第01課 平行四邊形的性質(zhì)與判定

第01課 平行四邊形的性質(zhì)與判定 【例1】如圖，在□ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點． （1）求證：四邊形EBFD為平行四邊形； （2）對角線AC分別與DE、BF交于點M、N，求證：△ABN≌△CDM． 【例2】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E、F是對角線AC 上的兩點，∠1=∠2． （1）求證：AE=CF； （2）求證：四邊形EBFD是平行四邊形． 【例3】如圖，已知□ABCD中，E、F分別是AB、CD上的點，AE=CF，M、N 分別是DE、BF的中點. 求證:四邊形ENFM是平行四邊形? 【例4】如圖,已知四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O,且AC=BD,M、N分別是AB、CD的中點，MN分別交BD、AC于點E、F.你能說出OE與OF的大小關(guān)系并加以證明嗎? 【例5】如圖,已知△ABC中,AB=AC,D為△ABC所在平面內(nèi)的一點,過D作DE∥AB，DF∥AC分別交直線AC、直線AB于點E、F． （1）如圖1，當(dāng)點D在線段BC上時，通過觀察分析線段DE、DF、AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； （2）如圖2，當(dāng)點D在直線BC上，其它條件不變時，試猜想線段DE、DF、AB之間的數(shù) 量關(guān)系（請直接寫出等式，不需證明）； （3）如圖3，當(dāng)點D是△ABC內(nèi)一點，過D作DE∥AB，DF∥AC分別交直線AC、直線AB和直線BC于E、F和G．試猜想線段DE、DF、DG與AB之間的數(shù)量關(guān)系（請直接寫出等式，不需證明）． 課堂同步練習(xí)題 一、選擇題： 1、平行四邊形的對角線一定具有的性質(zhì)是(    ) A.相等       B.互相平分       C.互相垂直      D.互相垂直且相等 2、在平行四邊形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是（　 　） A.1：2：3：4   B.1：2：2：1   C.2：2：1：1   D.2：1：2：1 3、平行四邊形是一個不穩(wěn)定的幾何圖形，現(xiàn)有一個平行四邊形的對角線長是8cm和12cm，那么下列數(shù)據(jù)中符合一個平行四邊形要求的邊長（　 　） A.2cm  B.9cm  C.10cm D.20cm 4、在平面直角坐標(biāo)系中,□ABCD的頂點A（0,0）,B（5,0）,D（2, 3）,則頂點C的坐標(biāo)是（       ） A.（3，7）           B.（5，3）      C.（7，3）           D.（8，2） 5、如圖,在□ABCD中,點E、F在AC上,且AE=CF,則圖中全等三角形共有（    ） A.1對   B.2對   C.3對   D.4對 第5題圖 第6題圖 第7題圖 6、如圖,在平行四邊形ABCD中,過點C的直線CE⊥AB,垂足為E，若∠EAD=53°,則∠BCE度數(shù)為(      ) A.53°   B.37°     C.47°   D.123° 7、如圖,□ABCD中,E,F是對角線BD上兩點,若添加一個條件,使△ABE≌△CDF,則添加條件不能為（　　） A.BE=DF　 　　　B.BF=DE　　 　　C.AE=CF　　 　　D.∠1=∠2 8、如圖,點P為□ABCD的邊CD上一點,若⊿PAB、⊿PCD、⊿PBC的面積分別為S1、S2和S3，則它們之間的大小關(guān)系是（     ） A.S3＝S1＋S2             B.2S3＝S1＋S2   C.S3＞S1＋S2                 D.S3＜S1＋S2   第8題圖 第9題圖 9、如圖,在平行四邊形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,若BD、AC的和為18cm,CD：DA=2：3,△AOB的周長為13cm,那么BC的長是（　 　） A.6cm  B.9cm  C.3cm  D.12cm 10、平行四邊形ABCD周長為2a,兩條對角線相交于O,△AOB周長比△BOC周長大b,則AB長為（　 ?。? A.    B. C.     D. 11、如圖,在□ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F.AE=4,AF=6,且□ABCD周長為30,則ABCD面積為（　?。? A.24   B.36   C.40   D.48 第11題圖 第12題圖 12、如圖,在□ABCD中,AB=9,AD=6,∠ADC的平分線交AB于點E,交CB的延長線于點F,AG⊥DE,垂足為G.若AG=,則△BEF的面積是(　  　) A.         B.        C.       D.  二、填空題： 13、平行四邊形ABCD中,∠A+∠C=100°,則∠B=　　 度． 14、如圖,在□ABCO中,C在x軸上,點A為（2,2）,□ABCO的面積為8,則B的坐標(biāo)為         ． 第14題圖 第15題圖 第16題圖 15、如圖,平行四邊形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°，得到平行四邊形AB′C′D′(點B′與點B是對應(yīng)點，點C′與點C是對應(yīng)點)，點B′恰好落在BC邊上，則∠C=                        16、如圖,直線EF過平行四邊形ABCD對角線的交點O,分別交AB、CD于E、F,若平行四邊形的面積是12,則△AOE與△DOF的面積之和為　　 ． 