第01課 平行四邊形的性質(zhì)與判定

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1、第01課 平行四邊形的性質(zhì)與判定 【例1】如圖，在□ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)． （1）求證：四邊形EBFD為平行四邊形； （2）對(duì)角線AC分別與DE、BF交于點(diǎn)M、N，求證：△ABN≌△CDM． 【例2】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E、F是對(duì)角線AC 上的兩點(diǎn)，∠1=∠2． （1）求證：AE=CF； （2）求證：四邊形EBFD是平行四邊形． 【例3】如圖，已知□ABCD中，E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，AE=CF，M、N?分別是DE、BF的中點(diǎn). 求證:四邊形ENFM是平行四邊形?

2、 【例4】如圖,已知四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,且AC=BD,M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，MN分別交BD、AC于點(diǎn)E、F.你能說(shuō)出OE與OF的大小關(guān)系并加以證明嗎? 【例5】如圖,已知△ABC中,AB=AC,D為△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),過(guò)D作DE∥AB，DF∥AC分別交直線AC、直線AB于點(diǎn)E、F． （1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，通過(guò)觀察分析線段DE、DF、AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由； （2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上，其它條件不變時(shí)，試猜想線段DE、DF、AB之間的數(shù) 量關(guān)系（請(qǐng)直接寫出等式

3、，不需證明）； （3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)D作DE∥AB，DF∥AC分別交直線AC、直線AB和直線BC于E、F和G．試猜想線段DE、DF、DG與AB之間的數(shù)量關(guān)系（請(qǐng)直接寫出等式，不需證明）． 課堂同步練習(xí)題 一、選擇題： 1、平行四邊形的對(duì)角線一定具有的性質(zhì)是(??? ) A.相等???? ? B.互相平分??? ?? C.互相垂直?? ???D.互相垂直且相等 2、在平行四邊形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是（　

4、 ?。? A.1：2：3：4?? B.1：2：2：1?? C.2：2：1：1?? D.2：1：2：1 3、平行四邊形是一個(gè)不穩(wěn)定的幾何圖形，現(xiàn)有一個(gè)平行四邊形的對(duì)角線長(zhǎng)是8cm和12cm，那么下列數(shù)據(jù)中符合一個(gè)平行四邊形要求的邊長(zhǎng)（　 ?。? A.2cm? B.9cm? C.10cm D.20cm 4、在平面直角坐標(biāo)系中,□ABCD的頂點(diǎn)A（0,0）,B（5,0）,D（2, 3）,則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（???? ? ） A.（3

5、，7）??????? ?? B.（5，3）????? C.（7，3）?????? ??? D.（8，2） 5、如圖,在□ABCD中,點(diǎn)E、F在AC上,且AE=CF,則圖中全等三角形共有（ ???） A.1對(duì)?? B.2對(duì)?? C.3對(duì)?? D.4對(duì) 第5題圖 第6題圖

6、 第7題圖 6、如圖,在平行四邊形ABCD中,過(guò)點(diǎn)C的直線CE⊥AB,垂足為E，若∠EAD=53°,則∠BCE度數(shù)為(??? ? ) A.53°?? B.37°?? ? C.47°?? D.123° 7、如圖,□ABCD中,E,F是對(duì)角線BD上兩點(diǎn),若添加一個(gè)條件,使△ABE≌△CDF,則添加條件不能為（　?。? A.BE=DF　 　　　B.BF=DE　　 　　C.AE=CF　　 　　D.∠1=∠2 8、如圖,點(diǎn)P為□ABCD的邊CD上一點(diǎn),若⊿PAB、⊿PCD、⊿PBC的面

7、積分別為S1、S2和S3，則它們之間的大小關(guān)系是（???? ） A.S3＝S1＋S2?????? ????? B.2S3＝S1＋S2?? C.S3＞S1＋S2??????? ???????? D.S3＜S1＋S2 ? 第8題圖 第9題圖 9、如圖,在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,若BD、AC的和為18cm,CD：DA=2：3,△AOB的周長(zhǎng)為13cm,那么BC的長(zhǎng)是（　 ?。? A.6

8、cm? B.9cm? C.3cm? D.12cm 10、平行四邊形ABCD周長(zhǎng)為2a,兩條對(duì)角線相交于O,△AOB周長(zhǎng)比△BOC周長(zhǎng)大b,則AB長(zhǎng)為（　 ?。? A.??? B. C.?? ? D. 11、如圖,在□ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F.AE=4,AF=6,且□ABCD周長(zhǎng)為30,則ABCD面積為（　?。? A.24?? B.36??

