【備考2014 志鴻優(yōu)化設(shè)計】2013版中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題講練 專題三 開放與探索（含解析） 新人教版

專題三　開放與探索 開放探索型問題有條件開放與探索、結(jié)論開放與探索、條件結(jié)論都開放與探索等，這類題目新穎，思考方向不確定，因此比一般綜合題更能考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力，從而深受命題者的青睞．中考題型以填空題、解答題為主． 考向一　條件開放問題 條件開放探索問題的特征是缺少確定的條件，所需補(bǔ)充的條件不能由結(jié)論直接推出，而滿足結(jié)論的條件往往也是不唯一的． 【例1】如圖，已知AC⊥BD于點(diǎn)P，AP＝CP，請增加一個條件：使△ABP≌△CDP(不能添加輔助線)，你增加的條件是__________． 解析：要證明△ABP≌△CDP，已經(jīng)給出了兩個條件：AP＝CP，AC⊥BD(即∠APB＝∠CPD＝90°)，根據(jù)證明兩個三角形全等的判斷方法，可以添加一個條件角或者邊． 答案：∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB∥CD，BP＝DP，AB＝CD.(任選其中一個) 方法歸納 解決此類題的方法是：從所給的結(jié)論出發(fā)，設(shè)想出合乎要求的一些條件，逐一列出，運(yùn)用所學(xué)的定理，進(jìn)行邏輯推理，從而找出滿足結(jié)論的條件． 考向二　結(jié)論開放問題 結(jié)論開放探索問題是給出問題的條件，讓解題者根據(jù)條件探索相應(yīng)的結(jié)論，符合條件的結(jié)論往往呈現(xiàn)多樣性． 【例2】(2011廣東河源)如圖1，已知線段AB的長為2a，點(diǎn)P是AB上的動點(diǎn)(P不與A，B重合)，分別以AP，PB為邊向線段AB的同一側(cè)作正△APC和正△PBD. (1)當(dāng)△APC與△PBD的面積之和取最小值時，AP＝__________.(直接寫結(jié)果) (2)連接AD，BC，相交于點(diǎn)Q，設(shè)∠AQC＝α，那么α的大小是否會隨點(diǎn)P的移動而變化？請說明理由． (3)如圖2，若點(diǎn)P固定，將△PBD繞點(diǎn)P按順時針方向旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角小于180°)，此時α的大小是否發(fā)生變化？(只需直接寫出你的猜想，不必證明) 圖1　 　圖2 分析：(1)設(shè)等邊△APC邊長為x，高為x，則面積為x2，則等邊△BDP邊長為2a－x，高為(2a－x)，則面積為(2a－x)2， 面積之和為S＝x2＋(2a－x)2＝x2－ax＋a2，這是一個二次函數(shù)的最值問題． 當(dāng)x＝a時，S最?。絘2. (2)判別α的大小是否會隨點(diǎn)P的移動而變化，只需計算∠AQC. (3)根據(jù)(2)證明過程或直觀可得結(jié)論． 解：(1)a (2)α的大小不會隨點(diǎn)P的移動而變化． 理由：∵△APC是等邊三角形， ∴PA＝PC，∠APC＝60°. ∵△BDP是等邊三角形， ∴PB＝PD，∠BPD＝60°，∴∠APC＝∠BPD， ∴∠APD＝∠CPB，∴△APD≌△CPB， ∴∠PAD＝∠PCB. ∵∠QAP＋∠QAC＋∠ACP＝120°， ∴∠QCP＋∠QAC＋∠ACP＝120°， ∴∠AQC＝180°－120°＝60°. (3)此時α的大小不會發(fā)生改變，始終等于60°. 方法歸納 解答本題將等邊三角形的面積用二次函數(shù)表示是解答本題的難點(diǎn)．解答結(jié)論開放性問題常常需要借助直觀或特殊化方法探求． 考向三　條件與結(jié)論開放問題 條件、結(jié)論開放探索問題是指條件和結(jié)論都不唯一，此類問題沒有明確的條件和結(jié)論，并且符合條件的結(jié)論具有開放性，它要求學(xué)生通過自己的觀察和思考，將已知的信息集中進(jìn)行分析，通過這一思維活動揭示事物的內(nèi)在聯(lián)系． 【例3】(1)如圖1，在正方形ABCD中，M是BC邊(不含端點(diǎn)B，C)上任意一點(diǎn)，P是BC延長線上一點(diǎn)，N是∠DCP的平分線上一點(diǎn)．若∠AMN＝90°，求證：AM＝MN. 下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明． 證明：在邊AB上截取AE＝MC，連接ME.正方形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC. ∴∠NMC＝180°－∠AMN－∠AMB＝180°－∠B－∠AMB＝∠MAB＝∠MAE. (下面請你完成余下的證明過程) 圖1 圖2 (2)若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”(如圖2)，N是∠ACP的平分線上一點(diǎn)，則當(dāng)∠AMN＝60°時，結(jié)論AM＝MN是否還成立？