【備考2014 志鴻優(yōu)化設(shè)計(jì)】2013版中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題講練 專題三 開放與探索（含解析） 新人教版

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1、 專題三　開放與探索 開放探索型問(wèn)題有條件開放與探索、結(jié)論開放與探索、條件結(jié)論都開放與探索等，這類題目新穎，思考方向不確定，因此比一般綜合題更能考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，從而深受命題者的青睞．中考題型以填空題、解答題為主． 考向一　條件開放問(wèn)題 條件開放探索問(wèn)題的特征是缺少確定的條件，所需補(bǔ)充的條件不能由結(jié)論直接推出，而滿足結(jié)論的條件往往也是不唯一的． 【例1】如圖，已知AC⊥BD于點(diǎn)P，AP＝CP，請(qǐng)?jiān)黾右粋€(gè)條件：使△ABP≌△CDP(不能添加輔助線)，你增加的條件是__________． 解析：要證明△ABP≌△CDP，已經(jīng)給出了兩個(gè)條件：AP＝CP，AC⊥BD(

2、即∠APB＝∠CPD＝90°)，根據(jù)證明兩個(gè)三角形全等的判斷方法，可以添加一個(gè)條件角或者邊． 答案：∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB∥CD，BP＝DP，AB＝CD.(任選其中一個(gè)) 方法歸納 解決此類題的方法是：從所給的結(jié)論出發(fā)，設(shè)想出合乎要求的一些條件，逐一列出，運(yùn)用所學(xué)的定理，進(jìn)行邏輯推理，從而找出滿足結(jié)論的條件． 考向二　結(jié)論開放問(wèn)題 結(jié)論開放探索問(wèn)題是給出問(wèn)題的條件，讓解題者根據(jù)條件探索相應(yīng)的結(jié)論，符合條件的結(jié)論往往呈現(xiàn)多樣性． 【例2】(2011廣東河源)如圖1，已知線段AB的長(zhǎng)為2a，點(diǎn)P是AB上的動(dòng)點(diǎn)(P不與A，B重合)，分別以AP，PB為邊向線段AB的同一側(cè)作正△APC

3、和正△PBD. (1)當(dāng)△APC與△PBD的面積之和取最小值時(shí)，AP＝__________.(直接寫結(jié)果) (2)連接AD，BC，相交于點(diǎn)Q，設(shè)∠AQC＝α，那么α的大小是否會(huì)隨點(diǎn)P的移動(dòng)而變化？請(qǐng)說(shuō)明理由． (3)如圖2，若點(diǎn)P固定，將△PBD繞點(diǎn)P按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角小于180°)，此時(shí)α的大小是否發(fā)生變化？(只需直接寫出你的猜想，不必證明) 圖1　 　圖2 分析：(1)設(shè)等邊△APC邊長(zhǎng)為x，高為x，則面積為x2，則等邊△BDP邊長(zhǎng)為2a－x，高為(2a－x)，則面積為(2a－x)2， 面積之和為S＝x2＋(2

4、a－x)2＝x2－ax＋a2，這是一個(gè)二次函數(shù)的最值問(wèn)題． 當(dāng)x＝a時(shí)，S最?。絘2. (2)判別α的大小是否會(huì)隨點(diǎn)P的移動(dòng)而變化，只需計(jì)算∠AQC. (3)根據(jù)(2)證明過(guò)程或直觀可得結(jié)論． 解：(1)a (2)α的大小不會(huì)隨點(diǎn)P的移動(dòng)而變化． 理由：∵△APC是等邊三角形， ∴PA＝PC，∠APC＝60°. ∵△BDP是等邊三角形， ∴PB＝PD，∠BPD＝60°，∴∠APC＝∠BPD， ∴∠APD＝∠CPB，∴△APD≌△CPB， ∴∠PAD＝∠PCB. ∵∠QAP＋∠QAC＋∠ACP＝120°， ∴∠QCP＋∠QAC＋∠ACP＝120°， ∴∠AQC＝180

