考研數(shù)學線代定理公式總結(jié)

概念、性質(zhì)、定理、公式必須清晰，解法必須純熟，計算必須精確 　　 ：全體維實向量構(gòu)成的集合叫做維向量空間. 　 √ 有關(guān)： ①稱為的原則基,中的自然基，單位坐標向量； ②線性無關(guān)； ③； ④; ⑤任意一種維向量都可以用線性表達． 行列式的定義 √ 行列式的計算: ①行列式按行(列)展開定理:行列式等于它的任一行(列）的各元素與其相應的代數(shù)余子式的乘積之和． 推論:行列式某一行(列）的元素與另一行(列)的相應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零. ②若都是方陣（不必同階）,則(拉普拉斯展開式) ③上三角、下三角、主對角行列式等于主對角線上元素的乘積． ④有關(guān)副對角線：　(即：所有取自不同行不同列的個元素的乘積的代數(shù)和) ⑤范德蒙德行列式： 矩陣的定義 由個數(shù)排成的行列的表稱為矩陣.記作:或 隨著矩陣　,為中各個元素的代數(shù)余子式． √　逆矩陣的求法: ①　　 　 　 : 　 　　 ② ③ 　 　 　 　 √ 方陣的冪的性質(zhì)：　 √ 設的列向量為，的列向量為， 則 ,為的解可由線性表達.即:的列向量能由的列向量線性表達,為系數(shù)矩陣． 同理：的行向量能由的行向量線性表達，為系數(shù)矩陣. 即: √ 用對角矩陣乘一種矩陣,相稱于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的向量； 用對角矩陣乘一種矩陣,相稱于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的向量. √ 兩個同階對角矩陣相乘只用把對角線上的相應元素相乘． √ 分塊矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣: 分塊矩陣的逆矩陣: 　　 　 　 　 分塊對角陣相乘:, 分塊對角陣的隨著矩陣: 　　 　　 √ 矩陣方程的解法()：設法化成 　　 　　　 　 　　 　 　 　 　 　 　 ① 零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實向量正交． ② 單個零向量線性有關(guān)；單個非零向量線性無關(guān)． ③ 部分有關(guān),整體必有關(guān);整體無關(guān),部分必無關(guān). ?。ㄏ蛄總€數(shù)變動） ④ 原向量組無關(guān),接長向量組無關(guān)；接長向量組有關(guān),原向量組有關(guān). （向量維數(shù)變動） ⑤ 兩個向量線性有關(guān)相應元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無關(guān)． ⑥ 向量組中任歷來量≤≤都是此向量組的線性組合． ⑦ 向量組線性有關(guān)向量組中至少有一種向量可由其他個向量線性表達． 向量組線性無關(guān)向量組中每一種向量都不能由其他個向量線性表達. ⑧ 維列向量組線性有關(guān); 維列向量組線性無關(guān). ⑨ 若線性無關(guān),而線性有關(guān)，則可由線性表達,且表達法唯一. ⑩ 矩陣的行向量組的秩列向量組的秩矩陣的秩．　行階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個數(shù). 行階梯形矩陣 可畫出一條階梯線,線的下方全為；每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線背面的第一種元素非零.當非零行的第一種非零元為1,且這些非零元所在列的其她元素都是時,稱為行最簡形矩陣 ? 矩陣的行初等變換不變化矩陣的秩,且不變化列向量間的線性關(guān)系; 　 矩陣的列初等變換不變化矩陣的秩,且不變化行向量間的線性關(guān)系. 