請說明理由． (3)若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCD…X”，請你作出猜想：當(dāng)∠AMN＝__________時，結(jié)論AM＝MN仍然成立．(直接寫出答案，不需要證明) 分析：證兩條線段相等，最常用的方法是證明兩條線段所在三角形全等．(1)中給出了線段EM，即想提示考生證明△AEM≌△MCN.由題目中的條件知，只需再找一角即可．(2)中解法同(1)，在AB上構(gòu)造出線段AE＝MC，連接ME.進(jìn)一步證明△AEM≌△MCN.(3)是將(1)(2)中特殊問題推廣到一般情況，應(yīng)抓住本質(zhì)：∠AMN與正多邊形的內(nèi)角度數(shù)相等． 解：(1)∵AE＝MC，∴BE＝BM， ∴∠BEM＝∠EMB＝45°，∴∠AEM＝135°. ∵CN平分∠DCP，∴∠PCN＝45°，∴∠AEM＝∠MCN＝135°. 在△AEM和△MCN中，∵ ∴△AEM≌△MCN，∴AM＝MN. (2)仍然成立． 在邊AB上截取AE＝MC，連接ME. ∵△ABC是等邊三角形， ∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝60°， ∴∠ACP＝120°. ∵AE＝MC，∴BE＝BM， ∴∠BEM＝∠EMB＝60°， ∴∠AEM＝120°. ∵CN平分∠ACP，∴∠PCN＝60°， ∴∠AEM＝∠MCN＝120°. ∵∠CMN＝180°－∠AMN－∠AMB＝180°－∠B－∠AMB＝∠BAM，∴△AEM≌△MCN，∴AM＝MN. (3). 方法歸納 解答本題的關(guān)鍵是結(jié)合已給出的材料借助類比思想進(jìn)行．一般地，解答條件、結(jié)論開放探索問題，即條件和結(jié)論都不確定，首先要認(rèn)定條件和結(jié)論，然后組成一個新的命題并加以證明或判斷． 一、選擇題 1．如圖，在網(wǎng)格中有一個直角三角形(網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長均為1個單位長度)，若以該三角形一邊為公共邊畫一個新三角形與原來的直角三角形一起組成一個等腰三角形，要求新三角形與原來的直角三角形除了有一條公共邊外，沒有其他的公共點(diǎn)，新三角形的頂點(diǎn)不一定在格點(diǎn)上，那么符合要求的新三角形有(　　) A．4個 B．6個 C．7個 D．9個 2．根據(jù)圖1所示的程序，得到了y與x的函數(shù)圖象(如圖2)，過點(diǎn)M作PQ∥x軸交圖象于點(diǎn)P，Q，連接OP，OQ.則以下結(jié)論 ①x＜0時，y＝， ②△OPQ的面積為定值， ③x＞0時，y隨x的增大而增大， ④MQ＝2PM， ⑤∠POQ可以等于90°. 圖1 圖2 其中正確的結(jié)論是(　　) A．①②④ B．②④⑤ C．③④⑤ D．②③⑤ 二、填空題 3．在四邊形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC.請再添加一個條件，使四邊形ABCD是矩形．你添加的條件是__________．(寫出一種即可) 4．若關(guān)于x的方程x2－mx＋3＝0有實(shí)數(shù)根，則m的值可以為__________．(任意給出一個符合條件的值即可) 三、解答題 5．如圖，將△ABC的頂點(diǎn)A放在⊙O上，現(xiàn)從AC與⊙O相切于點(diǎn)A(如圖1)的位置開始，將△ABC繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0°＜α＜120°)，旋轉(zhuǎn)后AC，AB分別與⊙O交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF(如圖2)．已知∠BAC＝60°，∠C＝90°，AC＝8，⊙O的直徑為8. 圖1 圖2 備用圖 (1)在旋轉(zhuǎn)過程中，有以下幾個量：①弦EF的長；②的長；③∠AFE的度數(shù)；④點(diǎn)O到EF的距離．其中不變的量是__________(填序號)． (2)當(dāng)BC與⊙O相切時，請直接寫出α的值，并求此時△AEF的面積． 6．如圖1，△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB＝AC＝EF＝9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，將△DEF繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DF邊與AB邊重合時，旋轉(zhuǎn)中止．不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時重合的情況，設(shè)DE，DF(或它們的延長線)分別交BC(或它的延長線)于G，H點(diǎn)，如圖2. (1)問：始終與△AGC相似的三角形有__________及__________； (2)設(shè)CG＝x，BH＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(只要求根據(jù)圖2情形說明理由)； (3)問：當(dāng)x為何值時，△AGH是等腰三角形？ 