5、°－120°＝60°. (3)此時(shí)α的大小不會(huì)發(fā)生改變，始終等于60°. 方法歸納 解答本題將等邊三角形的面積用二次函數(shù)表示是解答本題的難點(diǎn)．解答結(jié)論開放性問(wèn)題常常需要借助直觀或特殊化方法探求． 考向三　條件與結(jié)論開放問(wèn)題 條件、結(jié)論開放探索問(wèn)題是指條件和結(jié)論都不唯一，此類問(wèn)題沒(méi)有明確的條件和結(jié)論，并且符合條件的結(jié)論具有開放性，它要求學(xué)生通過(guò)自己的觀察和思考，將已知的信息集中進(jìn)行分析，通過(guò)這一思維活動(dòng)揭示事物的內(nèi)在聯(lián)系． 【例3】(1)如圖1，在正方形ABCD中，M是BC邊(不含端點(diǎn)B，C)上任意一點(diǎn)，P是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，N是∠DCP的平分線上一點(diǎn)．若∠AMN＝90°，求證：AM

6、＝MN. 下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明． 證明：在邊AB上截取AE＝MC，連接ME.正方形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC. ∴∠NMC＝180°－∠AMN－∠AMB＝180°－∠B－∠AMB＝∠MAB＝∠MAE. (下面請(qǐng)你完成余下的證明過(guò)程) 圖1 圖2 (2)若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”(如圖2)，N是∠ACP的平分線上一點(diǎn)，則當(dāng)∠AMN＝60°時(shí)，結(jié)論AM＝MN是否還成立？請(qǐng)說(shuō)明理由． (3)若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正n邊

7、形ABCD…X”，請(qǐng)你作出猜想：當(dāng)∠AMN＝__________時(shí)，結(jié)論AM＝MN仍然成立．(直接寫出答案，不需要證明) 分析：證兩條線段相等，最常用的方法是證明兩條線段所在三角形全等．(1)中給出了線段EM，即想提示考生證明△AEM≌△MCN.由題目中的條件知，只需再找一角即可．(2)中解法同(1)，在AB上構(gòu)造出線段AE＝MC，連接ME.進(jìn)一步證明△AEM≌△MCN.(3)是將(1)(2)中特殊問(wèn)題推廣到一般情況，應(yīng)抓住本質(zhì)：∠AMN與正多邊形的內(nèi)角度數(shù)相等． 解：(1)∵AE＝MC，∴BE＝BM， ∴∠BEM＝∠EMB＝45°，∴∠AEM＝135°. ∵CN平分∠DCP，∴∠PC

8、N＝45°，∴∠AEM＝∠MCN＝135°. 在△AEM和△MCN中，∵ ∴△AEM≌△MCN，∴AM＝MN. (2)仍然成立． 在邊AB上截取AE＝MC，連接ME. ∵△ABC是等邊三角形， ∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝60°， ∴∠ACP＝120°. ∵AE＝MC，∴BE＝BM， ∴∠BEM＝∠EMB＝60°， ∴∠AEM＝120°. ∵CN平分∠ACP，∴∠PCN＝60°， ∴∠AEM＝∠MCN＝120°. ∵∠CMN＝180°－∠AMN－∠AMB＝180°－∠B－∠AMB＝∠BAM，∴△AEM≌△MCN，∴AM＝MN. (3). 方法歸納 解答本題

9、的關(guān)鍵是結(jié)合已給出的材料借助類比思想進(jìn)行．一般地，解答條件、結(jié)論開放探索問(wèn)題，即條件和結(jié)論都不確定，首先要認(rèn)定條件和結(jié)論，然后組成一個(gè)新的命題并加以證明或判斷． 一、選擇題 1．如圖，在網(wǎng)格中有一個(gè)直角三角形(網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度)，若以該三角形一邊為公共邊畫一個(gè)新三角形與原來(lái)的直角三角形一起組成一個(gè)等腰三角形，要求新三角形與原來(lái)的直角三角形除了有一條公共邊外，沒(méi)有其他的公共點(diǎn)，新三角形的頂點(diǎn)不一定在格點(diǎn)上，那么符合要求的新三角形有(　　) A．4個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．9個(gè) 2．根據(jù)圖1所示的程序，得到了y與x的函數(shù)圖象

