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1、例 9.隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長(zhǎng)，汽車牌 照號(hào)碼需要擴(kuò)容。交通管理部門出臺(tái)了一種汽車牌照組成辦法，每一個(gè)汽 車牌照都必須有個(gè)不重復(fù)的英文字母和個(gè)不重復(fù)的阿拉伯?dāng)?shù)字，并且 個(gè)字母必須合成一組出現(xiàn)，個(gè)數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn)，那么這種辦 法共能給多少輛汽車上牌照 ? 解：將汽車牌照分為兩類，一類的字母組合在左。另一類的字母組合在右。 字母組合在左時(shí)，分 6個(gè)步驟確定一個(gè)牌的字母和數(shù)字： 第 1步，從 26個(gè)字母中選 1個(gè)，放在首位，有 26種選法： 第 2步，從剩下的 25個(gè)字母選 1個(gè)，放在第 2位，有 25種選法： 第 3步，從剩下的 24個(gè)字母選 1個(gè)，放在第 3位
2、，有 24種選法： 第 4步，從 10個(gè)數(shù)字中選 1個(gè)，放在第 4位，有 10種選法： 第 5步，從剩下的 9位數(shù)字中選 1個(gè)，放在第 5位，有 9中選法： 第 6位，叢剩下的 8位數(shù)字中選 1個(gè)，放在第 6位，有 8種選法。 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，字母組合在左的牌照個(gè)數(shù)為 26 25 24 10 9 8=11232000. 同理，字母組合在右的牌照個(gè)數(shù)也為 11232000. 所以，共能給 11232000+11232000=22464000. 輛汽車上牌照。 問題 1： 從甲、乙、丙 3名同學(xué)中選出 2名參加一項(xiàng)活動(dòng)，其中 1名同學(xué)參 加上午的活動(dòng)，另 1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同
3、的選法？ 把上面問題中被取的對(duì)象叫做 元素 ,于是問題就可以敘述為： 從 3個(gè)不同的元素 a,b,c中任取 2個(gè)，然后按照一定的順序排成一列， 一共有多少種不同的排列方法？ ab, ac, ba, bc, ca, cb 3 2=6 有此可寫出所有的三位數(shù)： 123， 124， 132， 134， 142， 143; 213， 214， 231， 234， 241， 243， 312， 314， 321， 324， 341， 342; 412， 413， 421， 423， 431， 432。 問題 2： 從 1， 2， 3， 4這 4個(gè)數(shù)中，每次取出 3個(gè)排成一個(gè)三位數(shù)，共可得 到多少個(gè)不同的
4、三位數(shù)？ 敘述為 : 從 4個(gè)不同的元素 a,b,c,d 中任取 3個(gè)，然后按 照一定的 順序排成一 列 ，共有多少種不同的排列方法？ abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc; cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb. 4 3 2=24 問題 2： 從 1， 2， 3， 4這 4個(gè)數(shù)中，每次取出 3個(gè)排成一個(gè)三位數(shù)，共可得 到多少個(gè)不同的三位數(shù)？ 問題 1： 從甲、乙、丙 3名同學(xué)中選出 2名參加一項(xiàng)活動(dòng)，其中 1名同學(xué)參 加上午的活動(dòng)，另 1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的
5、選法？ 敘述為 : 從 3個(gè)不同的元素 a,b,c中任取 2個(gè)，然后按照一定的 順序排成一列 ， 一共有多少種不同的排列方法？ 敘述為 : 從 4個(gè)不同的元素 a,b,c,d 中任取 3個(gè)，然后按 照一定的 順序排成一 列 ，共有多少種不同的排列方法？ 定義：一般地說 ,從 n個(gè)不同的元素中 ,任取 m(mn)個(gè)元 素 ,按照 一定的順序排成一列 ,叫做從 n個(gè)不同的元素 中取出 m個(gè)元素的 一個(gè)排列 . 基本概念 1、排列： 從 n個(gè)不同元素中取出 m (m n)個(gè)元素， 按照一定的順序排成一列，叫做從 n個(gè)不同元 素中取出 m個(gè)元素的一個(gè)排列。 說明： 1、元素不能重復(fù)。 2、 “ 按一定
6、順序 ” 就是與位置有關(guān)，這是判斷一 個(gè)問題是否是排列問題的關(guān)鍵。 3、 兩個(gè)排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)排列中的 元素 完全相同 ，而且元素的 排列順序也完全相同 。 4、 m n時(shí)的排列叫 全排列 。 5、 為了使寫出的所有排列情況既不重復(fù)也不遺漏， 最好采用 “ 樹形圖 ” 。 （有序性） （互異性） 練習(xí) 1 下列問題是排列問題嗎？ （ 1）從 1， 2， 3， 4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)做加法，其 不同 結(jié)果有多少種？ （ 2）從 1， 2， 3， 4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)做除法，其 不同 結(jié)果有多少種？ （ 3）從 1到 10十個(gè)自然數(shù)中任取兩個(gè)組成點(diǎn)的坐標(biāo)，可得多少個(gè)不同的 點(diǎn)的坐標(biāo)？ （
