公開(kāi)課教案《二次函數(shù)的性質(zhì)》教案(市一等獎(jiǎng))(部?jī)?yōu))

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1、 按照新課程標(biāo)準(zhǔn)要求，學(xué)科核心素養(yǎng)作為現(xiàn)代教育體系的核心理論，提高學(xué)生的興趣、 學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，是當(dāng)前教育教學(xué)研究所注重的重要環(huán)節(jié)之一。2021 年 4 月，教育部發(fā)布文 件，對(duì)教育機(jī)構(gòu)改革進(jìn)行了深入和細(xì)致的解讀。從中我們不難看出，作為一線教師，教育教 學(xué)手段和理論知識(shí)水平是下一步需要進(jìn)一步提高的重要能力。本課作為課本中比較重要的一 環(huán)，對(duì)核心素養(yǎng)進(jìn)行了貫徹，將課堂環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)進(jìn)行了細(xì)致剖析，力求達(dá)到學(xué)生樂(lè)學(xué)，教師樂(lè) 教的理想狀態(tài)。 2.3 二次函數(shù)的性質(zhì) 【教學(xué)目標(biāo)】 1、知識(shí)與技能目標(biāo)： 從具體函數(shù)的圖象中認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的基本性質(zhì)，學(xué)會(huì)判斷二次函數(shù)的 增減性，學(xué)會(huì)確定二次函數(shù)

2、的最大值及最小值，學(xué)會(huì)判定二次函數(shù)的值何時(shí)為零，了解 二次函數(shù)與二次方程的相互關(guān)系。 2、過(guò)程與方法目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生用五點(diǎn)法畫二次函數(shù)簡(jiǎn)圖的能力，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸 納、總結(jié)的能力。 3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，向?qū)W生滲透事物間互 相聯(lián)系，以及運(yùn)動(dòng)、變化的辨證唯物主義思想。 【教學(xué)重點(diǎn)】 二次函數(shù)的最大值、最小值及增減性的理解和求法；五點(diǎn)法畫二次函數(shù)的大 致圖象。 【教學(xué)難點(diǎn)】 二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。 【教學(xué)方法】 實(shí)踐操作、引導(dǎo)探究 【教學(xué)用具】 多媒體課件、三角板，幾何畫板以及公式編輯器等軟件 【教學(xué)過(guò)程】

3、 教學(xué) 環(huán)節(jié)  教  學(xué) 活 動(dòng)  師生 活動(dòng)  設(shè)計(jì)意圖 , - 2 - 2 , 4 ac -b - 2 - 一、  1.復(fù)習(xí)回顧 復(fù) 【師】我們前面學(xué)了習(xí)二次函數(shù) y =ax  2 +bx +c (a10) 采 用 這 種 習(xí) 回 顧 ， 引 入  的圖象及性質(zhì)（板書 y =ax 2 +bx +c (a10)），那么， 當(dāng) a>0 時(shí)，它的圖象是什么樣的呢？（板書開(kāi)口向上的簡(jiǎn) 圖） 【生】開(kāi)口向上的拋物線. 【師】是的

4、，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸分別是什么呢？ ( ) 【生】頂點(diǎn)坐標(biāo)是 b 4 ac -b 2 a 4 a 師生 對(duì)話 交流， 共同 引出 課題 復(fù) 習(xí) 回 顧 的 方 法 引 入 課 題 的 目 的 是 開(kāi) 門 見(jiàn) 山 緊 扣課題，明 確 學(xué) 習(xí) 目 新 課 對(duì)稱軸是 直線 ( 【師】 ( 板書頂點(diǎn) b 2 a x =- , 4 ac -b 4 a  b 2 a ) ，對(duì)稱軸直線  x =-  b 2 a  ) 此  標(biāo)． 時(shí)，頂點(diǎn)位于它的最高點(diǎn)還是最低點(diǎn)？ 【生】最低點(diǎn).