9、 C.40?? D.48 第11題圖 第12題圖 12、如圖,在□ABCD中,AB=9,AD=6,∠ADC的平分線交AB于點(diǎn)E,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,AG⊥DE,垂足為G.若AG=,則△BEF的面積是(　? 　) A.?????? ??B.?????? ?C.????? ?D. ?二、填空題： 13、平行四邊形ABCD中,∠A+∠C=100°,則

10、∠B=　　 度． 14、如圖,在□ABCO中,C在x軸上,點(diǎn)A為（2,2）,□ABCO的面積為8,則B的坐標(biāo)為? ?????? ． 第14題圖 第15題圖 第16題圖 15、如圖,平行四邊形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，得到平行四邊形AB′C′D′(點(diǎn)B′與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)C′與點(diǎn)C是對(duì)應(yīng)點(diǎn))，點(diǎn)B′恰好落在BC邊上，則∠C=???????????? ?????????? 16、如圖,直線EF過(guò)平行四邊形ABCD對(duì)

11、角線的交點(diǎn)O,分別交AB、CD于E、F,若平行四邊形的面積是12,則△AOE與△DOF的面積之和為　　 ． 17、如圖，若□ABCD的周長(zhǎng)為36cm,過(guò)點(diǎn)D分別作AB，BC邊上的高DE，DF，且DE＝4cm，DF＝5cm，□ABCD的面積為　　　　cm2． 第17題圖 第18題圖 第19題圖 18、如圖,在□ABCD中,AC=21cm,BE⊥AC于E,且BE=5cm,AD=7cm,則兩條平行線AD與BC間的距離為

12、 ． 19、如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=,AD=4，將平行四邊形ABCD沿AE翻折后,點(diǎn)B恰好與點(diǎn)C重合，則折痕AE的長(zhǎng)為________． 20、一個(gè)四邊形四條邊順次是a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，則這個(gè)四邊形是_________. 三、簡(jiǎn)答題: 21、如圖,已知平行四邊形ABCD,DE是∠ADC的角平分線,交BC于點(diǎn)E． （1）求證：CD=CE；（2）若BE=CE,∠B=80°,求∠DAE的度數(shù)． 22、如圖,已知□ABCD中,DM⊥AC于M,BN⊥AC于N.求證：四邊形DMBN為平行四邊形．

13、 23、如圖.四邊形ABCD中,AD∥BC,AE⊥AD交BD于點(diǎn)E,CF⊥BC交BD于點(diǎn)F,且AE=CF. 求證：四邊形ABCD是平行四邊形． 24、如圖,在△ABC中,AD是BC邊的中線,E是AD的中點(diǎn),過(guò)A點(diǎn)作AF∥BC交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連結(jié)CF． 求證：四邊形ADCF是平行四邊形． 25、如圖,△ABC的中線BE,CF相交于點(diǎn)G,P,Q分別是BG,CG的中點(diǎn)． （1）求證：四邊形EFPQ是平行四邊形； （2）請(qǐng)直接寫出BG與GE的數(shù)量關(guān)系

14、：? ? ?．? 平行四邊形性質(zhì)與判定 同步測(cè)試題 一、選擇題： 1、若平行四邊形中兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比為1∶2,則其中較小的內(nèi)角是(??? ? ) A.30°???????? B.45°??? ? C.60°???????? D.75° 2、四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、 BD相交于點(diǎn)O，給出下列四組條件：①∠ABC =∠ADC，AD//BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO,BO=DO；④AB//CD

15、，AD=BC，其中一定能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形的條件有（? ?? ） ??? A.4組??? ???????? B.3組??? ?????? ?? C.2組?? ???????? ? D.1組? 3、?如圖,在□ABCD中,BM是∠ABC的平分線,交CD于點(diǎn)M,且DM=2,□ABCD的周長(zhǎng)是14,則BC長(zhǎng)等于( ) A.2????????? B. 2. 5???? ????????? C.3?????????? ??? D. 3. 5