圖1 圖2 7．已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD(AD＞AB)，將紙片折疊一次，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，再展開，折痕EF交AD邊于點(diǎn)E，交BC邊于點(diǎn)F，分別連接AF和CE. (1)求證：四邊形AFCE是菱形； (2)若AE＝10 cm，△ABF的面積為24 cm2，求△ABF的周長； (3)在線段AC上是否存在一點(diǎn)P，使得2AE2＝AC·AP？若存在，請說明點(diǎn)P的位置，并予以證明；若不存在，請說明理由． 8．已知：二次函數(shù)y＝x2＋bx－3的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(－2,5)． (1)求b的值，并寫出當(dāng)1＜x≤3時y的取值范圍． (2)設(shè)點(diǎn)P1(m，y1)，P2(m＋1，y2)，P3(m＋2，y3)在這個二次函數(shù)的圖象上． ①當(dāng)m＝4時，y1，y2，y3能否作為同一個三角形的三邊的長？請說明理由． ②當(dāng)m取不小于5的任意實(shí)數(shù)時，y1，y2，y3一定能作為同一個三角形三邊的長，請說明理由． 9．如圖1，已知拋物線的頂點(diǎn)為A(0,1)，矩形CDEF的頂點(diǎn)C，F(xiàn)在拋物線上，D，E在x軸上，CF交y軸于點(diǎn)B(0,2)且其面積為8. (1)求此拋物線的解析式． (2)如圖2，若P點(diǎn)為拋物線上不同于A的一點(diǎn)，連接PB并延長交拋物線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P，Q分別作x軸的垂線，垂足分別為S，R. ①求證：PB＝PS； ②判斷△SBR的形狀； ③試探索在線段SR上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)P，S，M為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn)Q，R，M為頂點(diǎn)的三角形相似，若存在，請找出M點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由． 圖1 圖2 參考答案 專題提升演練 1．C　以較短的直角邊為公共邊可以畫三個符合要求的三角形，以較長的直角邊為公共邊也可以畫三個符合要求的三角形，以斜邊為公共邊也可以畫一個符合要求的三角形，這樣可以畫七個符合要求的三角形，故選C. 2．B　根據(jù)圖中所示程序，可得y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝易知①錯誤；∵PQ∥x軸，∴點(diǎn)P在y＝－上，∴S△POM＝×OM×PM＝|k|＝1，同理可得S△QOM＝2，∴S△POQ＝S△POM＋S△QOM＝1＋2＝3，∴②正確；當(dāng)x＞0時，y＝，y隨x的增大而減小，∴③錯誤；設(shè)OM＝a，當(dāng)y＝a時，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－，Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則PM＝，MQ＝，則MQ＝2PM，∴④正確；當(dāng)點(diǎn)M在y軸的正半軸上由下向上運(yùn)動時，∠POQ由180°逐漸變小至0°，∴∠POQ可以等于90°，∴⑤正確． 3．∠A＝90°或∠B＝90°或∠C＝90°或∠D＝90°或AC＝BD(答案不唯一，寫出一種即可)　由已知條件AB＝DC，AD＝BC，根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，再要使ABCD是矩形，根據(jù)判定矩形的方法，只需有一個角為直角的平行四邊形即為矩形，或者對角線相等的平行四邊形是矩形，所以可添的條件為角是直角或?qū)蔷€相等． 4．答案不唯一，所填寫的數(shù)值只要滿足m2≥12即可，如4等　由于這個方程有實(shí)數(shù)根，因此Δ＝b2－4ac＝(－m)2－12＝m2－12≥0，即m2≥12. 5．解：(1)①②④ (2)α＝90°.依題意可知，△ACB旋轉(zhuǎn)90°后AC為⊙O直徑，且點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，因此∠AFE＝90°.∵AC＝8，∠BAC＝60°，∴AF＝AC＝4，EF＝4，∴S△AEF＝×4×4＝8. 6．解：(1)△HGA　△HAB (2)由(1)可知△AGC∽△HAB， ∴＝，即＝， ∴y＝. (3)由(1)知△AGC∽△HGA. ∴要使△AGH是等腰三角形，只要△AGC是等腰三角形即可． 