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1、第五章《特征值與特征向量》自測(cè)題（100分鐘）
一、填空題：（共20分，每小題4分）
（1）設(shè)三階矩陣 的特征值為－1，1，2，則－1的特征值為（ ）；*的特征值為（ ）；（3+）的特征值為（ ）。
（2）設(shè)三階矩陣＝0，則的全部特征向量為（ ）。
（3）若～E，則＝（ ）。
（4）已知＝與相似，則=（ ），=（ ）。
（5）設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值是1，2，3，矩陣的屬于特征值1，2的特征向量分別是，，則的屬于特征值3的特征向量是（
2、 ）。
二、選擇題（共20分，每小題4分）
（1）設(shè)=，則向量=（ ）是的屬于特征值的一個(gè)特征向量。
（A）； （B）； （C）； （D）
（2）矩陣A與矩陣（ ）相似。
（A）； （B）； （C）； （D）
（3）下述結(jié)論正確的有（ ）。
（A）階矩陣可對(duì)角化的充分必要條件是有個(gè)互不相同的特征值；
（B）階矩陣可對(duì)角化的必要條件是有個(gè)互不相同的特征值；
（C）有相同特征值的兩個(gè)矩陣一定相似；
（D）相似的矩陣一定有相同的特征值。
（4）下述結(jié)論正確的有（ ），其中為階矩陣。
（A）方程的每一個(gè)解向量都是對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量；
（
3、B）若為方程的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則（為非零常數(shù)）是的屬于特征值的全部的特征向量；
（C）與有相同的特征值和相同的特征向量；
（D）與有相同的特征多項(xiàng)式。
（5）設(shè)有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則應(yīng)滿足條件（ ）
（A）；（B）；（C）；（D）。
三、計(jì)算題（每小題15分，共45分）
（1）（共15分）
設(shè)A為三階矩陣，，，是線性無關(guān)的三維列向量，且滿足：
++，
①（5分）求矩陣B，使得：（，，）=（，，）B；
②（5分）求矩陣的特征值；
③（5分）求可逆矩陣，使得為對(duì)角形矩陣。
（2）（共15分）設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣的秩為2，是的二重特征值。若，，都是
4、的屬于特征值6的特征向量。
①（7分）求的另一特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量；
②（8分）求矩陣。
（3）（共15分）設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣的各行元素之和均為3，向量，是齊次線性方程組的兩個(gè)解。
①（5分）求的特征值與特征向量；
②（5分）求正交矩陣和對(duì)角矩陣，使；
③（5分）求及，其中為三階單位矩陣
四、證明題（共15分，每小題5分）
（1）（5分）設(shè)是n階正交矩陣，且，則是的一個(gè)特征值。
（2）（5分）設(shè)是矩陣的兩個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，，，則， 線性無關(guān)的充分必要條件是：。
（3）（5分）設(shè)為階矩陣，且存在向量，有，令：，的線性相關(guān)性，并加以證明。
第五章《特征值
5、與特征向量》自測(cè)題參考答案
一、填空題
（1）；；。
（2），其中，，，（為不全為零的任意常數(shù)）。
（3）。
（4）
（5），（為非零常數(shù)）。
二、選擇題
（1）C； （2）C； （3）D； （4）D； （5）B。
三、計(jì)算題：
（1）解：①∵（ ）（ ）
=（++ 2+ 2+3）
=（ ）
=（ ）
∴ ………………………………………………………（5分）②∵（ ）（ ）
又∵, ,,線性無關(guān)，
∴（ ）可逆，
∴（
6、 ）（ ），
∴與相似，即與有相同的特征值，
而
∴
∴的特征值為：1，1，4…………………………………………………（10分）
③ 當(dāng)
解之，一個(gè)基礎(chǔ)解系為：
當(dāng)
解之，一個(gè)基礎(chǔ)解系為：
令（，，）
則
令（ ）（ ）
=（2- 2- +）
則………………………………………（15分）
（2）解：∵是的二重特征值，
∴的屬于特征性6的線性無關(guān)的特征向量有2個(gè)，由題設(shè)知：，為的屬于特征值6的線性無關(guān)的特征向量。
又∵r，
∴，
∴的另一特征值，設(shè)的所對(duì)應(yīng)的特征向量為：，則有：即：
…………（）
解（），得一基礎(chǔ)解系為
7、：，
故的屬于特征值的全部特征向量為：，
②令（，，）則有：
∴=
=
=
（3）解：①∵
∴是的特征向量。又都是的解，說明它們也都是的特征向量，特征值為0；由于線性無關(guān)，特征值0的重?cái)?shù)大于1，于是的特征值為：3，0，0；屬于3的特征向量為：；屬于0的特征向量為：不全為零）；
②將單位化，得：，對(duì)施密特正交化，得：，，令：，則是正交矩陣，并且
③∵
∴（，，）=（3，，）
即：=
解上面這個(gè)矩陣方程，得：
另外，∵
∴
四、證明題：
（
8、1）證明： ∵是正交矩陣，
∴
∴
又∵
∴
∴ ，即：是的一個(gè)特征值。
（2）證明：設(shè)有一組數(shù)，使
……………………①
即：………………②
又∵，
∴②式為：
…………③
由于已知
∴線性無關(guān)，③式成立當(dāng)且僅當(dāng)：
………………………………④
解齊次線性方程組④，由于其系數(shù)行列式為：
，由于當(dāng)且僅當(dāng)④僅有零解：
故線性無關(guān)的充分必要條件是
（3）證明： ∵，
∴ 1，2，…，是階矩陣的個(gè)不同的特征值，而是 的分別屬于1，2，…，的線性無關(guān)的特征向量。
又∵ …
設(shè)有一組數(shù)：使得： ………①
即：…………………②
也即：… ……………③
由于線性無關(guān)，
故③式成立當(dāng)且僅當(dāng)：
……………………………④
∵齊次線性方程組④的系數(shù)行列式：=1+
∴當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，=1+（-1）=0，④有非零解；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，=1+1=20，④僅有零解；
∴由①式有：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，線性相關(guān)，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，線性無關(guān)。
線性代數(shù)《特征值與特征向量》自測(cè)題及答案
