公開課教案《二次函數(shù)的性質(zhì)》教案(市一等獎)(部優(yōu))

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1、 按照新課程標準要求，學科核心素養(yǎng)作為現(xiàn)代教育體系的核心理論，提高學生的興趣、 學習的主動性，是當前教育教學研究所注重的重要環(huán)節(jié)之一。2021 年 4 月，教育部發(fā)布文 件，對教育機構(gòu)改革進行了深入和細致的解讀。從中我們不難看出，作為一線教師，教育教 學手段和理論知識水平是下一步需要進一步提高的重要能力。本課作為課本中比較重要的一 環(huán)，對核心素養(yǎng)進行了貫徹，將課堂環(huán)節(jié)設計進行了細致剖析，力求達到學生樂學，教師樂 教的理想狀態(tài)。 2.3 二次函數(shù)的性質(zhì) 【教學目標】 1、知識與技能目標： 從具體函數(shù)的圖象中認識二次函數(shù)的基本性質(zhì)，學會判斷二次函數(shù)的 增減性，學會確定二次函數(shù)

2、的最大值及最小值，學會判定二次函數(shù)的值何時為零，了解 二次函數(shù)與二次方程的相互關系。 2、過程與方法目標：培養(yǎng)學生用五點法畫二次函數(shù)簡圖的能力，培養(yǎng)學生觀察、分析、歸 納、總結(jié)的能力。 3、情感、態(tài)度與價值觀目標：讓學生體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，向?qū)W生滲透事物間互 相聯(lián)系，以及運動、變化的辨證唯物主義思想。 【教學重點】 二次函數(shù)的最大值、最小值及增減性的理解和求法；五點法畫二次函數(shù)的大 致圖象。 【教學難點】 二次函數(shù)性質(zhì)的應用。 【教學方法】 實踐操作、引導探究 【教學用具】 多媒體課件、三角板，幾何畫板以及公式編輯器等軟件 【教學過程】

3、 教學 環(huán)節(jié)  教  學 活 動  師生 活動  設計意圖 , - 2 - 2 , 4 ac -b - 2 - 一、  1.復習回顧 復 【師】我們前面學了習二次函數(shù) y =ax  2 +bx +c (a10) 采 用 這 種 習 回 顧 ， 引 入  的圖象及性質(zhì)（板書 y =ax 2 +bx +c (a10)），那么， 當 a>0 時，它的圖象是什么樣的呢？（板書開口向上的簡 圖） 【生】開口向上的拋物線. 【師】是的

4、，它的頂點坐標和對稱軸分別是什么呢？ ( ) 【生】頂點坐標是 b 4 ac -b 2 a 4 a 師生 對話 交流， 共同 引出 課題 復 習 回 顧 的 方 法 引 入 課 題 的 目 的 是 開 門 見 山 緊 扣課題，明 確 學 習 目 新 課 對稱軸是 直線 ( 【師】 ( 板書頂點 b 2 a x =- , 4 ac -b 4 a  b 2 a ) ，對稱軸直線  x =-  b 2 a  ) 此  標． 時，頂點位于它的最高點還是最低點？ 【生】最低點.

5、 【師】當 a <0 時，它的圖象又是怎樣的？ 【生】開口向下的拋物線. 【師】是的，它的頂點坐標和對稱軸又分別是什么呢？ ( ) 【生】頂點坐標是 b 2 a 4 a 對稱軸是 直線  x =-  b 2 a 【師】（板書頂點 (  b 2 a  , 4 ac -b 4 a  2 ) ，對稱軸直線  x =-  b 2 a  ）此 時，頂點位于它的最高點還是最低點？ 【生】最高點. 2.課題引入 【師】這節(jié)課，我們在前面學過的基礎上面，進一步來探 討二次函數(shù)的性質(zhì).（板書課題

6、：2.3 二次函數(shù)的性質(zhì)） 1、增減性探究. 【師】請同學們觀察二次函數(shù)  y =x  2  -2 x +1  的圖象，并  學 生 仔 細 思 考 并 回 答  通 過 讓 學 生 觀 察 已 思考，你能從這個圖象中得出哪些信息？ 問 題 ， 在教師的適當引導下，學生可能的答案有： 同 時 試 【生】（1）開口方向、頂點坐標、對稱抽分別是多少？ 著 動 手 畫 出 函  有 的 函 數(shù) 圖象，體驗 到 數(shù) 學 知 二、 師 生 合 作 ， 探 （2）最

