考研數(shù)學(xué)線(xiàn)代定理公式總結(jié)

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1、概念、性質(zhì)、定理、公式必須清晰，解法必須純熟，計(jì)算必須精確 　　 ：全體維實(shí)向量構(gòu)成的集合叫做維向量空間. 　 √ 有關(guān)： ①稱(chēng)為的原則基,中的自然基，單位坐標(biāo)向量； ②線(xiàn)性無(wú)關(guān)； ③； ④; ⑤任意一種維向量都可以用線(xiàn)性表達(dá)． 行列式的定義 √ 行列式的計(jì)算: ①行列式按行(列)展開(kāi)定理:行列式等于它的任一行(列）的各元素與其相應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和． 推論:行列式某一行(列）的元素與另一行(列)的相應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零. ②若都是方陣（不必同階）,則(拉普拉斯展開(kāi)式) ③上三角、下三角、主對(duì)角行列式等于主對(duì)角線(xiàn)上元素的乘積． ④有

2、關(guān)副對(duì)角線(xiàn)：　(即：所有取自不同行不同列的個(gè)元素的乘積的代數(shù)和) ⑤范德蒙德行列式： 矩陣的定義 由個(gè)數(shù)排成的行列的表稱(chēng)為矩陣.記作:或 隨著矩陣　,為中各個(gè)元素的代數(shù)余子式． √　逆矩陣的求法: ①　　 　 　 : 　 　　 ② ③ 　 　 　 　 √ 方陣的冪的性質(zhì)：　 √ 設(shè)的列向量為，的列向量為， 則 ,為的解可由線(xiàn)性表達(dá).即:的列向量能由的列向量線(xiàn)性表達(dá),為系數(shù)矩陣． 同理：的行向量能由的行向量線(xiàn)性表達(dá)，為系數(shù)矩陣. 即: √ 用對(duì)角矩陣乘一種矩陣,相稱(chēng)于用的對(duì)角線(xiàn)上的各元素依次乘此矩陣的向量； 用對(duì)角矩陣乘一種矩陣,相稱(chēng)

3、于用的對(duì)角線(xiàn)上的各元素依次乘此矩陣的向量. √ 兩個(gè)同階對(duì)角矩陣相乘只用把對(duì)角線(xiàn)上的相應(yīng)元素相乘． √ 分塊矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣: 分塊矩陣的逆矩陣: 　　 　 　 　 分塊對(duì)角陣相乘:, 分塊對(duì)角陣的隨著矩陣: 　　 　　 √ 矩陣方程的解法()：設(shè)法化成 　　 　　　 　 　　 　 　 　 　 　 　 ① 零向量是任何向量的線(xiàn)性組合,零向量與任何同維實(shí)向量正交． ② 單個(gè)零向量線(xiàn)性有關(guān)；單個(gè)非零向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)． ③ 部分有關(guān),整體必有關(guān);整體無(wú)關(guān),部分必?zé)o關(guān). ?。ㄏ蛄總€(gè)數(shù)變

4、動(dòng)） ④ 原向量組無(wú)關(guān),接長(zhǎng)向量組無(wú)關(guān)；接長(zhǎng)向量組有關(guān),原向量組有關(guān). （向量維數(shù)變動(dòng)） ⑤ 兩個(gè)向量線(xiàn)性有關(guān)相應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)． ⑥ 向量組中任歷來(lái)量≤≤都是此向量組的線(xiàn)性組合． ⑦ 向量組線(xiàn)性有關(guān)向量組中至少有一種向量可由其他個(gè)向量線(xiàn)性表達(dá)． 向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)向量組中每一種向量都不能由其他個(gè)向量線(xiàn)性表達(dá). ⑧ 維列向量組線(xiàn)性有關(guān); 維列向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān). ⑨ 若線(xiàn)性無(wú)關(guān),而線(xiàn)性有關(guān)，則可由線(xiàn)性表達(dá),且表達(dá)法唯一. ⑩ 矩陣的行向量組的秩列向量組的秩矩陣的秩．　行階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個(gè)數(shù). 行階梯形矩陣 可畫(huà)出一條階梯線(xiàn),線(xiàn)的下方

