)求參數方程與極坐標方程綜合的問題.一般是先將方程化為直角坐標方程,利用直角坐標方程來研究問題.,【同源異考金榜原創(chuàng)】 命題點1求交點坐標、距離、線段長 1.在直角坐標系xOy中,以坐標原點O為極點,x軸正 半軸為極軸建立極坐標系,曲線C1:2-4cos +3 =0,0,2,

16、曲線C2:= 0,2.,(1)求曲線C1的一個參數方程. (2)若曲線C1和曲線C2相交于A,B兩點,求|AB|的值.,【解析】(1)由2-4cos +3=0可知:x2+y2-4x+3=0, 所以(x-2)2+y2=1. 令x-2=cos ,y=sin ; 所以C1的一個參數方程為 (R).,(2)C2: 所以 即2x- -3=0, 因為直線2x- -3=0 與圓(x-2)2+y2=1相交于A,B兩點, 所以圓心到直線的距離為d= 所以,命題點2判斷位置關系 2.在極坐標系中,已知三點O(0,0), (1)求經過O,A,B的圓C1的極坐標方程. (2)以極點為坐標原點,極軸

17、為x軸的正半軸建立平面直角坐標系,圓C2的參數方程為 (是參數),若圓C1與圓C2外切,求實數a的值.,【解析】(1)O(0,0), 對應的直 角坐標分別為O(0,0),A(0,2),B(2,2),則過O,A,B 的圓的普通方程為x2+y2-2x-2y=0,又因為 代入可求得經過O,A,B的圓C1的 極坐標方程為=,(2)圓C2: (是參數)對應的普通方程 為(x+1)2+(y+1)2=a2, 當圓C1與圓C2外切時,有 +|a|=2 ,解得a= .,命題點3求最值和取值范圍問題 3.(2018唐山模擬)在直角坐標系xOy中,曲線 C1:x+y=4,曲線C2: (為參

18、數),以坐標原 點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.,(1)求曲線C1,C2的極坐標方程. (2)若射線l:=(0)分別交C1,C2于A,B兩點,求 的最大值.,【解析】(1)因為在直角坐標系xOy中,曲線C1:x+y=4,曲線C1的極坐標方程為(cos +sin )=4, C2的普通方程為(x-1)2+y2=1, 所以曲線C2的極坐標方程為=2cos .,(2)設A(1,),B(2,), 則1= 2=2cos , 2cos (cos +sin ) 當= 時, 取得最大值,核心素養(yǎng)系列（六十一） 數學建模參數方程中的核心素養(yǎng) 建立有關曲線的參數方程,研究解析幾何中位置關系、交

19、點坐標、弦長和最值問題.,【典例】(2016全國卷)在直角坐標系xOy中,曲線 C1的參數方程為 (t為參數,a0).在以坐標 原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2: =4cos .,(1)說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標 方程. (2)直線C3的極坐標方程為=0,其中0滿足 tan 0=2,若曲線C1與C2的公共點都在C3上,求a.,【解析】(1)消去參數t得到C1的普通方程為x2+(y-1)2 =a2.C1是以(0,1)為圓心,a為半徑的圓. 將x=cos ,y=sin 代入C1的普通方程中,得到C1的極坐標方程為2-2sin +1-a2=0.,(2)C2:=4cos ,兩邊同乘,得2=4cos , 因為2=x2+y2,cos =x, 所以x2+y2=4x. 即(x-2)2+y2=4. C3:化為直角坐標方程為y=2x,,由題意:C1和C2的公共弦所在直線即為C3. -得:4x-2y+1-a2=0,即為C3, 所以1-a2=0, 所以a=1.,