例隨著人們生活水平的提高某城市家庭汽車擁有量迅速

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1、例 9.隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長，汽車牌 照號碼需要擴(kuò)容。交通管理部門出臺了一種汽車牌照組成辦法，每一個汽 車牌照都必須有個不重復(fù)的英文字母和個不重復(fù)的阿拉伯?dāng)?shù)字，并且 個字母必須合成一組出現(xiàn)，個數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn)，那么這種辦 法共能給多少輛汽車上牌照 ? 解：將汽車牌照分為兩類，一類的字母組合在左。另一類的字母組合在右。 字母組合在左時，分 6個步驟確定一個牌的字母和數(shù)字： 第 1步，從 26個字母中選 1個，放在首位，有 26種選法： 第 2步，從剩下的 25個字母選 1個，放在第 2位，有 25種選法： 第 3步，從剩下的 24個字母選 1個，放在第 3位

2、，有 24種選法： 第 4步，從 10個數(shù)字中選 1個，放在第 4位，有 10種選法： 第 5步，從剩下的 9位數(shù)字中選 1個，放在第 5位，有 9中選法： 第 6位，叢剩下的 8位數(shù)字中選 1個，放在第 6位，有 8種選法。 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，字母組合在左的牌照個數(shù)為 26 25 24 10 9 8=11232000. 同理，字母組合在右的牌照個數(shù)也為 11232000. 所以，共能給 11232000+11232000=22464000. 輛汽車上牌照。 問題 1： 從甲、乙、丙 3名同學(xué)中選出 2名參加一項活動，其中 1名同學(xué)參 加上午的活動，另 1名同學(xué)參加下午的活動，有多少種不同

3、的選法？ 把上面問題中被取的對象叫做 元素 ,于是問題就可以敘述為： 從 3個不同的元素 a,b,c中任取 2個，然后按照一定的順序排成一列， 一共有多少種不同的排列方法？ ab, ac, ba, bc, ca, cb 3 2=6 有此可寫出所有的三位數(shù)： 123， 124， 132， 134， 142， 143; 213， 214， 231， 234， 241， 243， 312， 314， 321， 324， 341， 342; 412， 413， 421， 423， 431， 432。 問題 2： 從 1， 2， 3， 4這 4個數(shù)中，每次取出 3個排成一個三位數(shù)，共可得 到多少個不同的

4、三位數(shù)？ 敘述為 : 從 4個不同的元素 a,b,c,d 中任取 3個，然后按 照一定的 順序排成一 列 ，共有多少種不同的排列方法？ abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc; cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb. 4 3 2=24 問題 2： 從 1， 2， 3， 4這 4個數(shù)中，每次取出 3個排成一個三位數(shù)，共可得 到多少個不同的三位數(shù)？ 問題 1： 從甲、乙、丙 3名同學(xué)中選出 2名參加一項活動，其中 1名同學(xué)參 加上午的活動，另 1名同學(xué)參加下午的活動，有多少種不同的

5、選法？ 敘述為 : 從 3個不同的元素 a,b,c中任取 2個，然后按照一定的 順序排成一列 ， 一共有多少種不同的排列方法？ 敘述為 : 從 4個不同的元素 a,b,c,d 中任取 3個，然后按 照一定的 順序排成一 列 ，共有多少種不同的排列方法？ 定義：一般地說 ,從 n個不同的元素中 ,任取 m(mn)個元 素 ,按照 一定的順序排成一列 ,叫做從 n個不同的元素 中取出 m個元素的 一個排列 . 基本概念 1、排列： 從 n個不同元素中取出 m (m n)個元素， 按照一定的順序排成一列，叫做從 n個不同元 素中取出 m個元素的一個排列。 說明： 1、元素不能重復(fù)。 2、 “ 按一定

6、順序 ” 就是與位置有關(guān)，這是判斷一 個問題是否是排列問題的關(guān)鍵。 3、 兩個排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個排列中的 元素 完全相同 ，而且元素的 排列順序也完全相同 。 4、 m n時的排列叫 全排列 。 5、 為了使寫出的所有排列情況既不重復(fù)也不遺漏， 最好采用 “ 樹形圖 ” 。 （有序性） （互異性） 練習(xí) 1 下列問題是排列問題嗎？ （ 1）從 1， 2， 3， 4四個數(shù)字中，任選兩個做加法，其 不同 結(jié)果有多少種？ （ 2）從 1， 2， 3， 4四個數(shù)字中，任選兩個做除法，其 不同 結(jié)果有多少種？ （ 3）從 1到 10十個自然數(shù)中任取兩個組成點(diǎn)的坐標(biāo)，可得多少個不同的 點(diǎn)的坐標(biāo)？ （