5、全為；每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線(xiàn)的豎線(xiàn)背面的第一種元素非零.當(dāng)非零行的第一種非零元為1,且這些非零元所在列的其她元素都是時(shí),稱(chēng)為行最簡(jiǎn)形矩陣 ? 矩陣的行初等變換不變化矩陣的秩,且不變化列向量間的線(xiàn)性關(guān)系; 　 矩陣的列初等變換不變化矩陣的秩,且不變化行向量間的線(xiàn)性關(guān)系. 即：矩陣的初等變換不變化矩陣的秩. √ 矩陣的初等變換和初等矩陣的關(guān)系: 對(duì)施行一次初等變換得到的矩陣，等于用相應(yīng)的初等矩陣乘; 對(duì)施行一次初等變換得到的矩陣，等于用相應(yīng)的初等矩陣乘． 矩陣的秩　如果矩陣存在不為零的階子式，且任意階子式均為零，則稱(chēng)矩陣的秩為．記作 向量組的秩 向

6、量組的極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)，稱(chēng)為這個(gè)向量組的秩．記作 　　 矩陣等價(jià)　通過(guò)有限次初等變換化為. 記作： 向量組等價(jià)　和可以互相線(xiàn)性表達(dá). 記作: ? 矩陣與等價(jià)，可逆作為向量組等價(jià),即：秩相等的向量組不一定等價(jià)． 矩陣與作為向量組等價(jià) 矩陣與等價(jià). ? 向量組可由向量組線(xiàn)性表達(dá)有解≤． ? 向量組可由向量組線(xiàn)性表達(dá),且,則線(xiàn)性有關(guān). 向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān),且可由線(xiàn)性表達(dá)，則≤． ? 向量組可由向量組線(xiàn)性表達(dá),且,則兩向量組等價(jià)； ? 任歷來(lái)量組和它的極大無(wú)關(guān)組等價(jià).向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià)． ? 向量組的極大無(wú)關(guān)組不唯一,但極大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)唯一擬定. ?

7、若兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組等價(jià)，則它們涉及的向量個(gè)數(shù)相等. ? 設(shè)是矩陣,若，的行向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)； 　　　 　 若,的列向量線(xiàn)性無(wú)關(guān),即：線(xiàn)性無(wú)關(guān). √ 矩陣的秩的性質(zhì): 　 　 　 　 　 ①≥　　 　 　 　 ≤≤ ② 　 　 　 ③ 　 　　④ 　 　 　 　　 ?、荨? ⑥ 　 　即:可逆矩陣不影響矩陣的秩. ⑦若； 若 ⑧等價(jià)原則型. ⑨≤ 　 　≤≤ ⑩ 　 　 　　 　　 ： 線(xiàn)性方程組的矩陣式 　 　 　

8、　 　 　 向量式 　 　 　 　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì): 矩陣可逆的性質(zhì): 隨著矩陣的性質(zhì): （無(wú)條件恒成立） 線(xiàn)性方程組解的性質(zhì): √ 設(shè)為矩陣,若一定有解， 　　　 　　當(dāng)時(shí),一定不是唯一解，則該向量組線(xiàn)性有關(guān)． 　 是的上限. √ 判斷是的基本解系的條件： 　

