（江蘇專用）高考數(shù)學二輪專題復習 第二部分 考前增分指導一 融會貫通5大解題技巧又快又準解決高考填空題 理-人教版高三數(shù)學試題

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1、 【創(chuàng)新設計】（江蘇專用）2016高考數(shù)學二輪專題復習 第二部分 考前增分指導一 融會貫通5大解題技巧，又快又準解決高考填空題 理 技巧——巧解填空題的5大妙招 題型概述 解填空題要求在“快速、準確”上下功夫，由于填空題不需要寫出具體的推理、計算過程，因此要想“快速”解答填空題，則千萬不可“小題大做”，而要達到“準確”，則必須合理靈活地運用恰當?shù)姆椒?，在“巧”字上下功夫? 填空題的基本特點是：(1)具有考查目標集中、跨度大、知識覆蓋面廣、形式靈活、答案簡短、明確、具體，不需要寫出求解過程而只需要寫出結(jié)論等特點；(2)填空題與選擇題有質(zhì)的區(qū)別：①填空題沒有備選項，因此，解答時不受誘誤干

2、擾，但同時也缺乏提示；②填空題的結(jié)構(gòu)往往是在正確的命題或斷言中，抽出其中的一些內(nèi)容留下空位，讓考生獨立填上，考查方法比較靈活；(3)從填寫內(nèi)容看，主要有兩類：一類是定量填寫型，要求考生填寫數(shù)值、數(shù)集或數(shù)量關(guān)系．由于填空題缺少選項的信息，所以高考題中多數(shù)是以定量型問題出現(xiàn)；另一類是定性填寫型，要求填寫的是具有某種性質(zhì)的對象或填寫給定的數(shù)學對象的某種性質(zhì)等． 方法一　直接法 對于計算型的試題，多通過直接計算求得結(jié)果，這是解決填空題的基本方法．它是直接從題設出發(fā)，利用有關(guān)性質(zhì)或結(jié)論，通過巧妙地變形，直接得到結(jié)果的方法．要善于透過現(xiàn)象抓本質(zhì)，有意識地采取靈活、簡捷的解法解決問題． 【例1

3、】 設F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的兩個焦點，P是C上一點，若PF1＋PF2＝6a，且△PF1F2的最小內(nèi)角為30°，則C的離心率為________． 解析　設P點在雙曲線右支上，由題意得 故PF1＝4a，PF2＝2a， 由條件得∠PF1F2＝30°，由＝， 得sin ∠PF2F1＝1，∴∠PF2F1＝90°，在Rt△PF2F1中， 2c＝＝2a， ∴e＝＝. 答案　 探究提高　直接法是解決計算型填空題最常用的方法，在計算過程中，我們要根據(jù)題目的要求靈活處理，多角度思考問題，注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應用，將計算過程簡化從而得到結(jié)果，這是快速準確地求解

4、填空題的關(guān)鍵． 【訓練1】 若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝an＋，則{an}的通項公式是an＝________． 解析　由已知Sn＝an＋.① 當n＝1時，S1＝a1＋，解a1＝1； 當n≥2時，Sn－1＝an－1＋.② ①－②整理，得an＝－2an－1，即＝－2. 因此{an}為a1＝1，公比q＝－2的等比數(shù)列，an＝a1qn－1＝(－2)n－1. 答案　(－2)n－1 方法二　特殊值法 當填空題已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結(jié)論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以從題中變化的不定量中選取符合條件的恰當特殊值(特殊函數(shù)、特殊角、特殊數(shù)列、特殊位置、

5、特殊點、特殊方程、特殊模型等)進行處理，從而得出探求的結(jié)論． 【例2】 若f(x)＝＋a是奇函數(shù)，則a＝________． 解析　因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且1，－1是其定域內(nèi)的值，所以f(－1)＝－f(1)，而f(1)＝＋a，f(－1)＝＋a＝a－.故a－＝－， 解得a＝. 答案　 探究提高　求值或比較大小等問題的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此種方法僅限于求解結(jié)論只有一種的填空題，對于開放性的問題或者有多種答案的填空題，則不能使用該種方法求解． 【訓練2】 如圖，在△ABC中，點M是BC的中點，過點M的直線與直線AB、AC分別交于不同的兩點P、Q，若＝λ，＝μ，則＋＝___