7、小值，與 x 軸和 y 軸的交點坐標. 根據(jù)學生的課堂表現(xiàn)，教師可以試著引導： 【師】接下來請同學們觀察，當自變量從 x 慢慢變大時， 對應的函數(shù)值 y 的大小將怎樣變化？（拖動點展示變化過 程，并顯示點的坐標變化值） 【生】y 的值先慢慢變小，變到最小，再慢慢變大. 【師】在哪里，隨著 x 的增大，y 的值是慢慢變小的？ 【生】在對稱軸左邊. 【師】說得很有道理（鼓勵、肯定學生的回答），在對稱 軸的左邊，自變量 x 取哪些值呢？ 數(shù) 圖 象 ， 師 生 共 同 探 究 這 一 函 數(shù) 的 各 種 性質(zhì)．  識 之 間 的 聯(lián) 系 性 和 邏輯性，也

8、 培 養(yǎng) 了 學 生 的 觀 察 和 分 析 問 題的能力， 究 【生】 x ￡1 .  同時，讓不 新 知 【師】由此，我們可以得出，在對稱軸的左邊，即當自變 量 x ￡1 時，y 隨 x 的增大而減?。@示“當 x ￡1 時，y 隨 x 的增大而減小”）. 【師】同樣，我們能否寫出在對稱軸的右邊，隨著x 的增 大，y 是怎樣變化的？ 【生】（根據(jù)自己的理解各行其說）在對稱軸右邊，y 隨 x 的增大而增大. 【師】在對稱軸右邊，x 取哪些值呢？  同 層 次 水 平 的 學 生 都 能 有 所 思有所

9、獲， 充 分 體 現(xiàn) 【生】 x 31 . 了 使 不 同 【師】由此，我們可以得出，當 x 31 時，y 隨 x 的增大而 增大（顯示“當 x 31 時，y 隨 x 的增大而增大”）. 2、最值性探究. 【師】我們再來觀察一下，這個點在拋物線上移動過程中， y 有最大或最小值嗎？ 【生】有最小值. 【師】當 x 等于多少的時候，y 取得最小值？ 【生】1. 【師】最小值是多少呢？ 【生】0. 【師】你是怎么知道的？ 【生】當 x=0 時，頂點的縱坐標的值…… 【師】（及時鼓勵和肯定學生的回答）那么，一個函數(shù)有 最大還是最小值，與什么有

10、關呢？ 【生】開口方向，a…… 的 學 生 在 數(shù) 學 上 都 有 不 同 的 發(fā) 展 這 一 新 課 標 理 論. 2 【師】（將  y =x  2  -2 x +1  的圖像及性質(zhì)縮小后置上）那 請同學們觀察一下這個開口向下的函數(shù)  y =-x  2  -2 x -2 的圖象，當自變量 x 增大時，函數(shù) y 的值將怎樣變化？ 【生】先增大后減小. 【師】函數(shù)值 y 有最大值還是最小值呢？ 【生】y 有最大值-1. 【師】（肯定并鼓勵學生的回答）能不能也像剛剛第一個 函數(shù)

11、那樣，寫出它的增減性和最值性呢？ 【生】(在教師的引導下)當 x ￡-1 時（在對稱軸的左邊）， 二、 y 隨 x 的增大而增大；當 x 3-1 時（在對稱軸的右邊），y 師 生 合 作 隨 x 的增大而減小.（（顯示“當 x ￡1 時，y 隨 x 的增大而 增大；當 x 3-1時，y 隨 x 的增大而減小，當 x=-1 時，y 有最大值為-1”）. 3、概念提煉、總結(jié). 【師】同學們，你能否從剛才這兩個二次函數(shù)圖象得出， ， 探  一般的二次函數(shù) y =ax 2 +bx +c (a10) 

12、 的增減性由什 究 新 么來確定？ 【生】當 a>0 時，（在對稱軸的左邊）當  x ￡-  b 2a  時，y 知  隨 x 的增大而減小；當  x 3- b 2a  時，y 隨 x 的增大而增大 （學生邊講教師邊板書填表）. 當 a<0 時，（在對稱軸的 右邊）當  x ￡- b 2a  時，y 隨 x 的增大而增大；當  x 3- b 2a 時，y 隨 x 的增大而減小. 【師】還有個問題，二次函數(shù)  y =ax  2 +bx +c (

13、a10)的 最大值、最小值由什么來確定？ 【生】當 a>0 時，y 有最小值為  4 ac -b 4 a  2  ，沒有最大值；當 a<0 時，y 有最大值為 4 ac -b ，沒有最小值.(教師板書填表 4 a 完整) 2 , 【 師 】 接 下 來 ， 我 們 一 起 來 畫 一 畫 這 個 函 數(shù) 三、  y =-x  2  +4 x -3  的大致圖象，并解決以下問題. 例 題 先 通 過 例 題 例 題 分 析 ， 再 探

