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1、一、 填空題 （將正確答案填在題中橫線上。每小題2分，共10分）
1、設 ， ，則==_____________。
2、四階方陣，已知=，且，則=_____________。
3、三階方陣的特征值為1，-1，2，且，則的特征值為_____________。
4、若n階方陣滿足關系式，若其中是單位陣，那么=_____________。
5、設，，線性相關，則t=_____________。
二、單項選擇題 （每小題僅有一個正確答案，將正確答案的番號填入下表內，每小題2分，共20分）
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案番 號
2、
1、若方程成立，則x是
（A）-2或3； （B）-3或2；
（C）-2或-3； （D）3或2；
2、設A、B均為n階方陣，則下列正確的公式為
（A）； （B）；
（C）； （D）
3、設A為可逆n階方陣，則=
（A）； （B）A；
（C）； （D）；
4、下列矩陣中哪一個是初等矩陣
（A）；
3、 （B）；
（C）； （D）；
5、下列命題正確的是
（A）如果有全為零的數 使，則，， 線性無關；
（B）向量組，， 若其中有一個向量可由向量組線性表示，則，，線性相關；
（C）向量組，， 的一個部分組線性相關，則原向量組本身線性相關；
（D）向量組，，線性相關，則每一個向量都可由其余向量線性表示。
6、，，和，，，為兩個n維向量組，且
=+++
=+++
=+++
則下列結論正確的是
（A）
（B）
（C）
（D）無法判定
7、設A為n階實對稱方陣且為正交矩陣，則有
（A）A=E
4、 （B）A相似于E （C） （D）A合同于E
8、若是線性方程組的基礎解系，則+++是的
（A）解向量 （B）基礎解系 （C）通解； （D）A的行向量；
9、 都是n階矩陣A的特征值，，且和分別是對應于和的特征向量，當 滿足什么條件時，必是矩陣A的特征向量。
（A）且； （B），
（C） （D）而
10、下列哪一個二次型的矩陣是
（A）； （B）;
(C); (D);
三、計算題（每小題9分，共63分）
1、設3階矩陣，， ，其中均是3維行向量，且已知行列式，，求
2、解矩陣方程，其
5、中
，
3、設有三維列向量組
， ， ，
為何值時：
（1）可由，，線性表示，且表示式是唯一的；
（2）不能由，，線性表示；
（3）可由，，線性表示，且有無窮種表示式，并寫出表示式。
4、已知四元非齊次線性方程組滿足，是的三個解向量，其中
，
求的通解。
5、已知A=B，且，
求a , b
6、齊次線性方程組
中當a為何值時，有非零解，并求出通解。
7、用正交變換法化二次型為標準型，并求出正交變換。
四、證明題（7分）
設A為mn矩陣，B為n 階矩陣，已知
證明：若，則
6、
《高等代數》期末考試題A題參考答案與評分標準
一、 填空題
1、-10； 2、81； 3、4，6，12； 4、； 5、5；
二、單項選擇題(每小題2分，共20分)
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案番 號
A
C
D
B
C
C
C
A
D
C
三、計算題(每小題9分，共63分)
1、 （2分）
=+
7、 （4分）
=+ （7分）
=218+122=60 （9分）
2、 （2分）
（3分）
8、 （5分）
（7分）
（9分）
3、設
且時，方程組有唯一解
即可由，，唯一線性表示，
（2）當時
無解
即當時，不能由，，線性表示 （6分）
（3）當時
有無窮組解
基礎解系為：，
通解為
當時 可由，，線性表示為無窮多種形式
9、 ，為任意常數 （9分）
4、的基礎解系含一個解 （2分）
（i=1，2，3）
設 （4分）
為基礎解系 （6分）
為特解 （8分）
故的通解為
10、 c為任意常數 （9分）
5、
（2分）
（4分）
（6分）
比較同次冪系數有
(8分)
解之， 得 （9分）
6、 （3分）
當時， 有非零解
11、 （5分）
基礎解系為 （8分）
通解為 c為任意常數 （9分）
7、 （3分）
特征值為， （4分）
特征向量為 ，， （6分）
正交單位化為
12、，， （7分）
標準型為 （8分）
正交變換為 （9分）
四、證明題（）
（2分）
B的每一列向量為齊次方程組的解 （4分）
由于 只有零解
（6分）
《高等代數》期末考試題A