6、_____． 解析　由題意可知，＋的值與點P、Q的位置無關(guān)，而當直線PQ與直線BC重合時，則有λ＝μ＝1，所以＋＝2. 答案　2 方法三　圖象分析法 對于一些含有幾何背景的填空題，若能數(shù)中思形，以形助數(shù)，通過數(shù)形結(jié)合，往往能迅速作出判斷，簡捷地解決問題，得出正確的結(jié)果．韋恩圖、三角函數(shù)線、函數(shù)的圖象及方程的曲線等，都是常用的圖形． 【例3】 (2015·湖北卷)函數(shù)f(x)＝4cos2cos－2sin x－|ln(x＋1)|的零點個數(shù)為________． 解析　f(x)＝4cos2sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝2sin x·－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|

7、ln(x＋1)|，令f(x)＝0，得sin 2x＝|ln(x＋1)|.在同一坐標系中作出兩個函數(shù)y＝sin 2x與函數(shù)y＝|ln(x＋1)|的大致圖象如圖所示． 觀察圖象可知，兩函數(shù)圖象有2個交點，故函數(shù)f(x)有2個零點． 答案　2 探究提高　圖解法實質(zhì)上就是數(shù)形結(jié)合的思想方法在解決填空題中的應用，利用圖形的直觀性并結(jié)合所學知識便可直接得到相應的結(jié)論，這也是高考命題的熱點．準確運用此類方法的關(guān)鍵是正確把握各種式子與幾何圖形中的變量之間的對應關(guān)系，利用幾何圖形中的相關(guān)結(jié)論求出結(jié)果． 【訓練3】 已知α，β是三次函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋2bx(a，b∈R)的兩個極值點，且α∈(0

8、，1)，β∈(1，2)，則的取值范圍是________． 解析　f′(x)＝x2＋ax＋2b(a，b∈R)，由題意知α，β是函數(shù)f(x)的兩個極值點，則α，β是函數(shù)y＝f′(x)的圖象與x軸兩個交點的橫坐標．由α∈(0，1)，β∈(1，2)及二次函數(shù)圖象的特征，可知即整理得 畫出可行域，如圖(陰影部分，不包括邊界)，表示連接可行域內(nèi)一點P(a，b)與點D(1，2)的直線的斜率k，又A(－3，1)，B(－2，0)，C(－1，0)，則kAD＝＝，kCD＝＝1，由圖可知kAD＜k＜kCD，則的取值范圍為.故填. 答案　 方法四　構(gòu)造法 構(gòu)造型填空題的求解，需要利用已知條件和結(jié)論的特殊性

9、構(gòu)造出新的數(shù)學模型，從而簡化推理與計算過程，使較復雜的數(shù)學問題得到簡捷的解決，它來源于對基礎知識和基本方法的積累，需要從一般的方法原理中進行提煉概括，積極聯(lián)想，橫向類比，從曾經(jīng)遇到過的類似問題中尋找靈感，構(gòu)造出相應的函數(shù)、概率、幾何等具體的數(shù)學模型，使問題快速解決． 【例4】 如圖，已知球O的球面上有四點A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，則球O的體積等于________． 解析　如圖，以DA，AB，BC為棱長構(gòu)造正方體，設正方體的外接球球O的半徑為R，則正方體的體對角線長即為球O的直徑，所以|CD|＝＝2R，所以R＝，故球O的體積V＝＝π. 答案　

10、π 探究提高　構(gòu)造法實質(zhì)上是化歸與轉(zhuǎn)化思想在解題中的應用，需要根據(jù)已知條件和所要解決的問題確定構(gòu)造的方向，通過構(gòu)造新的函數(shù)、不等式或數(shù)列等新的模型，從而轉(zhuǎn)化為自己熟悉的問題．本題巧妙地構(gòu)造出正方體，而球的直徑恰好為正方體的體對角線，問題很容易得到解決． 【訓練4】 已知a＝ln －，b＝ln －，c＝ln －，則a，b，c的大小關(guān)系為________． 解析　令f(x)＝ln x－x， 則f′(x)＝－1＝. 當0＜x＜1時，f′(x)＞0， 即函數(shù)f(x)在(0，1)上是增函數(shù)． ∵1＞＞＞＞0， ∴a＞b＞c. 答案　a＞b＞c 方法五　綜合分析法 對于開放性的填空題