17、如圖，若□ABCD的周長為36cm,過點D分別作AB，BC邊上的高DE，DF，且DE＝4cm，DF＝5cm，□ABCD的面積為　　　　cm2． 第17題圖 第18題圖 第19題圖 18、如圖,在□ABCD中,AC=21cm,BE⊥AC于E,且BE=5cm,AD=7cm,則兩條平行線AD與BC間的距離為 ． 19、如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=,AD=4，將平行四邊形ABCD沿AE翻折后,點B恰好與點C重合，則折痕AE的長為________． 20、一個四邊形四條邊順次是a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，則這個四邊形是_________. 三、簡答題: 21、如圖,已知平行四邊形ABCD,DE是∠ADC的角平分線,交BC于點E． （1）求證：CD=CE；（2）若BE=CE,∠B=80°,求∠DAE的度數(shù)． 22、如圖,已知□ABCD中,DM⊥AC于M,BN⊥AC于N.求證：四邊形DMBN為平行四邊形． 23、如圖.四邊形ABCD中,AD∥BC,AE⊥AD交BD于點E,CF⊥BC交BD于點F,且AE=CF. 求證：四邊形ABCD是平行四邊形． 24、如圖,在△ABC中,AD是BC邊的中線,E是AD的中點,過A點作AF∥BC交BE的延長線于點F,連結(jié)CF． 求證：四邊形ADCF是平行四邊形． 25、如圖,△ABC的中線BE,CF相交于點G,P,Q分別是BG,CG的中點． （1）求證：四邊形EFPQ是平行四邊形； （2）請直接寫出BG與GE的數(shù)量關(guān)系：     ．  平行四邊形性質(zhì)與判定 同步測試題 一、選擇題： 1、若平行四邊形中兩個內(nèi)角的度數(shù)比為1∶2,則其中較小的內(nèi)角是(      ) A.30°         B.45°      C.60°         D.75° 2、四邊形ABCD中，對角線AC、 BD相交于點O，給出下列四組條件：①∠ABC =∠ADC，AD//BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO,BO=DO；④AB//CD，AD=BC，其中一定能判定這個四邊形是平行四邊形的條件有（     ）     A.4組             B.3組              C.2組              D.1組  3、 如圖,在□ABCD中,BM是∠ABC的平分線,交CD于點M,且DM=2,□ABCD的周長是14,則BC長等于( ) A.2          B. 2. 5               C.3               D. 3. 5 第3題圖 第4題圖 第5題圖 4、如圖,在□ABCD中,BM是∠ABC的平分線交CD于點M,且MC=2，□ABCD周長是14，則DM等于（　 ?。? A.1      B.2       C.3       D.4 5、四邊形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,下列條件不能判定這個四邊形是平行四邊形的是(  ) A .AB∥DC,AD∥BC   B. AB=DC,AD=BC   C .AO=CO,BO=DO    D.AB∥DC,AD=BC      6、如圖,在□ABCD中,∠ODA=90°,AC=10cm,BD=6cm,則AD的長為（　 ?。? A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm 第6題圖 第7題圖 第8題圖 7、如圖,□ABCD的對角線AC,BD相交于O,EF過點O與AD,BC分別相交于E,F,若AB=4,BC=5,OE=1.5,那么四邊形EFCD的周長為（　 ?。? 　   A.16                     B.14                            C.12                            D.10 8、如圖,平行四邊形ABCD的周長為20,AE平分∠BAD,若CE=2,則AB的長度是（　 ?。? A.10     B.8       C.6        D.4 9、如圖,E為□ABCD外一點,且EB⊥BC,ED⊥CD,若∠E=65°,則∠A的度數(shù)為（　 ?。? 　   A.65°                    B.100°                         C.115°                         D.135° 　 第9題圖 第10題圖 10、如圖,已知矩形ABCD中,R、P分別是DC、BC上的點,E、F分別是AP、RP的中點,當(dāng)P在BC上從B向C移動而R不動時，那么下列結(jié)論成立的是（　 ?。? 　   A.線段EF的長逐漸增大                             B.線段EF的長逐漸減小 　   C.線段EF的長不改變                                D.線段EF的長不能確定 二、填空題: 11、如圖，將□ABCD的一邊BC延長至E，若∠A=110°，則∠1=　　 ． 第11題圖 第12題圖 第13題圖 12、如圖，□ABCD中，AE平分∠DAB，∠B=100°，則∠DAE等于　　　　　?。? 13、如圖，在□ABCD中，對角線AC、BD相交于點O．如果AC＝8，BD＝14，AB＝x，那么x的取值范圍是______________． 14、如圖，在□ABCD中，BM是∠ABC的平分線交CD于點M，且MC=2，平行四邊形ABCD的周長是14，則DM等于　　　　　　． 第14題圖 第15題圖 第16題圖 15、 如圖,在△ABC中,點D在BC上,BD=AB，BM⊥AD于點M,N是AC的中點,連接MN.若AB=5,BC=8,則MN=            ．  16、如圖,DE為△ABC的中位線,點F在DE上,且∠AFB＝90°,若AB=5,BC=8,則EF的長為            ． 