7、 4）平面上有 5個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，這五點(diǎn)最多可確定多少條射線？ 可確定多少條直線？ （ 5） 10個(gè)學(xué)生排隊(duì)照相，則不同的站法有多少種？ 是排列 不是排列 是排列 是排列 不是排列 是排列 1.寫出 : (1)從個(gè)元素 a， b， c， d， 中任取 2個(gè)元素的所有排列 (2)從 5個(gè)元素 a， b， c， d， e中任取 2個(gè)元素的所有排列 解決辦法是先畫“樹形圖”，再由此寫出所有的排列，共 20個(gè) 若把這題改為：寫出從 5個(gè)元素 a， b， c， d， e中任取 3個(gè)元素的所有排 列，結(jié)果如何呢？ 方法仍然照用，但數(shù)字將更大，寫起來更“啰嗦” 研究一個(gè)排列問題，往往只需知道所有排列的
8、個(gè)數(shù)而無需一一寫出所有的 排列，那么能否不通過一一寫出所有的排列而直接“得”出所有排列的個(gè) 數(shù)呢？接下來我們將來共同探討這個(gè)問題： 排列數(shù)及其公式 2、排列數(shù)： 從 n個(gè)不同的元素中取出 m(mn) 個(gè)元素 的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從 n個(gè)不同的元素中 取出 m個(gè)元素的排列數(shù)。用符號(hào) 表示。 m nA “ 排列 ” 和 “ 排列數(shù) ” 有什么區(qū)別和聯(lián) 系？ 排列數(shù)，而不表示具體的排列。 所有排列的個(gè)數(shù)，是一個(gè)數(shù)； mn“ 排列數(shù) ” 是指從 個(gè)不同元素中，任取 個(gè)元素的 mnA 所以符號(hào) 只表示 n m“ 一個(gè)排列 ” 是指：從 個(gè)不同元素中，任取 按照一定的順序排成一列，不是數(shù)； 個(gè)元素 基本
9、概念 探究： 從 n個(gè)不同元素中取出 2個(gè)元素的排列 數(shù) 是多少？ 2 nA 呢 ？ m nA 呢 ？ 3 nA 第 1位 第 2位 第 3位 第 m位 n種 (n-1)種 (n-2)種 (n-m+1)種 2 ( 1 )nA n n 3 ( 1 ) ( 2 )nA n n n ( 1 ) ( 2) ( 1 )mnA n n n n m 排列數(shù)公式（ 1）： 當(dāng) m n時(shí)， 123)2)(1( nnnA nn n個(gè)不同元素的全排列數(shù)公式： 正整數(shù) 1到 n的連乘積，叫做 n的階乘，用 表示。 !n !nAnn )!( ! mn nA m n 1、排列數(shù) 公式 的第一個(gè)常用來計(jì)算，第二個(gè)常用來證明
10、。 為了使當(dāng) m n時(shí)上面的公式也成立，規(guī)定： 1!0 2、對(duì)于 這個(gè)條件要留意，往往是解方程時(shí)的隱含條 件。 nm 排列數(shù)公式（ 2）： 說明： 課本第 18頁(yè)例 1 )!1( 1 )!1( 1 ! 1 )5( )!1)(45423 452451 nnn mnmn）（！，（）（ ）！）（！，（）化簡(jiǎn)：（ 練 習(xí) ?。┐穑海?51 !20)2( !7)3( )!)(4( mn )!1( 2)5( 2 n nn 課本第 20頁(yè)練習(xí)： 2、 3 n 2 3 4 5 6 7 8 n! 2 6 24 120 720 5040 40320 鞏固練習(xí)： 1 1 8 1 7 9 8 , _ _ _ , _
11、_ _ m nA nm 、 如 果 則 2 5 5 5 6 6 8 6 9, ( ) ( ) ( ) ( )n N n n n n 、 若 則 用 排 列 數(shù) 符 號(hào) 表 示 為 __________ 3323 10 , __ __ _nnA A n、 如 果 則 75 54 8 9 , _ _ _ _ _ nn n AA n A 、 如 果 則 由 n=18， n-m+1=8，得 m=11 1569 nA ).1(8)2)(1(10)22)(12(2 nnnnnnnn 舍即 ).4(15,8929112 nnnn 舍解得化簡(jiǎn)得 小結(jié)： 【 排列 】 從 n個(gè)不同元素中選出 m(mn)個(gè)元素 ,并按一定 的順序排成一列 . 【 關(guān)鍵點(diǎn) 】 1、 互異 性 (被選、所選 元素互不相同 ) 2、 有序 性 (所選元素有 先后位置等順序 之分 ) 【 排列數(shù) 】 所有排列總數(shù) 1 2 1mnA n n n n m ( ) ( ) . ( ) m n n! A= (n - m ) !
例隨著人們生活水平的提高某城市家庭汽車擁有量迅速