11、，應根據(jù)題設條件的特征綜合運用所學知識進行觀察、分析，從而得出正確的結(jié)論． 【例5】 定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且f(x)＝f(2－x)，在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)．關(guān)于函數(shù)f(x)有下列結(jié)論： ①圖象關(guān)于直線x＝1對稱；②最小正周期是2；③在區(qū)間[－2，－1]上是減函數(shù)；④在區(qū)間[－1，0]上是增函數(shù)． 其中正確結(jié)論的序號是________(把所有正確結(jié)論的序號都填上)． 解析　由f(x)＝f(2－x)可知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，故①正確；又函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標原點對稱，而圖象又關(guān)于直線x＝1對稱，故函數(shù)f(x)必是一個周期函數(shù)，其最小正周期為4

12、×(1－0)＝4，故②不正確；因為奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性是相同的，且f(x)在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，所以其在區(qū)間[－2，－1]上也是減函數(shù)，故③正確；④因為函數(shù)f(x)關(guān)于直線x＝1對稱，在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，而函數(shù)在關(guān)于對稱軸對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性是相反的，故函數(shù)在區(qū)間[0，1]上為增函數(shù)，又由奇函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，0]上是增函數(shù)，故④正確．所以正確的結(jié)論有①③④.故填①③④. 答案?、佗邰? 探究提高　對于規(guī)律總結(jié)類與綜合型的填空題，應從題設條件出發(fā)，通過逐步計算、分析總結(jié)探究其規(guī)律，對于多選型的問題更要注重分析推導的過程，以防多選或漏

13、選．做好此類題目要深刻理解題意，捕捉題目中的隱含信息，通過聯(lián)想、歸納、概括、抽象等多種手段獲得結(jié)論． 【訓練5】 已知f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當x≥0時，有f(x＋1)＝－f(x)，且當x∈[0，1)時，f(x)＝log2(x＋1)，給出下列命題： ①f(2 013)＋f(－2 014)的值為0；②函數(shù)f(x)在定義域上是周期為2的周期函數(shù)；③直線y＝x與函數(shù)f(x)的圖象只有1個交點；④函數(shù)f(x)的值域為(－1，1)． 其中正確命題的序號有________． 解析　對于①，當x≥0時，有f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，f(2 013)＋f(－2 014)＝f(2 01

14、3)＋f(2 014)＝f(2×1 006＋1)＋f(2×1 007)＝f(1)＋f(0)＝0，因此①正確； 對于②，注意到f＝f＝log2 ， f＝f＝f＝－f ＝－log2， 因此f≠f，函數(shù)f(x)在定義域上不是周期為2的周期函數(shù)，②不正確；對于③，注意到當x∈[1，2)時，x－1∈[0，1)，f(x)＝－f(x－1)＝－log2x；當x≥0時，f(x＋2)＝f(x)，在坐標系內(nèi)畫出函數(shù)y＝f(x)與直線y＝x的大致圖象，結(jié)合圖象可知，它們的公共點只有1個，因此③正確；對于④，當x∈[0，1)時，f(x)＝log2(x＋1)的值域是[0，1)；當x∈[1，2)時，f(x)＝－log2x的值域是(－1，0]，因此函數(shù)y＝f(x)的值域是(－1，1)，④正確．綜上所述，其中正確命題的序號有①③④. 答案?、佗邰? 1．解填空題的一般方法是直接法，除此以外，對于帶有一般性命題的填空題可采用特例法，和圖形、曲線等有關(guān)的命題可考慮數(shù)形結(jié)合法．解題時，常常需要幾種方法綜合使用，才能迅速得到正確的結(jié)果． 2．解填空題不要求求解過程，從而結(jié)論是判斷是否正確的唯一標準，因此解填空題時要注意如下幾個方面： (1)要認真審題，明確要求，思維嚴謹、周密，計算有據(jù)、準確； (2)要盡量利用已知的定理、性質(zhì)及已有的結(jié)論； (3)要重視對所求結(jié)果的檢驗．