9、 　 　 ① 線(xiàn)性無(wú)關(guān)； 　 　 　 ?、凇《际堑慕? ③ . √　一種齊次線(xiàn)性方程組的基本解系不唯一. √ 若是的一種解,是的一種解線(xiàn)性無(wú)關(guān) √ 與同解（列向量個(gè)數(shù)相似),則： ① 它們的極大無(wú)關(guān)組相相應(yīng)，從而秩相等; 　 ②　它們相應(yīng)的部分組有同樣的線(xiàn)性有關(guān)性; ?、?它們有相似的內(nèi)在線(xiàn)性關(guān)系． √ 兩個(gè)齊次線(xiàn)性線(xiàn)性方程組與同解． √ 兩個(gè)非齊次線(xiàn)性方程組與均有解，并且同解. √　矩陣與的行向量組等價(jià)齊次方程組與同解(左乘可逆矩陣)； 矩陣與的列向量組等價(jià)（右乘可逆矩陣）. √ 有關(guān)公共解的三中解決措施: ① 把(I)與(

10、II)聯(lián)立起來(lái)求解； ② 通過(guò)（I)與(II)各自的通解,找出公共解； 當(dāng)(I)與(II)都是齊次線(xiàn)性方程組時(shí),設(shè)是(I)的基本解系, 是(ＩＩ)的基本解系，則 (Ｉ)與(II）有公共解基本解系個(gè)數(shù)少的通解可由另一種方程組的基本解系線(xiàn)性表達(dá)． 即： 當(dāng)（I)與(II）都是非齊次線(xiàn)性方程組時(shí)，設(shè)是(I)的通解，是(IＩ）的通解，兩方程組有公共解可由線(xiàn)性表達(dá). 即： ③ 設(shè)(Ｉ)的通解已知,把該通解代入(ＩＩ）中，找出(Ｉ)的通解中的任意常數(shù)所應(yīng)滿(mǎn)足(II)的關(guān)系式而求出公共解。 原則正交基　個(gè)維線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量，兩兩正交,每個(gè)向量長(zhǎng)度為1. 向量與的內(nèi)積 ?。? 記為：

11、向量的長(zhǎng)度 是單位向量 ． 即長(zhǎng)度為的向量． √ 內(nèi)積的性質(zhì)： ① 正定性： 　　　 ?、凇?duì)稱(chēng)性： ③ 雙線(xiàn)性： 　 　　 　 　　　　 　 　 　 的特性矩陣 . 的特性多項(xiàng)式 　. √ 是矩陣的特性多項(xiàng)式 的特性方程　 . 　 　 √ 　 　 ,稱(chēng)為矩陣的跡. √　上三角陣、下三角陣、對(duì)角陣的特性值就是主對(duì)角線(xiàn)上的各元素. √ 若,則為的特性值,且的基本解系即為屬于的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特性向量. √ 一定可分解為＝、,從而的特性值為：,　 　 　?。? 為各行的公比,為各列的

12、公比. √ 若的所有特性值，是多項(xiàng)式,則: ① 若滿(mǎn)足的任何一種特性值必滿(mǎn)足 ②的所有特性值為;. √ 初等矩陣的性質(zhì): √ 設(shè),對(duì)階矩陣規(guī)定：為的一種多項(xiàng)式. √ √ √ 的特性向量不一定是的特性向量. √ 與有相似的特性值，但特性向量不一定相似. 與相似　 (為可逆矩陣） 　記為： 與正交相似 　 (為正交矩陣） 可以相似對(duì)角化 與對(duì)角陣相似. 　記為： （稱(chēng)是的相似原則形） √ 可相似對(duì)角化 　為的重?cái)?shù)恰有個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特性向量．　這時(shí)，為的特性向量拼成的矩陣，為對(duì)角陣,

13、主對(duì)角線(xiàn)上的元素為的特性值.設(shè)為相應(yīng)于的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特性向量,則有： . ：當(dāng)為的重的特性值時(shí),可相似對(duì)角化的重?cái)?shù) 基本解系的個(gè)數(shù). √ 若階矩陣有個(gè)互異的特性值可相似對(duì)角化. √ 若可相似對(duì)角化,則其非零特性值的個(gè)數(shù)(重根反復(fù)計(jì)算). √ 若=, √ 相似矩陣的性質(zhì): ①,從而有相似的特性值，但特性向量不一定相似． 是有關(guān)的特性向量,是有關(guān)的特性向量． ② ③ 　 從而同步可逆或不可逆 ④ ⑤; ?。ㄈ艟赡妫? ⑥ 　(為整數(shù)）;, ⑦ 　　 　 　 　　　 前四個(gè)都是必要條件. √ 數(shù)量矩陣只與自己相似. √ 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的性