5、 【師】當(dāng) a <0 時(shí)，它的圖象又是怎樣的？ 【生】開(kāi)口向下的拋物線. 【師】是的，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸又分別是什么呢？ ( ) 【生】頂點(diǎn)坐標(biāo)是 b 2 a 4 a 對(duì)稱軸是 直線  x =-  b 2 a 【師】（板書頂點(diǎn) (  b 2 a  , 4 ac -b 4 a  2 ) ，對(duì)稱軸直線  x =-  b 2 a  ）此 時(shí)，頂點(diǎn)位于它的最高點(diǎn)還是最低點(diǎn)？ 【生】最高點(diǎn). 2.課題引入 【師】這節(jié)課，我們?cè)谇懊鎸W(xué)過(guò)的基礎(chǔ)上面，進(jìn)一步來(lái)探 討二次函數(shù)的性質(zhì).（板書課題

6、：2.3 二次函數(shù)的性質(zhì)） 1、增減性探究. 【師】請(qǐng)同學(xué)們觀察二次函數(shù)  y =x  2  -2 x +1  的圖象，并  學(xué) 生 仔 細(xì) 思 考 并 回 答  通 過(guò) 讓 學(xué) 生 觀 察 已 思考，你能從這個(gè)圖象中得出哪些信息？ 問(wèn) 題 ， 在教師的適當(dāng)引導(dǎo)下，學(xué)生可能的答案有： 同 時(shí) 試 【生】（1）開(kāi)口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱抽分別是多少？ 著 動(dòng) 手 畫 出 函  有 的 函 數(shù) 圖象，體驗(yàn) 到 數(shù) 學(xué) 知 二、 師 生 合 作 ， 探 （2）最

7、小值，與 x 軸和 y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo). 根據(jù)學(xué)生的課堂表現(xiàn)，教師可以試著引導(dǎo)： 【師】接下來(lái)請(qǐng)同學(xué)們觀察，當(dāng)自變量從 x 慢慢變大時(shí)， 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 y 的大小將怎樣變化？（拖動(dòng)點(diǎn)展示變化過(guò) 程，并顯示點(diǎn)的坐標(biāo)變化值） 【生】y 的值先慢慢變小，變到最小，再慢慢變大. 【師】在哪里，隨著 x 的增大，y 的值是慢慢變小的？ 【生】在對(duì)稱軸左邊. 【師】說(shuō)得很有道理（鼓勵(lì)、肯定學(xué)生的回答），在對(duì)稱 軸的左邊，自變量 x 取哪些值呢？ 數(shù) 圖 象 ， 師 生 共 同 探 究 這 一 函 數(shù) 的 各 種 性質(zhì)．  識(shí) 之 間 的 聯(lián) 系 性 和 邏輯性，也

8、 培 養(yǎng) 了 學(xué) 生 的 觀 察 和 分 析 問(wèn) 題的能力， 究 【生】 x ￡1 .  同時(shí)，讓不 新 知 【師】由此，我們可以得出，在對(duì)稱軸的左邊，即當(dāng)自變 量 x ￡1 時(shí)，y 隨 x 的增大而減?。@示“當(dāng) x ￡1 時(shí)，y 隨 x 的增大而減小”）. 【師】同樣，我們能否寫出在對(duì)稱軸的右邊，隨著x 的增 大，y 是怎樣變化的？ 【生】（根據(jù)自己的理解各行其說(shuō)）在對(duì)稱軸右邊，y 隨 x 的增大而增大. 【師】在對(duì)稱軸右邊，x 取哪些值呢？  同 層 次 水 平 的 學(xué) 生 都 能 有 所 思有所