16、 第3題圖 第4題圖 第5題圖 4、如圖,在□ABCD中,BM是∠ABC的平分線交CD于點(diǎn)M,且MC=2，□ABCD周長(zhǎng)是14，則DM等于（　 　） A.1??? ? B.2? ?? ? C.3??? ?? D.4 5、四邊形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,下列條件不能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形的是(? ) A .AB∥DC,AD∥B

17、C?? B. AB=DC,AD=BC?? C .AO=CO,BO=DO??? D.AB∥DC,AD=BC????? 6、如圖,在□ABCD中,∠ODA=90°,AC=10cm,BD=6cm,則AD的長(zhǎng)為（　 　） A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm 第6題圖 第7題圖 第8題圖 7、如圖,□ABCD的對(duì)角線

18、AC,BD相交于O,EF過(guò)點(diǎn)O與AD,BC分別相交于E,F,若AB=4,BC=5,OE=1.5,那么四邊形EFCD的周長(zhǎng)為（　 　） 　?? A.16???????????????????? B.14???????????????? ?????????? C.12?????????????????? ???????? D.10 8、如圖,平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為20,AE平分∠BAD,若CE=2,則AB的長(zhǎng)度是（　 ?。? A.10???? B.8?????? C.6????

19、 ?? D.4 9、如圖,E為□ABCD外一點(diǎn),且EB⊥BC,ED⊥CD,若∠E=65°,則∠A的度數(shù)為（　 ?。? 　?? A.65°???????????????? ?? B.100°???????????????? ??????? C.115°???????????????? ??????? D.135° 　 第9題圖 第10題圖 10、如圖,已知矩形ABCD中,R、P分別是DC、BC上的點(diǎn),E、

20、F分別是AP、RP的中點(diǎn),當(dāng)P在BC上從B向C移動(dòng)而R不動(dòng)時(shí)，那么下列結(jié)論成立的是（　 ?。? 　?? A.線段EF的長(zhǎng)逐漸增大???????????????????????????? B.線段EF的長(zhǎng)逐漸減小 　?? C.線段EF的長(zhǎng)不改變??????????????????????????????? D.線段EF的長(zhǎng)不能確定 二、填空題: 11、如圖，將□ABCD的一邊BC延長(zhǎng)至E，若∠A=110°，則∠1=　　 ． 第11題圖 第12題圖

21、 第13題圖 12、如圖，□ABCD中，AE平分∠DAB，∠B=100°，則∠DAE等于　　　　　?。? 13、如圖，在□ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O．如果AC＝8，BD＝14，AB＝x，那么x的取值范圍是______________． 14、如圖，在□ABCD中，BM是∠ABC的平分線交CD于點(diǎn)M，且MC=2，平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是14，則DM等于　　　　　?。? 第14題圖 第15題圖 第16題圖 1

22、5、?如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在BC上,BD=AB，BM⊥AD于點(diǎn)M,N是AC的中點(diǎn),連接MN.若AB=5,BC=8,則MN=??????????? ．? 16、如圖,DE為△ABC的中位線,點(diǎn)F在DE上,且∠AFB＝90°,若AB=5,BC=8,則EF的長(zhǎng)為??????????? ． 17、如圖，BD是□ABCD的一條對(duì)角線，AE⊥BD，CF⊥BD，試猜想AE和CF的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)稱的猜想進(jìn)行證明． 18、如圖,在□ABCD中,AE⊥BC于E,在AD邊上取一點(diǎn)G,使GD=AB,過(guò)點(diǎn)G作GF⊥CD于點(diǎn)F. 求證：AE=GF． 19、如圖,已知△ABC是等邊三角形,點(diǎn)D

23、、F分別在線段BC、AB上,∠EFB=60°,DC=EF． (1)求證：四邊形EFCD是平行四邊形； (2)若BF=EF，求證：AE=AD． 參考答案 例題答案詳解 【例1】試題解析：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD，∵E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，∴BE=DF，∵BE∥DF，∴四邊形EBFD為平行四邊形； （2）∵四邊形EBFD為平行四邊形，∴DE∥BF，∴∠CDM=∠CFN，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD．∴∠BAC=∠DCA，∠ABN=∠CFN，∴∠ABN=∠CDM，在△ABN與△CDM中，∵∠BAN=∠DCM