14、 新 知  1、例題分析. 例：已知函數(shù) y =-x +4 x -3 . (1) 求函數(shù)圖象的頂點坐標、對稱軸，以及圖象與坐 標軸的交點坐標，并畫出函數(shù)的大致圖象. (2)當自變量在什么范圍時，y 隨 x 的增大而增大？何 時，y 隨 x 的增大而減??？并求出函數(shù)的最大值或最小值. 【師】一般情況下，我們畫二次函數(shù)的大致圖象，要找那 些關鍵的點呢？ 【生】頂點，與 x 軸、y 軸的交點…… 【師】（說得很好）根據(jù)剛才的經(jīng)驗，我們怎樣求頂點呢？ 【生】 (-b4ac -b2) 2 a 4 a 【師】非常正確，那么，這里我們先把 a,b,c 寫出來（請 學生邊說

15、，教師邊在黑板上板演 a=-1，b=4，c=-3）. 讓 學 生 思 考 、 分 析 ， 并 由 師 生 邊 分 析 邊 板 演 的 形 式 交 替 進行． 的學習，讓 學 生 對 所 學 的 知 識 進行運用， 進 一 步 發(fā) 展 了 學 生 梳理新知、 應 用 新 知 和 數(shù) 學 語 言 表 達 能 力． 【師】接著，我們開始計算  -  b 2 a  和  4 ac -b 4 a  2  （學生邊說教師 邊板演） 【

16、生】在教師的引導下，層層深入地思考問題，進而回答 問題. 例答案： （1）頂點坐標是（2，1），對稱軸是直線 x=2，圖象 與 x 軸的交點坐標是（1，0），（3，0），與 y 軸的交點坐 標是（0，-3）. （2）當 x ￡2 時，y 隨 x 的增大而增大；當 x 32 時， y 隨 x 的增大而減??；當 x=2 時，y 有最大值為 1. 2、五點法畫簡圖. 頂點、與 x 軸的交點（2 個），與 y 軸的交點，與 y 軸交 點的對稱點. 3、想一想. 【師】（將剛才得到的三個函數(shù)圖象一起放出來）請同學 們觀察一下，我們剛才探討的這三個函數(shù)圖象，分別與 x 軸有幾個交點？分別是什

17、么？ 【生】1 個、0 個、2 個；（-1，0）、（1，0）、（3，0）…… 【師】如果讓它們的 y 都等于 0，得到右邊這三個一元二 次方程，它們的解分別有幾個？分別是多少？ 【生】1 個、0 個、2 個；-1，1，3…… 【 師 】 根 據(jù) 以 上 三 種 情 況 ， 你 能 發(fā) 現(xiàn) 二 次 函 數(shù) y =a  2  +bx +c ( a 10)  與 x 軸的交點坐標與一元二次方 2 程  a  2  +bx +c =0( a 10)  的解有何關系嗎？ 【生】二次函數(shù)  y =a  2 

18、 +bx +c ( a 10)  與 x 軸的交點的橫 坐 標 與 一 元 二 次 方 程 等……  a 2 +bx +c =0( a 10)  的 解 相 【師】根據(jù)一元二次方程  a  2  +bx +c =0( a 10)  解的個數(shù) 的判定方法，你能總結(jié)二次函數(shù)  y =a  2  +bx +c ( a 10)  與 x 軸的交點個數(shù)與什么有關嗎？ 【生】（在教師的引導下，由學生總結(jié)得出，教師板書） ①當  b  2  -4 ac >0  時，

19、圖象與 x 軸有 2 個交點； ②當  b2 -4 ac =0  時，圖象與 x 軸有 1 個交點（即為頂點）； ③當  b  2  -4 ac <0  時，圖象與 x 軸沒有交點. 【師】（引導學生在觀察圖象的基礎上，板書“二次函數(shù) y =a  2  +bx +c ( a 10)  的圖象與 x 軸的交點有三種情 四、  況：”） 1、試一試. 練 請畫出二次函數(shù) y =x 2 +4 x +3 的圖象，并根據(jù)圖象研究 讓 學 生 通過練習，

20、 習 鞏 固 ， 反 饋 矯 正  它的性質(zhì)，請盡可能多地寫出結(jié)論. 學生可能的答案： （1）開口向上； （2）頂點坐標是（-2，-1）； （3）對稱軸是直線 x=-2； （4）圖象與 x 軸的交點坐標是（-3，0），（-1，0）； （5）圖象與 y 軸的交點坐標是（0，3）； （6）圖象與 y 軸的交點關于對稱軸的對稱點是（-4，0）； （7）當 x=-2 時，函數(shù)有最小值-1； （8）當 x=-3 或-1 時，y=0； （9）它的圖象由拋物線 y =x 先向左平移 2 個單位，再 運 用 所 學 的 知