9、獲， 充 分 體 現(xiàn) 【生】 x 31 . 了 使 不 同 【師】由此，我們可以得出，當(dāng) x 31 時(shí)，y 隨 x 的增大而 增大（顯示“當(dāng) x 31 時(shí)，y 隨 x 的增大而增大”）. 2、最值性探究. 【師】我們?cè)賮?lái)觀察一下，這個(gè)點(diǎn)在拋物線上移動(dòng)過(guò)程中， y 有最大或最小值嗎？ 【生】有最小值. 【師】當(dāng) x 等于多少的時(shí)候，y 取得最小值？ 【生】1. 【師】最小值是多少呢？ 【生】0. 【師】你是怎么知道的？ 【生】當(dāng) x=0 時(shí)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的值…… 【師】（及時(shí)鼓勵(lì)和肯定學(xué)生的回答）那么，一個(gè)函數(shù)有 最大還是最小值，與什么有

10、關(guān)呢？ 【生】開(kāi)口方向，a…… 的 學(xué) 生 在 數(shù) 學(xué) 上 都 有 不 同 的 發(fā) 展 這 一 新 課 標(biāo) 理 論. 2 【師】（將  y =x  2  -2 x +1  的圖像及性質(zhì)縮小后置上）那 請(qǐng)同學(xué)們觀察一下這個(gè)開(kāi)口向下的函數(shù)  y =-x  2  -2 x -2 的圖象，當(dāng)自變量 x 增大時(shí)，函數(shù) y 的值將怎樣變化？ 【生】先增大后減小. 【師】函數(shù)值 y 有最大值還是最小值呢？ 【生】y 有最大值-1. 【師】（肯定并鼓勵(lì)學(xué)生的回答）能不能也像剛剛第一個(gè) 函數(shù)

11、那樣，寫出它的增減性和最值性呢？ 【生】(在教師的引導(dǎo)下)當(dāng) x ￡-1 時(shí)（在對(duì)稱軸的左邊）， 二、 y 隨 x 的增大而增大；當(dāng) x 3-1 時(shí)（在對(duì)稱軸的右邊），y 師 生 合 作 隨 x 的增大而減小.（（顯示“當(dāng) x ￡1 時(shí)，y 隨 x 的增大而 增大；當(dāng) x 3-1時(shí)，y 隨 x 的增大而減小，當(dāng) x=-1 時(shí)，y 有最大值為-1”）. 3、概念提煉、總結(jié). 【師】同學(xué)們，你能否從剛才這兩個(gè)二次函數(shù)圖象得出， ， 探  一般的二次函數(shù) y =ax 2 +bx +c (a10) 

12、 的增減性由什 究 新 么來(lái)確定？ 【生】當(dāng) a>0 時(shí)，（在對(duì)稱軸的左邊）當(dāng)  x ￡-  b 2a  時(shí)，y 知  隨 x 的增大而減??；當(dāng)  x 3- b 2a  時(shí)，y 隨 x 的增大而增大 （學(xué)生邊講教師邊板書填表）. 當(dāng) a<0 時(shí)，（在對(duì)稱軸的 右邊）當(dāng)  x ￡- b 2a  時(shí)，y 隨 x 的增大而增大；當(dāng)  x 3- b 2a 時(shí)，y 隨 x 的增大而減小. 【師】還有個(gè)問(wèn)題，二次函數(shù)  y =ax  2 +bx +c (

13、a10)的 最大值、最小值由什么來(lái)確定？ 【生】當(dāng) a>0 時(shí)，y 有最小值為  4 ac -b 4 a  2  ，沒(méi)有最大值；當(dāng) a<0 時(shí)，y 有最大值為 4 ac -b ，沒(méi)有最小值.(教師板書填表 4 a 完整) 2 , 【 師 】 接 下 來(lái) ， 我 們 一 起 來(lái) 畫 一 畫 這 個(gè) 函 數(shù) 三、  y =-x  2  +4 x -3  的大致圖象，并解決以下問(wèn)題. 例 題 先 通 過(guò) 例 題 例 題 分 析 ， 再 探