10、(如圖2)，過(guò)點(diǎn)M作PQ∥x軸交圖象于點(diǎn)P，Q，連接OP，OQ.則以下結(jié)論 ①x＜0時(shí)，y＝， ②△OPQ的面積為定值， ③x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大， ④MQ＝2PM， ⑤∠POQ可以等于90°. 圖1 圖2 其中正確的結(jié)論是(　　) A．①②④ B．②④⑤ C．③④⑤ D．②③⑤ 二、填空題 3．在四邊形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC.請(qǐng)?jiān)偬砑右粋€(gè)條件，使四邊形ABCD是矩形．你添加的條件是__________．(寫出一種即可) 4．若關(guān)于x的方程x2－mx＋3＝0有實(shí)數(shù)根，則m的值可以為__

11、________．(任意給出一個(gè)符合條件的值即可) 三、解答題 5．如圖，將△ABC的頂點(diǎn)A放在⊙O上，現(xiàn)從AC與⊙O相切于點(diǎn)A(如圖1)的位置開始，將△ABC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0°＜α＜120°)，旋轉(zhuǎn)后AC，AB分別與⊙O交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF(如圖2)．已知∠BAC＝60°，∠C＝90°，AC＝8，⊙O的直徑為8. 圖1 圖2 備用圖 (1)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，有以下幾個(gè)量：①弦EF的長(zhǎng)；②的長(zhǎng)；③∠AFE的度數(shù)；④點(diǎn)O到EF的距離．其中不變的量是__________(填序號(hào))． (2)當(dāng)BC與⊙O相切時(shí)，請(qǐng)直接寫出α的值，

12、并求此時(shí)△AEF的面積． 6．如圖1，△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB＝AC＝EF＝9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，將△DEF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DF邊與AB邊重合時(shí)，旋轉(zhuǎn)中止．不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時(shí)重合的情況，設(shè)DE，DF(或它們的延長(zhǎng)線)分別交BC(或它的延長(zhǎng)線)于G，H點(diǎn)，如圖2. (1)問(wèn)：始終與△AGC相似的三角形有__________及__________； (2)設(shè)CG＝x，BH＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(只要求根據(jù)圖2情形說(shuō)明理由)； (3)問(wèn)：當(dāng)x為何值時(shí)，△AGH是等腰三角形？ 圖1

13、 圖2 7．已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD(AD＞AB)，將紙片折疊一次，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，再展開，折痕EF交AD邊于點(diǎn)E，交BC邊于點(diǎn)F，分別連接AF和CE. (1)求證：四邊形AFCE是菱形； (2)若AE＝10 cm，△ABF的面積為24 cm2，求△ABF的周長(zhǎng)； (3)在線段AC上是否存在一點(diǎn)P，使得2AE2＝AC·AP？若存在，請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)P的位置，并予以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 8．已知：二次函數(shù)y＝x2＋bx－3的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－2,5)． (1)求b的值，并寫出當(dāng)1＜x≤3時(shí)y的取值范圍． (2)設(shè)點(diǎn)P1(m，y1)，P2(m＋1，y2)

14、，P3(m＋2，y3)在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上． ①當(dāng)m＝4時(shí)，y1，y2，y3能否作為同一個(gè)三角形的三邊的長(zhǎng)？請(qǐng)說(shuō)明理由． ②當(dāng)m取不小于5的任意實(shí)數(shù)時(shí)，y1，y2，y3一定能作為同一個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)，請(qǐng)說(shuō)明理由． 9．如圖1，已知拋物線的頂點(diǎn)為A(0,1)，矩形CDEF的頂點(diǎn)C，F(xiàn)在拋物線上，D，E在x軸上，CF交y軸于點(diǎn)B(0,2)且其面積為8. (1)求此拋物線的解析式． (2)如圖2，若P點(diǎn)為拋物線上不同于A的一點(diǎn)，連接PB并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)P，Q分別作x軸的垂線，垂足分別為S，R. ①求證：PB＝PS； ②判斷△SBR的形狀； ③試探索在線段SR上是否存在點(diǎn)M