21、識 解 決 問 題 ， 教 師 巡 視 ， 并 適 時 地 指 導 、 點撥． 將 學 生 的 掌 握 情 況 及 時 給 老 師以反饋， 進 而 調(diào) 整 課堂教學， 進 一 步 提 高 學 生 學 習的效率． 向下平移 1 個單位得到； （10）圖象在 x 軸截得的線段長為 2 個單位. 2、實踐應用. 籃球運動員投籃時，球運動的路線為拋物線的一部分（如 圖），拋物線的對稱軸為直線 x=3，求： (1) 籃球運動路線的函數(shù)解析式和自變量 x 的取值范圍; (2) 籃球在運動中離地

22、面的最大高度. 參考解答：（1） 函數(shù)解析式為 1 19 y =- ( x -3)2 + (0 ￡x ￡ 19 -3) 5 5 （2）籃球在運動中離地面的最大高度為  19 5  米  . 五、 及 時 小 結(jié) ， 感  談談本節(jié)課你的： 收獲．．． 疑惑．． 學生談收獲，教師加以補充指導. 教師小結(jié)：本節(jié)課主要學習了 “二次函數(shù)的性質(zhì)”：五點 法畫二次函數(shù)的簡圖（注意，如果沒有特殊的五點，也要  學 生 談 收 獲 ， 師 生 共 同 總

23、 結(jié) ， 使 新 知 生  學 生 自 主 進行歸納、 總結(jié)，能夠 使 所 學 的 知 識 得 到 進 一 步 提 悟 收 找簡單點的五點），一元二次方程與對應的二次函數(shù)的關 系二次函數(shù)與 x 軸的交點情況……  成 慧．  智  升． 獲 六、 布 置 作 業(yè) ， 學 以 致 家庭作業(yè)： 必做題：作業(yè)題 A 組，作業(yè)本 2.3 節(jié)； 選做題：作業(yè)題 B 組； 思考題： 你能否探索已知哪些條件可以求二次函數(shù)的解 析式． 

24、學 生 記 下 家 庭 作業(yè)． 布 置 分 層 作業(yè)，使不 同 的 學 生 在 數(shù) 學 上 都 有 不 同 的 發(fā)展 , 切 合 新 課 標 理念． 用 板 書 直 觀 七、 板 書  課題：2.3 二次函數(shù)的性質(zhì) 二次函數(shù)的性質(zhì)表格  草 稿 區(qū)  性強，重點 突出，有利 于 加 深 學 生 對 所 學 設  五點法：  與 x 軸交點  例：  知 識 的 理 計  （例題函數(shù)圖象）  （例題解答區(qū)域） 

25、 解，也有利 于 學 生 訓 練技能，發(fā) 展智力． [教學反思] 學生對展開圖通過各種途徑有了一些了解，但仍不能把平面與立體很好的結(jié)合；在遇 到問題時，多數(shù)學生不愿意自己探索，都要尋求幫助。在今后的教學中，我會不斷的鉆研探 索，使我的課堂真正成為學生學習的樂園。 在本節(jié)課的教學中，我始終堅持以引導為起點，以問題為主線，以能力培養(yǎng)為核心，遵 照教師為主導，學生為主體，訓練為主線的教學原則；通過師生雙邊活動，通過對單元的復 習，使學生對本單元的知識系統(tǒng)化，重點知識突出化，能力培養(yǎng)階梯化；在選擇題目時注意 了以基本題為主，少量思考性較強的題目為輔

26、，兼顧了不同層次學生的不同要求。 本節(jié)課的教學活動，主要是讓學生通過觀察、動手操作，熟悉長方體、正方體的展開圖 以及圖形折疊后的形狀。教學時，我讓每個學生帶長方體或正方體的紙盒，每個學生都剪一 剪，并展示所剪圖形的形狀。由于剪的方法不同，展開圖的形狀也可能是不同的。學生在剪、 拆盒子過程中，很容易把盒子拆散了，無法形成完整的展開圖，就要求適當進行指導。通過 動手操作，動腦思考，集體交流，不僅提高了學生的空間思維能力，而且在情感上每位學生 都獲得了成功的體驗，建立自信心。接著，我利用可操作材料，體會展開圖與長方體、正方 體的聯(lián)系；通過立體與平面的有機結(jié)合，發(fā)展學生的空間觀念。這樣由淺入深、由表及里地 使學生逐步達教學目標的要求：閉上眼睛想象展開或折疊的過程，促進學生建立表象，幫助 學生理解概念，發(fā)展空間觀念。