有兩種情況，(1)CG為底，AC＝AG時，得AG＝9，此時CG等于9，(2)CG為腰，CG＝AG時，此時CG＝. 7．解：(1)證明：由折疊可知EF⊥AC，AO＝CO. ∵AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO. ∴△AOE≌△COF. ∴EO＝FO. ∴四邊形AFCE是菱形． (2)由(1)得AF＝AE＝10. 設(shè)AB＝a，BF＝b，得 a2＋b2＝100①，ab＝48②. ①＋2×②得(a＋b)2＝196，得a＋b＝14(另一負(fù)值舍去)． ∴△ABF的周長為24 cm. (3)存在，過點(diǎn)E作AD的垂線交AC于點(diǎn)P，則點(diǎn)P符合題意． 證明：∵∠AEP＝∠AOE＝90°，∠EAP＝∠OAE， ∴△AOE∽△AEP. ∴＝，得AE2＝AO·AP，即2AE2＝2AO·AP. 又AC＝2AO， ∴2AE2＝AC·AP. 8．解：(1)把點(diǎn)P代入二次函數(shù)解析式，得5＝(－2)2－2b－3，解得b＝－2. 所以二次函數(shù)解析式為y＝x2－2x－3. 當(dāng)x＝1時，y＝－4，當(dāng)x＝3時，y＝0， 所以當(dāng)1＜x≤3時，y的取值范圍為－4＜y≤0. (2)①m＝4時，y1，y2，y3的值分別為5,12,21， 由于5＋12＜21，不能成為三角形的三邊長． ②當(dāng)m取不小于5的任意實(shí)數(shù)時，由圖象知y1＜y2＜y3，y1，y2，y3的值分別為m2－2m－3，m2－4，m2＋2m－3，y1＋y2－y3＝(m2－2m－3)＋(m2－4)－(m2＋2m－3)＝m2－4m－4＝(m－2)2－8，當(dāng)m不小于5時成立，(m－2)2≥9，所以(m－2)2－8＞0，即y1＋y2＞y3成立． 所以當(dāng)m取不小于5的任意實(shí)數(shù)時，y1，y2，y3一定能作為同一個三角形三邊的長． 9．(1)解：方法一：∵B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)， ∴OB＝2. ∵矩形CDEF面積為8， ∴CF＝4. ∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,2)，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)． 設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2＋bx＋c， 其過三點(diǎn)A(0,1)，C(－2,2)，F(xiàn)(2,2)， 得 解這個方程組，得 a＝，b＝0，c＝1. ∴此拋物線的解析式為y＝x2＋1. 方法二：∵B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)， ∴OB＝2. ∵矩形CDEF面積為8， ∴CF＝4. ∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,2)． 根據(jù)題意可設(shè)拋物線解析式為y＝ax2＋c. 其過點(diǎn)A(0,1)和C(－2,2)． 得 解這個方程組，得a＝，c＝1. ∴此拋物線解析式為y＝x2＋1. (2) ①過點(diǎn)B作BN⊥PS，垂足為N. ∵P點(diǎn)在拋物線y＝x2＋1上，可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為， ∴PS＝a2＋1，OB＝NS＝2，BN＝a. ∴PN＝PS－NS＝a2－1. 在Rt△PNB中， PB2＝PN2＋BN2＝2＋a2＝2. ∴PB＝PS＝a2＋1. ②根據(jù)①同理可知BQ＝QR. ∴∠1＝∠2， 又∵∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3. 同理∠SBP＝∠5. ∴2∠5＋2∠3＝180°. ∴∠5＋∠3＝90°， ∴∠SBR＝90°. ∴△SBR為直角三角形． ③ 若以P，S，M為頂點(diǎn)的三角形與以Q，M，R為頂點(diǎn)的三角形相似， ∵∠PSM＝∠MRQ＝90°， ∴有△PSM∽△MRQ和△PSM∽△QRM兩種情況． 當(dāng)△PSM∽△MRQ時，∠SPM＝∠RMQ，∠SMP＝∠RQM. 由直角三角形兩銳角互余性質(zhì)，知∠PMS＋∠QMR＝90°， ∴∠PMQ＝90°. 取PQ中點(diǎn)為N，連接MN，則MN＝PQ＝(QR＋PS)． ∴MN為直角梯形SRQP的中位線． ∴點(diǎn)M為SR的中點(diǎn)． 當(dāng)△PSM∽△QRM時，＝＝. 又＝， ∴＝，即M點(diǎn)與點(diǎn)O重合． ∴點(diǎn)M為原點(diǎn)O. 綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M為SR的中點(diǎn)時，△PSM∽△MRQ；當(dāng)點(diǎn)M為原點(diǎn)時，△PSM∽△QRM. 8