7、 4）平面上有 5個點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，這五點(diǎn)最多可確定多少條射線？ 可確定多少條直線？ （ 5） 10個學(xué)生排隊照相，則不同的站法有多少種？ 是排列 不是排列 是排列 是排列 不是排列 是排列 1.寫出 : (1)從個元素 a， b， c， d， 中任取 2個元素的所有排列 (2)從 5個元素 a， b， c， d， e中任取 2個元素的所有排列 解決辦法是先畫“樹形圖”，再由此寫出所有的排列，共 20個 若把這題改為：寫出從 5個元素 a， b， c， d， e中任取 3個元素的所有排 列，結(jié)果如何呢？ 方法仍然照用，但數(shù)字將更大，寫起來更“啰嗦” 研究一個排列問題，往往只需知道所有排列的

8、個數(shù)而無需一一寫出所有的 排列，那么能否不通過一一寫出所有的排列而直接“得”出所有排列的個 數(shù)呢？接下來我們將來共同探討這個問題： 排列數(shù)及其公式 2、排列數(shù)： 從 n個不同的元素中取出 m(mn) 個元素 的所有排列的個數(shù)，叫做從 n個不同的元素中 取出 m個元素的排列數(shù)。用符號 表示。 m nA “ 排列 ” 和 “ 排列數(shù) ” 有什么區(qū)別和聯(lián) 系？ 排列數(shù)，而不表示具體的排列。 所有排列的個數(shù)，是一個數(shù)； mn“ 排列數(shù) ” 是指從 個不同元素中，任取 個元素的 mnA 所以符號 只表示 n m“ 一個排列 ” 是指：從 個不同元素中，任取 按照一定的順序排成一列，不是數(shù)； 個元素 基本

9、概念 探究： 從 n個不同元素中取出 2個元素的排列 數(shù) 是多少？ 2 nA 呢 ？ m nA 呢 ？ 3 nA 第 1位 第 2位 第 3位 第 m位 n種 (n-1)種 (n-2)種 (n-m+1)種 2 ( 1 )nA n n 3 ( 1 ) ( 2 )nA n n n ( 1 ) ( 2) ( 1 )mnA n n n n m 排列數(shù)公式（ 1）： 當(dāng) m n時， 123)2)(1( nnnA nn n個不同元素的全排列數(shù)公式： 正整數(shù) 1到 n的連乘積，叫做 n的階乘，用 表示。 !n !nAnn )!( ! mn nA m n 1、排列數(shù) 公式 的第一個常用來計算，第二個常用來證明

10、。 為了使當(dāng) m n時上面的公式也成立，規(guī)定： 1!0 2、對于 這個條件要留意，往往是解方程時的隱含條 件。 nm 排列數(shù)公式（ 2）： 說明： 課本第 18頁例 1 )!1( 1 )!1( 1 ! 1 )5( )!1)(45423 452451 nnn mnmn）（！，（）（ ）?。?！，（）化簡：（ 練 習(xí) ?。┐穑海?51 !20)2( !7)3( )!)(4( mn )!1( 2)5( 2 n nn 課本第 20頁練習(xí)： 2、 3 n 2 3 4 5 6 7 8 n! 2 6 24 120 720 5040 40320 鞏固練習(xí)： 1 1 8 1 7 9 8 , _ _ _ , _

11、_ _ m nA nm 、 如 果 則 2 5 5 5 6 6 8 6 9, ( ) ( ) ( ) ( )n N n n n n 、 若 則 用 排 列 數(shù) 符 號 表 示 為 __________ 3323 10 , __ __ _nnA A n、 如 果 則 75 54 8 9 , _ _ _ _ _ nn n AA n A 、 如 果 則 由 n=18， n-m+1=8，得 m=11 1569 nA ).1(8)2)(1(10)22)(12(2 nnnnnnnn 舍即 ).4(15,8929112 nnnn 舍解得化簡得 小結(jié)： 【 排列 】 從 n個不同元素中選出 m(mn)個元素 ,并按一定 的順序排成一列 . 【 關(guān)鍵點(diǎn) 】 1、 互異 性 (被選、所選 元素互不相同 ) 2、 有序 性 (所選元素有 先后位置等順序 之分 ) 【 排列數(shù) 】 所有排列總數(shù) 1 2 1mnA n n n n m ( ) ( ) . ( ) m n n! A= (n - m ) !