14、 新 知  1、例題分析. 例：已知函數(shù) y =-x +4 x -3 . (1) 求函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸，以及圖象與坐 標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，并畫出函數(shù)的大致圖象. (2)當(dāng)自變量在什么范圍時(shí)，y 隨 x 的增大而增大？何 時(shí)，y 隨 x 的增大而減??？并求出函數(shù)的最大值或最小值. 【師】一般情況下，我們畫二次函數(shù)的大致圖象，要找那 些關(guān)鍵的點(diǎn)呢？ 【生】頂點(diǎn)，與 x 軸、y 軸的交點(diǎn)…… 【師】（說(shuō)得很好）根據(jù)剛才的經(jīng)驗(yàn)，我們?cè)鯓忧箜旤c(diǎn)呢？ 【生】 (-b4ac -b2) 2 a 4 a 【師】非常正確，那么，這里我們先把 a,b,c 寫出來(lái)（請(qǐng) 學(xué)生邊說(shuō)

15、，教師邊在黑板上板演 a=-1，b=4，c=-3）. 讓 學(xué) 生 思 考 、 分 析 ， 并 由 師 生 邊 分 析 邊 板 演 的 形 式 交 替 進(jìn)行． 的學(xué)習(xí)，讓 學(xué) 生 對(duì) 所 學(xué) 的 知 識(shí) 進(jìn)行運(yùn)用， 進(jìn) 一 步 發(fā) 展 了 學(xué) 生 梳理新知、 應(yīng) 用 新 知 和 數(shù) 學(xué) 語(yǔ) 言 表 達(dá) 能 力． 【師】接著，我們開(kāi)始計(jì)算  -  b 2 a  和  4 ac -b 4 a  2  （學(xué)生邊說(shuō)教師 邊板演） 【

16、生】在教師的引導(dǎo)下，層層深入地思考問(wèn)題，進(jìn)而回答 問(wèn)題. 例答案： （1）頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，1），對(duì)稱軸是直線 x=2，圖象 與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（1，0），（3，0），與 y 軸的交點(diǎn)坐 標(biāo)是（0，-3）. （2）當(dāng) x ￡2 時(shí)，y 隨 x 的增大而增大；當(dāng) x 32 時(shí)， y 隨 x 的增大而減??；當(dāng) x=2 時(shí)，y 有最大值為 1. 2、五點(diǎn)法畫簡(jiǎn)圖. 頂點(diǎn)、與 x 軸的交點(diǎn)（2 個(gè)），與 y 軸的交點(diǎn)，與 y 軸交 點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn). 3、想一想. 【師】（將剛才得到的三個(gè)函數(shù)圖象一起放出來(lái)）請(qǐng)同學(xué) 們觀察一下，我們剛才探討的這三個(gè)函數(shù)圖象，分別與 x 軸有幾個(gè)交點(diǎn)？分別是什

17、么？ 【生】1 個(gè)、0 個(gè)、2 個(gè)；（-1，0）、（1，0）、（3，0）…… 【師】如果讓它們的 y 都等于 0，得到右邊這三個(gè)一元二 次方程，它們的解分別有幾個(gè)？分別是多少？ 【生】1 個(gè)、0 個(gè)、2 個(gè)；-1，1，3…… 【 師 】 根 據(jù) 以 上 三 種 情 況 ， 你 能 發(fā) 現(xiàn) 二 次 函 數(shù) y =a  2  +bx +c ( a 10)  與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)與一元二次方 2 程  a  2  +bx +c =0( a 10)  的解有何關(guān)系嗎？ 【生】二次函數(shù)  y =a  2 

18、 +bx +c ( a 10)  與 x 軸的交點(diǎn)的橫 坐 標(biāo) 與 一 元 二 次 方 程 等……  a 2 +bx +c =0( a 10)  的 解 相 【師】根據(jù)一元二次方程  a  2  +bx +c =0( a 10)  解的個(gè)數(shù) 的判定方法，你能總結(jié)二次函數(shù)  y =a  2  +bx +c ( a 10)  與 x 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與什么有關(guān)嗎？ 【生】（在教師的引導(dǎo)下，由學(xué)生總結(jié)得出，教師板書） ①當(dāng)  b  2  -4 ac >0  時(shí)，

