線性代數(shù)《特征值與特征向量》自測題及答案

第五章《特征值與特征向量》自測題（100分鐘） 一、填空題：（共20分，每小題4分） （1）設(shè)三階矩陣 的特征值為－1，1，2，則－1的特征值為（ ）；*的特征值為（ ）；（3+）的特征值為（ ）。 （2）設(shè)三階矩陣＝0，則的全部特征向量為（ ）。 （3）若～E，則＝（ ）。 （4）已知＝與相似，則=（ ），=（ ）。 （5）設(shè)三階實(shí)對稱矩陣的特征值是1，2，3，矩陣的屬于特征值1，2的特征向量分別是，，則的屬于特征值3的特征向量是（ ）。 二、選擇題（共20分，每小題4分） （1）設(shè)=，則向量=（ ）是的屬于特征值的一個(gè)特征向量。 （A）； （B）； （C）； （D） （2）矩陣A與矩陣（ ）相似。 （A）； （B）； （C）； （D） （3）下述結(jié)論正確的有（ ）。 （A）階矩陣可對角化的充分必要條件是有個(gè)互不相同的特征值； （B）階矩陣可對角化的必要條件是有個(gè)互不相同的特征值； （C）有相同特征值的兩個(gè)矩陣一定相似； （D）相似的矩陣一定有相同的特征值。 （4）下述結(jié)論正確的有（ ），其中為階矩陣。 （A）方程的每一個(gè)解向量都是對應(yīng)于特征值的特征向量； （B）若為方程的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則（為非零常數(shù)）是的屬于特征值的全部的特征向量； （C）與有相同的特征值和相同的特征向量； （D）與有相同的特征多項(xiàng)式。 （5）設(shè)有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則應(yīng)滿足條件（ ） （A）；（B）；（C）；（D）。 三、計(jì)算題（每小題15分，共45分） （1）（共15分） 設(shè)A為三階矩陣，，，是線性無關(guān)的三維列向量，且滿足： ++， ①（5分）求矩陣B，使得：（，，）=（，，）B； ②（5分）求矩陣的特征值； ③（5分）求可逆矩陣，使得為對角形矩陣。 （2）（共15分）設(shè)三階實(shí)對稱矩陣的秩為2，是的二重特征值。若，，都是的屬于特征值6的特征向量。 ①（7分）求的另一特征值和對應(yīng)的特征向量； ②（8分）求矩陣。 （3）（共15分）設(shè)三階實(shí)對稱矩陣的各行元素之和均為3，向量，是齊次線性方程組的兩個(gè)解。 ①（5分）求的特征值與特征向量； ②（5分）求正交矩陣和對角矩陣，使； ③（5分）求及，其中為三階單位矩陣 四、證明題（共15分，每小題5分） （1）（5分）設(shè)是n階正交矩陣，且，則是的一個(gè)特征值。 （2）（5分）設(shè)是矩陣的兩個(gè)不同的特征值，對應(yīng)的特征向量分別為，，，則， 線性無關(guān)的充分必要條件是：。 （3）（5分）設(shè)為階矩陣，且存在向量，有，令：，的線性相關(guān)性，并加以證明。 第五章《特征值與特征向量》自測題參考答案 一、填空題 （1）；；。 （2），其中，，，（為不全為零的任意常數(shù)）。 （3）。 （4） （5），（為非零常數(shù)）。 二、選擇題 （1）C； （2）C； （3）D； （4）D； （5）B。 三、計(jì)算題： （1）解：①∵（ ）（ ） =（++ 2+ 2+3） =（ ） =（ ） ∴ ………………………………………………………（5分）②∵（ ）（ ） 又∵, ,,線性無關(guān)， ∴（ ）可逆， ∴（ ）（ ）， ∴與相似，即與有相同的特征值， 而 ∴ ∴的特征值為：1，1，4…………………………………………………（10分） ③ 當(dāng) 解之，一個(gè)基礎(chǔ)解系為： 當(dāng) 解之，一個(gè)基礎(chǔ)解系為： 令（，，） 則 令（ ）（ ） =（2- 2- +） 則………………………………………（15分） （2）解：∵是的二重特征值， ∴的屬于特征性6的線性無關(guān)的特征向量有2個(gè)，由題設(shè)知：，為的屬于特征值6的線性無關(guān)的特征向量。 又∵r， ∴， ∴的另一特征值，設(shè)的所對應(yīng)的特征向量為：，則有：即： …………（） 解（），得一基礎(chǔ)解系為：， 故的屬于特征值的全部特征向量為：， ②令（，，）則有： ∴= = = （3）解：①∵ ∴是的特征向量。又都是的解，說明它們也都是的特征向量，特征值為0；由于線性無關(guān)，特征值0的重?cái)?shù)大于1，于是的特征值為：3，0，0；屬于3的特征向量為：；屬于0的特征向量為：不全為零）； ②將單位化，得：，對施密特正交化，得：，，令：，則是正交矩陣，并且 ③∵ ∴（，，）=（3，，） 即：= 解上面這個(gè)矩陣方程，得： 另外，∵ ∴ 四、證明題： （1）證明： ∵是正交矩陣， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ，即：是的一個(gè)特征值。 （2）證明：設(shè)有一組數(shù)，使 ……………………① 即：………………② 又∵， ∴②式為： …………③ 由于已知 ∴線性無關(guān)，③式成立當(dāng)且僅當(dāng)： ………………………………④ 解齊次線性方程組④，由于其系數(shù)行列式為： ，由于當(dāng)且僅當(dāng)④僅有零解： 故線性無關(guān)的充分必要條件是 （3）證明： ∵， ∴ 1，2，…，是階矩陣的個(gè)不同的特征值，而是 的分別屬于1，2，…，的線性無關(guān)的特征向量。 又∵ … 設(shè)有一組數(shù)：使得： ………① 即：…………………② 也即：… ……………③ 由于線性無關(guān)， 故③式成立當(dāng)且僅當(dāng)： ……………………………④ ∵齊次線性方程組④的系數(shù)行列式：=1+ ∴當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，=1+（-1）=0，④有非零解； 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，=1+1=20，④僅有零解； ∴由①式有：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，線性相關(guān)， 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，線性無關(guān)。