24、，AB=CD，∠ABN=∠CDM，∴△ABN≌△CDM? （ASA）． 【例2】略 【例3】略； 【例4】OE=OF； 【例5】【解答】解：（1）DE+DF=AB．理由如下： 如圖1．∵DE∥AB，DF∥AC，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴DE=AF． ∵DF∥AC，∴∠FDB=∠C，∵AB=AC，∴∠C=∠B，∴∠FDB=∠B，∴DF=FB， ∴DE+DF=AF+FB=AB； ?（2）當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上時(shí)，分三種情況： ①當(dāng)點(diǎn)D在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2①，AB=DE﹣DF；????????????????????????? ②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，如圖1，AB=DE

25、+DF； ③當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2②，AB=DF﹣DE；??????????????????????????? ?（3）如圖3，AB=DE+DG+DF． 課堂同步參考答案 1、B 2、D 3、B 4、C 5、C 6、B 7、C．8、A 9、A 10、B 11、B 12、B 13、　130　度． 14、（6，2）????? 15、105_度． 16、　3?。?7、40　　18、15cm． 19、3． 20、平行四邊形； 21、【解答】（1）證明：如圖，在平行四邊形ABCD中， ∵AD∥BC∴∠1=∠3又

26、∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴CD=CE； （2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD∥BC， 又∵CD=CE，BE=CE，∴AB=BE，∴∠BAE=∠BEA． ∵∠B=80°，∴∠BAE=50°，∴∠DAE=180°﹣50°﹣80°=50°． 22、【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠DAM=∠BCN， ∵DM⊥AC，BN⊥AC，∴DM∥BN，∠AMD=∠CNB=90°， 在△ADM和△CBN中，，∴△ADM≌△CBN（AAS），∴DM=BN， ∴四邊形DMBN為平行四邊形． 23、【解答】證明：∵AE⊥AD，CF⊥B

27、C，∴∠EAD=∠FCB=90°， ∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF， 在Rt△AED和Rt△CFB中，∵， ∴Rt△AED≌Rt△CFB（AAS），∴AD=BC， ∵AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形． 24、【解答】證明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠EBD．? 在△AEF和△DEB中∵，∴△AEF≌△DEB（AAS）．?????????? ∴AF=BD．??∴AF=DC．又∵AF∥BC，∴四邊形ADCF為平行四邊形． 25、（1）證明：∵BE，CF是△ABC的中線， ∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥BC且EF=BC． ∵P，Q分別是BG，CG的中點(diǎn)，∴P

28、Q是△BCG的中位線，∴PQ∥BC且PQ=BC， ∴EF∥PQ且EF=PQ．∴四邊形EFPQ是平行四邊形． ? （2）BG=2GE． 同步測(cè)試題參考答案 1、C 2、C 3、B 4、C； 5、D? 6、A 7、C 8、D 9、C 10、C 11、故答案為：70°．12、答案為：40°．13、x大于3且小于11? 14、答案為：3．15、1.5； 16、1.5； 17、【解答】解：CF=AE，理由：∵四邊形ABCD平行四邊形， ∴AD=BC，AB∥DC，∴∠ABE=∠DCF， ∵CF⊥BD，AE⊥BD，∴∠DEA=∠AFC=90°， 在△AED和△CFB中

29、∵，∴△AED≌△CFB（AAS），∴CF=AE． 18、證明：在ABCD中，∠B=∠D，GD=AB，AE⊥BC，GF⊥CD， ∴△ABE≌△GDF．∴AE=GF． 19、(1)∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°. ∵∠EFB=60°，∴∠ABC=∠EFB.∴EF∥DC(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行). ∵DC=EF，∴四邊形EFCD是平行四邊形. (2)連接BE.∵BF=EF，∠EFB=60°，∴△EFB是等邊三角形.∴EB=EF，∠EBF=60°. ∵DC=EF，∴EB=DC.∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，AB=AC. ∴∠EBF=∠ACB.∴△AEB≌△ADC(SAS).∴AE=AD.