19、圖象與 x 軸有 2 個(gè)交點(diǎn)； ②當(dāng)  b2 -4 ac =0  時(shí)，圖象與 x 軸有 1 個(gè)交點(diǎn)（即為頂點(diǎn)）； ③當(dāng)  b  2  -4 ac <0  時(shí)，圖象與 x 軸沒(méi)有交點(diǎn). 【師】（引導(dǎo)學(xué)生在觀察圖象的基礎(chǔ)上，板書“二次函數(shù) y =a  2  +bx +c ( a 10)  的圖象與 x 軸的交點(diǎn)有三種情 四、  況：”） 1、試一試. 練 請(qǐng)畫出二次函數(shù) y =x 2 +4 x +3 的圖象，并根據(jù)圖象研究 讓 學(xué) 生 通過(guò)練習(xí)，

20、 習(xí) 鞏 固 ， 反 饋 矯 正  它的性質(zhì)，請(qǐng)盡可能多地寫出結(jié)論. 學(xué)生可能的答案： （1）開(kāi)口向上； （2）頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-2，-1）； （3）對(duì)稱軸是直線 x=-2； （4）圖象與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（-3，0），（-1，0）； （5）圖象與 y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，3）； （6）圖象與 y 軸的交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)是（-4，0）； （7）當(dāng) x=-2 時(shí)，函數(shù)有最小值-1； （8）當(dāng) x=-3 或-1 時(shí)，y=0； （9）它的圖象由拋物線 y =x 先向左平移 2 個(gè)單位，再 運(yùn) 用 所 學(xué) 的 知

21、識(shí) 解 決 問(wèn) 題 ， 教 師 巡 視 ， 并 適 時(shí) 地 指 導(dǎo) 、 點(diǎn)撥． 將 學(xué) 生 的 掌 握 情 況 及 時(shí) 給 老 師以反饋， 進(jìn) 而 調(diào) 整 課堂教學(xué)， 進(jìn) 一 步 提 高 學(xué) 生 學(xué) 習(xí)的效率． 向下平移 1 個(gè)單位得到； （10）圖象在 x 軸截得的線段長(zhǎng)為 2 個(gè)單位. 2、實(shí)踐應(yīng)用. 籃球運(yùn)動(dòng)員投籃時(shí)，球運(yùn)動(dòng)的路線為拋物線的一部分（如 圖），拋物線的對(duì)稱軸為直線 x=3，求： (1) 籃球運(yùn)動(dòng)路線的函數(shù)解析式和自變量 x 的取值范圍; (2) 籃球在運(yùn)動(dòng)中離地

22、面的最大高度. 參考解答：（1） 函數(shù)解析式為 1 19 y =- ( x -3)2 + (0 ￡x ￡ 19 -3) 5 5 （2）籃球在運(yùn)動(dòng)中離地面的最大高度為  19 5  米  . 五、 及 時(shí) 小 結(jié) ， 感  談?wù)劚竟?jié)課你的： 收獲．．． 疑惑．． 學(xué)生談收獲，教師加以補(bǔ)充指導(dǎo). 教師小結(jié)：本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了 “二次函數(shù)的性質(zhì)”：五點(diǎn) 法畫二次函數(shù)的簡(jiǎn)圖（注意，如果沒(méi)有特殊的五點(diǎn)，也要  學(xué) 生 談 收 獲 ， 師 生 共 同 總