15、，使得以點(diǎn)P，S，M為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn)Q，R，M為頂點(diǎn)的三角形相似，若存在，請(qǐng)找出M點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 圖1 圖2 參考答案 專題提升演練 1．C　以較短的直角邊為公共邊可以畫三個(gè)符合要求的三角形，以較長(zhǎng)的直角邊為公共邊也可以畫三個(gè)符合要求的三角形，以斜邊為公共邊也可以畫一個(gè)符合要求的三角形，這樣可以畫七個(gè)符合要求的三角形，故選C. 2．B　根據(jù)圖中所示程序，可得y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝易知①錯(cuò)誤；∵PQ∥x軸，∴點(diǎn)P在y＝－上，∴S△POM＝×OM×PM＝|k|＝1，同理可得S△QOM＝2，∴S△POQ＝S△POM＋S△

16、QOM＝1＋2＝3，∴②正確；當(dāng)x＞0時(shí)，y＝，y隨x的增大而減小，∴③錯(cuò)誤；設(shè)OM＝a，當(dāng)y＝a時(shí)，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－，Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則PM＝，MQ＝，則MQ＝2PM，∴④正確；當(dāng)點(diǎn)M在y軸的正半軸上由下向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠POQ由180°逐漸變小至0°，∴∠POQ可以等于90°，∴⑤正確． 3．∠A＝90°或∠B＝90°或∠C＝90°或∠D＝90°或AC＝BD(答案不唯一，寫出一種即可)　由已知條件AB＝DC，AD＝BC，根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，再要使ABCD是矩形，根據(jù)判定矩形的方法，只需有一個(gè)角為直角的平行四邊形即為矩形，或者對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，所以可添的條件為

17、角是直角或?qū)蔷€相等． 4．答案不唯一，所填寫的數(shù)值只要滿足m2≥12即可，如4等　由于這個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，因此Δ＝b2－4ac＝(－m)2－12＝m2－12≥0，即m2≥12. 5．解：(1)①②④ (2)α＝90°.依題意可知，△ACB旋轉(zhuǎn)90°后AC為⊙O直徑，且點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，因此∠AFE＝90°.∵AC＝8，∠BAC＝60°，∴AF＝AC＝4，EF＝4，∴S△AEF＝×4×4＝8. 6．解：(1)△HGA　△HAB (2)由(1)可知△AGC∽△HAB， ∴＝，即＝， ∴y＝. (3)由(1)知△AGC∽△HGA. ∴要使△AGH是等腰三角形，只要△AGC是等腰三角形

18、即可． 有兩種情況，(1)CG為底，AC＝AG時(shí)，得AG＝9，此時(shí)CG等于9，(2)CG為腰，CG＝AG時(shí)，此時(shí)CG＝. 7．解：(1)證明：由折疊可知EF⊥AC，AO＝CO. ∵AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO. ∴△AOE≌△COF. ∴EO＝FO. ∴四邊形AFCE是菱形． (2)由(1)得AF＝AE＝10. 設(shè)AB＝a，BF＝b，得 a2＋b2＝100①，ab＝48②. ①＋2×②得(a＋b)2＝196，得a＋b＝14(另一負(fù)值舍去)． ∴△ABF的周長(zhǎng)為24 cm. (3)存在，過(guò)點(diǎn)E作AD的垂線交AC于點(diǎn)P，則點(diǎn)P符合題意．