即：矩陣的初等變換不變化矩陣的秩. √ 矩陣的初等變換和初等矩陣的關(guān)系: 對施行一次初等變換得到的矩陣，等于用相應的初等矩陣乘; 對施行一次初等變換得到的矩陣，等于用相應的初等矩陣乘． 矩陣的秩　如果矩陣存在不為零的階子式，且任意階子式均為零，則稱矩陣的秩為．記作 向量組的秩 向量組的極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)，稱為這個向量組的秩．記作 　　 矩陣等價　通過有限次初等變換化為. 記作： 向量組等價　和可以互相線性表達. 記作: ? 矩陣與等價，可逆作為向量組等價,即：秩相等的向量組不一定等價． 矩陣與作為向量組等價 矩陣與等價. ? 向量組可由向量組線性表達有解≤． ? 向量組可由向量組線性表達,且,則線性有關(guān). 向量組線性無關(guān),且可由線性表達，則≤． ? 向量組可由向量組線性表達,且,則兩向量組等價； ? 任歷來量組和它的極大無關(guān)組等價.向量組的任意兩個極大無關(guān)組等價． ? 向量組的極大無關(guān)組不唯一,但極大無關(guān)組所含向量個數(shù)唯一擬定. ? 若兩個線性無關(guān)的向量組等價，則它們涉及的向量個數(shù)相等. ? 設是矩陣,若，的行向量線性無關(guān)； 　　　 　 若,的列向量線性無關(guān),即：線性無關(guān). √ 矩陣的秩的性質(zhì): 　 　 　 　 　 ①≥　　 　 　 　 ≤≤ ② 　 　 　 ③ 　 　?、? 　 　 　 　　 ?、荨? ⑥ 　 　即:可逆矩陣不影響矩陣的秩. ⑦若； 若 ⑧等價原則型. ⑨≤ 　 　≤≤ ⑩ 　 　 　　 　　 ： 線性方程組的矩陣式 　 　 　 　 　 　 向量式 　 　 　 　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì): 矩陣可逆的性質(zhì): 隨著矩陣的性質(zhì): （無條件恒成立） 線性方程組解的性質(zhì): √ 設為矩陣,若一定有解， 　　　 　　當時,一定不是唯一解，則該向量組線性有關(guān)． 　 是的上限. √ 判斷是的基本解系的條件： 　 　 　 ① 線性無關(guān)； 　 　 　 　②　都是的解; ③ . √　一種齊次線性方程組的基本解系不唯一. √ 若是的一種解,是的一種解線性無關(guān) √ 與同解（列向量個數(shù)相似),則： ① 它們的極大無關(guān)組相相應，從而秩相等; 　 ②　它們相應的部分組有同樣的線性有關(guān)性; 　③ 它們有相似的內(nèi)在線性關(guān)系． √ 兩個齊次線性線性方程組與同解． √ 兩個非齊次線性方程組與均有解，并且同解. √　矩陣與的行向量組等價齊次方程組與同解(左乘可逆矩陣)； 矩陣與的列向量組等價（右乘可逆矩陣）. √ 有關(guān)公共解的三中解決措施: ① 把(I)與(II)聯(lián)立起來求解； ② 通過（I)與(II)各自的通解,找出公共解； 當(I)與(II)都是齊次線性方程組時,設是(I)的基本解系, 是(ＩＩ)的基本解系，則 (Ｉ)與(II）有公共解基本解系個數(shù)少的通解可由另一種方程組的基本解系線性表達． 即： 當（I)與(II）都是非齊次線性方程組時，設是(I)的通解，是(IＩ）的通解，兩方程組有公共解可由線性表達. 即： ③ 設(Ｉ)的通解已知,把該通解代入(ＩＩ）中，找出(Ｉ)的通解中的任意常數(shù)所應滿足(II)的關(guān)系式而求出公共解。 原則正交基　個維線性無關(guān)的向量，兩兩正交,每個向量長度為1. 向量與的內(nèi)積 ?。? 記為： 向量的長度 是單位向量 ． 即長度為的向量． √ 內(nèi)積的性質(zhì)： ① 正定性： 　　　 ?、凇ΨQ性： ③ 雙線性： 　 　　 　 　　　　 　 　 　 的特性矩陣 . 的特性多項式 　. √ 是矩陣的特性多項式 的特性方程　 . 　 　 √ 　 　 ,稱為矩陣的跡. √　上三角陣、下三角陣、對角陣的特性值就是主對角線上的各元素. √ 若,則為的特性值,且的基本解系即為屬于的線性無關(guān)的特性向量. √ 一定可分解為＝、,從而的特性值為：,　 　 　?。? 