23、 結(jié) ， 使 新 知 生  學(xué) 生 自 主 進(jìn)行歸納、 總結(jié)，能夠 使 所 學(xué) 的 知 識(shí) 得 到 進(jìn) 一 步 提 悟 收 找簡(jiǎn)單點(diǎn)的五點(diǎn)），一元二次方程與對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān) 系二次函數(shù)與 x 軸的交點(diǎn)情況……  成 慧．  智  升． 獲 六、 布 置 作 業(yè) ， 學(xué) 以 致 家庭作業(yè)： 必做題：作業(yè)題 A 組，作業(yè)本 2.3 節(jié)； 選做題：作業(yè)題 B 組； 思考題： 你能否探索已知哪些條件可以求二次函數(shù)的解 析式． 

24、學(xué) 生 記 下 家 庭 作業(yè)． 布 置 分 層 作業(yè)，使不 同 的 學(xué) 生 在 數(shù) 學(xué) 上 都 有 不 同 的 發(fā)展 , 切 合 新 課 標(biāo) 理念． 用 板 書 直 觀 七、 板 書  課題：2.3 二次函數(shù)的性質(zhì) 二次函數(shù)的性質(zhì)表格  草 稿 區(qū)  性強(qiáng)，重點(diǎn) 突出，有利 于 加 深 學(xué) 生 對(duì) 所 學(xué) 設(shè)  五點(diǎn)法：  與 x 軸交點(diǎn)  例：  知 識(shí) 的 理 計(jì)  （例題函數(shù)圖象）  （例題解答區(qū)域） 

25、 解，也有利 于 學(xué) 生 訓(xùn) 練技能，發(fā) 展智力． [教學(xué)反思] 學(xué)生對(duì)展開(kāi)圖通過(guò)各種途徑有了一些了解，但仍不能把平面與立體很好的結(jié)合；在遇 到問(wèn)題時(shí)，多數(shù)學(xué)生不愿意自己探索，都要尋求幫助。在今后的教學(xué)中，我會(huì)不斷的鉆研探 索，使我的課堂真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)的樂(lè)園。 在本節(jié)課的教學(xué)中，我始終堅(jiān)持以引導(dǎo)為起點(diǎn)，以問(wèn)題為主線，以能力培養(yǎng)為核心，遵 照教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，訓(xùn)練為主線的教學(xué)原則；通過(guò)師生雙邊活動(dòng)，通過(guò)對(duì)單元的復(fù) 習(xí)，使學(xué)生對(duì)本單元的知識(shí)系統(tǒng)化，重點(diǎn)知識(shí)突出化，能力培養(yǎng)階梯化；在選擇題目時(shí)注意 了以基本題為主，少量思考性較強(qiáng)的題目為輔

26、，兼顧了不同層次學(xué)生的不同要求。 本節(jié)課的教學(xué)活動(dòng)，主要是讓學(xué)生通過(guò)觀察、動(dòng)手操作，熟悉長(zhǎng)方體、正方體的展開(kāi)圖 以及圖形折疊后的形狀。教學(xué)時(shí)，我讓每個(gè)學(xué)生帶長(zhǎng)方體或正方體的紙盒，每個(gè)學(xué)生都剪一 剪，并展示所剪圖形的形狀。由于剪的方法不同，展開(kāi)圖的形狀也可能是不同的。學(xué)生在剪、 拆盒子過(guò)程中，很容易把盒子拆散了，無(wú)法形成完整的展開(kāi)圖，就要求適當(dāng)進(jìn)行指導(dǎo)。通過(guò) 動(dòng)手操作，動(dòng)腦思考，集體交流，不僅提高了學(xué)生的空間思維能力，而且在情感上每位學(xué)生 都獲得了成功的體驗(yàn)，建立自信心。接著，我利用可操作材料，體會(huì)展開(kāi)圖與長(zhǎng)方體、正方 體的聯(lián)系；通過(guò)立體與平面的有機(jī)結(jié)合，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。這樣由淺入深、由表及里地 使學(xué)生逐步達(dá)教學(xué)目標(biāo)的要求：閉上眼睛想象展開(kāi)或折疊的過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生建立表象，幫助 學(xué)生理解概念，發(fā)展空間觀念。