19、 證明：∵∠AEP＝∠AOE＝90°，∠EAP＝∠OAE， ∴△AOE∽△AEP. ∴＝，得AE2＝AO·AP，即2AE2＝2AO·AP. 又AC＝2AO， ∴2AE2＝AC·AP. 8．解：(1)把點(diǎn)P代入二次函數(shù)解析式，得5＝(－2)2－2b－3，解得b＝－2. 所以二次函數(shù)解析式為y＝x2－2x－3. 當(dāng)x＝1時(shí)，y＝－4，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝0， 所以當(dāng)1＜x≤3時(shí)，y的取值范圍為－4＜y≤0. (2)①m＝4時(shí)，y1，y2，y3的值分別為5,12,21， 由于5＋12＜21，不能成為三角形的三邊長(zhǎng)． ②當(dāng)m取不小于5的任意實(shí)數(shù)時(shí)，由圖象知y1＜y2＜y3，y1，y2

20、，y3的值分別為m2－2m－3，m2－4，m2＋2m－3，y1＋y2－y3＝(m2－2m－3)＋(m2－4)－(m2＋2m－3)＝m2－4m－4＝(m－2)2－8，當(dāng)m不小于5時(shí)成立，(m－2)2≥9，所以(m－2)2－8＞0，即y1＋y2＞y3成立． 所以當(dāng)m取不小于5的任意實(shí)數(shù)時(shí)，y1，y2，y3一定能作為同一個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)． 9．(1)解：方法一：∵B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)， ∴OB＝2. ∵矩形CDEF面積為8， ∴CF＝4. ∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,2)，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)． 設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2＋bx＋c， 其過(guò)三點(diǎn)A(0,1)，C(－2,2)，F(xiàn)(2,2)，

21、 得 解這個(gè)方程組，得 a＝，b＝0，c＝1. ∴此拋物線的解析式為y＝x2＋1. 方法二：∵B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)， ∴OB＝2. ∵矩形CDEF面積為8， ∴CF＝4. ∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,2)． 根據(jù)題意可設(shè)拋物線解析式為y＝ax2＋c. 其過(guò)點(diǎn)A(0,1)和C(－2,2)． 得 解這個(gè)方程組，得a＝，c＝1. ∴此拋物線解析式為y＝x2＋1. (2) ①過(guò)點(diǎn)B作BN⊥PS，垂足為N. ∵P點(diǎn)在拋物線y＝x2＋1上，可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為， ∴PS＝a2＋1，OB＝NS＝2，BN＝a. ∴PN＝PS－NS＝a2－1. 在Rt△PNB中， PB2＝PN2＋

22、BN2＝2＋a2＝2. ∴PB＝PS＝a2＋1. ②根據(jù)①同理可知BQ＝QR. ∴∠1＝∠2， 又∵∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3. 同理∠SBP＝∠5. ∴2∠5＋2∠3＝180°. ∴∠5＋∠3＝90°， ∴∠SBR＝90°. ∴△SBR為直角三角形． ③ 若以P，S，M為頂點(diǎn)的三角形與以Q，M，R為頂點(diǎn)的三角形相似， ∵∠PSM＝∠MRQ＝90°， ∴有△PSM∽△MRQ和△PSM∽△QRM兩種情況． 當(dāng)△PSM∽△MRQ時(shí)，∠SPM＝∠RMQ，∠SMP＝∠RQM. 由直角三角形兩銳角互余性質(zhì)，知∠PMS＋∠QMR＝90°， ∴∠PMQ＝90°. 取PQ中點(diǎn)為N，連接MN，則MN＝PQ＝(QR＋PS)． ∴MN為直角梯形SRQP的中位線． ∴點(diǎn)M為SR的中點(diǎn)． 當(dāng)△PSM∽△QRM時(shí)，＝＝. 又＝， ∴＝，即M點(diǎn)與點(diǎn)O重合． ∴點(diǎn)M為原點(diǎn)O. 綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M為SR的中點(diǎn)時(shí)，△PSM∽△MRQ；當(dāng)點(diǎn)M為原點(diǎn)時(shí)，△PSM∽△QRM. 8