為各行的公比,為各列的公比. √ 若的所有特性值，是多項式,則: ① 若滿足的任何一種特性值必滿足 ②的所有特性值為;. √ 初等矩陣的性質(zhì): √ 設,對階矩陣規(guī)定：為的一種多項式. √ √ √ 的特性向量不一定是的特性向量. √ 與有相似的特性值，但特性向量不一定相似. 與相似　 (為可逆矩陣） 　記為： 與正交相似 　 (為正交矩陣） 可以相似對角化 與對角陣相似. 　記為： （稱是的相似原則形） √ 可相似對角化 　為的重數(shù)恰有個線性無關(guān)的特性向量．　這時，為的特性向量拼成的矩陣，為對角陣,主對角線上的元素為的特性值.設為相應于的線性無關(guān)的特性向量,則有： . ：當為的重的特性值時,可相似對角化的重數(shù) 基本解系的個數(shù). √ 若階矩陣有個互異的特性值可相似對角化. √ 若可相似對角化,則其非零特性值的個數(shù)(重根反復計算). √ 若=, √ 相似矩陣的性質(zhì): ①,從而有相似的特性值，但特性向量不一定相似． 是有關(guān)的特性向量,是有關(guān)的特性向量． ② ③ 　 從而同步可逆或不可逆 ④ ⑤; ?。ㄈ艟赡妫? ⑥ 　(為整數(shù)）;, ⑦ 　　 　 　 　　　 前四個都是必要條件. √ 數(shù)量矩陣只與自己相似. √ 實對稱矩陣的性質(zhì)： ① 特性值全是實數(shù),特性向量是實向量; ② 不同特性值相應的特性向量必然正交； 　 :對于一般方陣,不同特性值相應的特性向量線性無關(guān); ③一定有個線性無關(guān)的特性向量. 若有重的特性值,該特性值的重數(shù)＝; ④必可用正交矩陣相似對角化,即:任一實二次型可經(jīng)正交變換化為原則形; ⑤與對角矩陣合同，即：任一實二次型可經(jīng)可逆線性變換化為原則形; ⑥兩個實對稱矩陣相似有相似的特性值. 正交矩陣 √ 為正交矩陣的個行(列）向量構(gòu)成的一組原則正交基. √ 正交矩陣的性質(zhì):① ; ② ; ③ 正交陣的行列式等于１或-１； ④　是正交陣,則，也是正交陣； ⑤　兩個正交陣之積仍是正交陣; ⑥ 的行（列)向量都是單位正交向量組． 二次型 　 ，即為對稱矩陣， 與合同 ．　 　　記作: (） 正慣性指數(shù) 二次型的規(guī)范形中正項項數(shù)　　 負慣性指數(shù)二次型的規(guī)范形中負項項數(shù) 符號差 　 （為二次型的秩) √ 兩個矩陣合同它們有相似的正負慣性指數(shù)她們的秩與正慣性指數(shù)分別相等． √　兩個矩陣合同的充足條件是: √ 兩個矩陣合同的必要條件是： √　通過化為原則形. √ 二次型的原則形不是唯一的，與所作的正交變換有關(guān),但非零系數(shù)的個數(shù)是由　唯一擬定的. √ 當原則形中的系數(shù)為-１或０或1時,稱為二次型的規(guī)范形?。? √ 實對稱矩陣的正(負)慣性指數(shù)等于它的正(負）特性值的個數(shù). √　慣性定理:任一實對稱矩陣與唯一對角陣合同. √ 用正交變換化二次型為原則形: ① 求出的特性值、特性向量; ② 對個特性向量正交規(guī)范化; ③ 構(gòu)造（正交矩陣)，作變換,則 ④ 新的二次型為,的主對角上的元素即為的特性值． 施密特正交規(guī)范化 線性無關(guān), 　　 　 　 　　 　 　 　　 　　單位化:　 　　 　技巧:取正交的基本解系，跳過施密特正交化。讓第二個解向量先與第一種解向量正交,再把第二個解向量代入方程，擬定其自由變量． 　 　 　例如：取，. 正定二次型　 不全為零，. 正定矩陣 正定二次型相應的矩陣. √　為正定二次型(之一成立）： ① 　，； ② 的特性值全不小于； ③ 的正慣性指數(shù)為; ④ 的所有順序主子式全不小于； ⑤ 與合同,即存在可逆矩陣使得; ⑥ 存在可逆矩陣,使得; ⑦ 存在正交矩陣，使得 (不小于). ⑧ 合同變換不變化二次型的正定性. √ 為正定矩陣 ; ． √ 為正定矩陣也是正定矩陣. √ 與合同,若為正定矩陣為正定矩陣 √ 為正定矩陣為正定矩陣,但不一定為正定矩陣．