14、質(zhì)： ① 特性值全是實(shí)數(shù),特性向量是實(shí)向量; ② 不同特性值相應(yīng)的特性向量必然正交； 　 :對(duì)于一般方陣,不同特性值相應(yīng)的特性向量線(xiàn)性無(wú)關(guān); ③一定有個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特性向量. 若有重的特性值,該特性值的重?cái)?shù)＝; ④必可用正交矩陣相似對(duì)角化,即:任一實(shí)二次型可經(jīng)正交變換化為原則形; ⑤與對(duì)角矩陣合同，即：任一實(shí)二次型可經(jīng)可逆線(xiàn)性變換化為原則形; ⑥兩個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣相似有相似的特性值. 正交矩陣 √ 為正交矩陣的個(gè)行(列）向量構(gòu)成的一組原則正交基. √ 正交矩陣的性質(zhì):① ; ② ; ③ 正交陣的行列式等于１或-１； ④　是正交陣,則，也是正交陣； ⑤　兩個(gè)正交陣之

15、積仍是正交陣; ⑥ 的行（列)向量都是單位正交向量組． 二次型 　 ，即為對(duì)稱(chēng)矩陣， 與合同 ．　 　　記作: (） 正慣性指數(shù) 二次型的規(guī)范形中正項(xiàng)項(xiàng)數(shù)　　 負(fù)慣性指數(shù)二次型的規(guī)范形中負(fù)項(xiàng)項(xiàng)數(shù) 符號(hào)差 　 （為二次型的秩) √ 兩個(gè)矩陣合同它們有相似的正負(fù)慣性指數(shù)她們的秩與正慣性指數(shù)分別相等． √　兩個(gè)矩陣合同的充足條件是: √ 兩個(gè)矩陣合同的必要條件是： √　通過(guò)化為原則形. √ 二次型的原則形不是唯一的，與所作的正交變換有關(guān),但非零系數(shù)的個(gè)數(shù)是由　唯一擬定的. √ 當(dāng)原則形中的系數(shù)為-１或０或1時(shí),稱(chēng)為二次型的規(guī)范形?。? √ 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的正(負(fù))慣

16、性指數(shù)等于它的正(負(fù)）特性值的個(gè)數(shù). √　慣性定理:任一實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣與唯一對(duì)角陣合同. √ 用正交變換化二次型為原則形: ① 求出的特性值、特性向量; ② 對(duì)個(gè)特性向量正交規(guī)范化; ③ 構(gòu)造（正交矩陣)，作變換,則 ④ 新的二次型為,的主對(duì)角上的元素即為的特性值． 施密特正交規(guī)范化 線(xiàn)性無(wú)關(guān), 　　 　 　 　　 　 　 　　 　　單位化:　 　　 　技巧:取正交的基本解系，跳過(guò)施密特正交化。讓第二個(gè)解向量先與第一種解向量正交,再把第二個(gè)解向量代入方程，擬定其自由變量． 　 　 　例如：取，. 正定二次型　 不全為零，. 正定矩陣 正定二次型相應(yīng)的矩陣. √　為正定二次型(之一成立）： ① 　，； ② 的特性值全不小于； ③ 的正慣性指數(shù)為; ④ 的所有順序主子式全不小于； ⑤ 與合同,即存在可逆矩陣使得; ⑥ 存在可逆矩陣,使得; ⑦ 存在正交矩陣，使得 (不小于). ⑧ 合同變換不變化二次型的正定性. √ 為正定矩陣 ; ． √ 為正定矩陣也是正定矩陣. √ 與合同,若為正定矩陣為正定矩陣 √ 為正定矩陣為正定矩陣,但不一定為正定矩陣．