17、如圖，BD是□ABCD的一條對角線，AE⊥BD，CF⊥BD，試猜想AE和CF的數(shù)量關(guān)系，并對稱的猜想進行證明． 18、如圖,在□ABCD中,AE⊥BC于E,在AD邊上取一點G,使GD=AB,過點G作GF⊥CD于點F. 求證：AE=GF． 19、如圖,已知△ABC是等邊三角形,點D、F分別在線段BC、AB上,∠EFB=60°,DC=EF． (1)求證：四邊形EFCD是平行四邊形； (2)若BF=EF，求證：AE=AD． 參考答案 例題答案詳解 【例1】試題解析：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD，∵E、F分別是AB、CD的中點，∴BE=DF，∵BE∥DF，∴四邊形EBFD為平行四邊形； （2）∵四邊形EBFD為平行四邊形，∴DE∥BF，∴∠CDM=∠CFN，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD．∴∠BAC=∠DCA，∠ABN=∠CFN，∴∠ABN=∠CDM，在△ABN與△CDM中，∵∠BAN=∠DCM，AB=CD，∠ABN=∠CDM，∴△ABN≌△CDM  （ASA）． 【例2】略 【例3】略； 【例4】OE=OF； 【例5】【解答】解：（1）DE+DF=AB．理由如下： 如圖1．∵DE∥AB，DF∥AC，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴DE=AF． ∵DF∥AC，∴∠FDB=∠C，∵AB=AC，∴∠C=∠B，∴∠FDB=∠B，∴DF=FB， ∴DE+DF=AF+FB=AB；  （2）當(dāng)點D在直線BC上時，分三種情況： ①當(dāng)點D在CB延長線上時，如圖2①，AB=DE﹣DF；                          ②當(dāng)點D在線段BC上時，如圖1，AB=DE+DF； ③當(dāng)點D在BC的延長線上時，如圖2②，AB=DF﹣DE；                             （3）如圖3，AB=DE+DG+DF． 課堂同步參考答案 1、B 2、D 3、B 4、C 5、C 6、B 7、C．8、A 9、A 10、B 11、B 12、B 13、　130　度． 14、（6，2）      15、105_度． 16、　3　．17、40　　18、15cm． 19、3． 20、平行四邊形； 21、【解答】（1）證明：如圖，在平行四邊形ABCD中， ∵AD∥BC∴∠1=∠3又∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴CD=CE； （2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD∥BC， 又∵CD=CE，BE=CE，∴AB=BE，∴∠BAE=∠BEA． ∵∠B=80°，∴∠BAE=50°，∴∠DAE=180°﹣50°﹣80°=50°． 22、【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠DAM=∠BCN， ∵DM⊥AC，BN⊥AC，∴DM∥BN，∠AMD=∠CNB=90°， 在△ADM和△CBN中，，∴△ADM≌△CBN（AAS），∴DM=BN， ∴四邊形DMBN為平行四邊形． 23、【解答】證明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，∴∠EAD=∠FCB=90°， ∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF， 在Rt△AED和Rt△CFB中，∵， ∴Rt△AED≌Rt△CFB（AAS），∴AD=BC， ∵AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形． 24、【解答】證明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠EBD．  在△AEF和△DEB中∵，∴△AEF≌△DEB（AAS）．           ∴AF=BD．  ∴AF=DC．又∵AF∥BC，∴四邊形ADCF為平行四邊形． 25、（1）證明：∵BE，CF是△ABC的中線， ∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥BC且EF=BC． ∵P，Q分別是BG，CG的中點，∴PQ是△BCG的中位線，∴PQ∥BC且PQ=BC， ∴EF∥PQ且EF=PQ．∴四邊形EFPQ是平行四邊形．   （2）BG=2GE． 同步測試題參考答案 1、C 2、C 3、B 4、C； 5、D  6、A 7、C 8、D 9、C 10、C 11、故答案為：70°．12、答案為：40°．13、x大于3且小于11  14、答案為：3．15、1.5； 16、1.5； 17、【解答】解：CF=AE，理由：∵四邊形ABCD平行四邊形， ∴AD=BC，AB∥DC，∴∠ABE=∠DCF， ∵CF⊥BD，AE⊥BD，∴∠DEA=∠AFC=90°， 在△AED和△CFB中∵，∴△AED≌△CFB（AAS），∴CF=AE． 18、證明：在ABCD中，∠B=∠D，GD=AB，AE⊥BC，GF⊥CD， ∴△ABE≌△GDF．∴AE=GF． 19、(1)∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°. ∵∠EFB=60°，∴∠ABC=∠EFB.∴EF∥DC(內(nèi)錯角相等，兩直線平行). ∵DC=EF，∴四邊形EFCD是平行四邊形. (2)連接BE.∵BF=EF，∠EFB=60°，∴△EFB是等邊三角形.∴EB=EF，∠EBF=60°. ∵DC=EF，∴EB=DC.∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，AB=AC. ∴∠EBF=∠ACB.∴△AEB≌△ADC(SAS).∴AE=AD.