（江蘇專用）高考數(shù)學二輪專題復習 第二部分 考前增分指導一 融會貫通5大解題技巧又快又準解決高考填空題 理-人教版高三數(shù)學試題

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1、 【創(chuàng)新設計】（江蘇專用）2016高考數(shù)學二輪專題復習 第二部分 考前增分指導一 融會貫通5大解題技巧，又快又準解決高考填空題 理 技巧——巧解填空題的5大妙招 題型概述 解填空題要求在“快速、準確”上下功夫，由于填空題不需要寫出具體的推理、計算過程，因此要想“快速”解答填空題，則千萬不可“小題大做”，而要達到“準確”，則必須合理靈活地運用恰當?shù)姆椒?，在“巧”字上下功夫? 填空題的基本特點是：(1)具有考查目標集中、跨度大、知識覆蓋面廣、形式靈活、答案簡短、明確、具體，不需要寫出求解過程而只需要寫出結論等特點；(2)填空題與選擇題有質的區(qū)別：①填空題沒有備選項，因此，解答時不受誘誤干

2、擾，但同時也缺乏提示；②填空題的結構往往是在正確的命題或斷言中，抽出其中的一些內容留下空位，讓考生獨立填上，考查方法比較靈活；(3)從填寫內容看，主要有兩類：一類是定量填寫型，要求考生填寫數(shù)值、數(shù)集或數(shù)量關系．由于填空題缺少選項的信息，所以高考題中多數(shù)是以定量型問題出現(xiàn)；另一類是定性填寫型，要求填寫的是具有某種性質的對象或填寫給定的數(shù)學對象的某種性質等． 方法一　直接法 對于計算型的試題，多通過直接計算求得結果，這是解決填空題的基本方法．它是直接從題設出發(fā)，利用有關性質或結論，通過巧妙地變形，直接得到結果的方法．要善于透過現(xiàn)象抓本質，有意識地采取靈活、簡捷的解法解決問題． 【例1

3、】 設F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的兩個焦點，P是C上一點，若PF1＋PF2＝6a，且△PF1F2的最小內角為30°，則C的離心率為________． 解析　設P點在雙曲線右支上，由題意得 故PF1＝4a，PF2＝2a， 由條件得∠PF1F2＝30°，由＝， 得sin ∠PF2F1＝1，∴∠PF2F1＝90°，在Rt△PF2F1中， 2c＝＝2a， ∴e＝＝. 答案　 探究提高　直接法是解決計算型填空題最常用的方法，在計算過程中，我們要根據(jù)題目的要求靈活處理，多角度思考問題，注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應用，將計算過程簡化從而得到結果，這是快速準確地求解

4、填空題的關鍵． 【訓練1】 若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝an＋，則{an}的通項公式是an＝________． 解析　由已知Sn＝an＋.① 當n＝1時，S1＝a1＋，解a1＝1； 當n≥2時，Sn－1＝an－1＋.② ①－②整理，得an＝－2an－1，即＝－2. 因此{an}為a1＝1，公比q＝－2的等比數(shù)列，an＝a1qn－1＝(－2)n－1. 答案　(－2)n－1 方法二　特殊值法 當填空題已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以從題中變化的不定量中選取符合條件的恰當特殊值(特殊函數(shù)、特殊角、特殊數(shù)列、特殊位置、

5、特殊點、特殊方程、特殊模型等)進行處理，從而得出探求的結論． 【例2】 若f(x)＝＋a是奇函數(shù)，則a＝________． 解析　因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且1，－1是其定域內的值，所以f(－1)＝－f(1)，而f(1)＝＋a，f(－1)＝＋a＝a－.故a－＝－， 解得a＝. 答案　 探究提高　求值或比較大小等問題的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此種方法僅限于求解結論只有一種的填空題，對于開放性的問題或者有多種答案的填空題，則不能使用該種方法求解． 【訓練2】 如圖，在△ABC中，點M是BC的中點，過點M的直線與直線AB、AC分別交于不同的兩點P、Q，若＝λ，＝μ，則＋＝___

6、_____． 解析　由題意可知，＋的值與點P、Q的位置無關，而當直線PQ與直線BC重合時，則有λ＝μ＝1，所以＋＝2. 答案　2 方法三　圖象分析法 對于一些含有幾何背景的填空題，若能數(shù)中思形，以形助數(shù)，通過數(shù)形結合，往往能迅速作出判斷，簡捷地解決問題，得出正確的結果．韋恩圖、三角函數(shù)線、函數(shù)的圖象及方程的曲線等，都是常用的圖形． 【例3】 (2015·湖北卷)函數(shù)f(x)＝4cos2cos－2sin x－|ln(x＋1)|的零點個數(shù)為________． 解析　f(x)＝4cos2sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝2sin x·－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|

7、ln(x＋1)|，令f(x)＝0，得sin 2x＝|ln(x＋1)|.在同一坐標系中作出兩個函數(shù)y＝sin 2x與函數(shù)y＝|ln(x＋1)|的大致圖象如圖所示． 觀察圖象可知，兩函數(shù)圖象有2個交點，故函數(shù)f(x)有2個零點． 答案　2 探究提高　圖解法實質上就是數(shù)形結合的思想方法在解決填空題中的應用，利用圖形的直觀性并結合所學知識便可直接得到相應的結論，這也是高考命題的熱點．準確運用此類方法的關鍵是正確把握各種式子與幾何圖形中的變量之間的對應關系，利用幾何圖形中的相關結論求出結果． 【訓練3】 已知α，β是三次函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋2bx(a，b∈R)的兩個極值點，且α∈(0

8、，1)，β∈(1，2)，則的取值范圍是________． 解析　f′(x)＝x2＋ax＋2b(a，b∈R)，由題意知α，β是函數(shù)f(x)的兩個極值點，則α，β是函數(shù)y＝f′(x)的圖象與x軸兩個交點的橫坐標．由α∈(0，1)，β∈(1，2)及二次函數(shù)圖象的特征，可知即整理得 畫出可行域，如圖(陰影部分，不包括邊界)，表示連接可行域內一點P(a，b)與點D(1，2)的直線的斜率k，又A(－3，1)，B(－2，0)，C(－1，0)，則kAD＝＝，kCD＝＝1，由圖可知kAD＜k＜kCD，則的取值范圍為.故填. 答案　 方法四　構造法 構造型填空題的求解，需要利用已知條件和結論的特殊性

9、構造出新的數(shù)學模型，從而簡化推理與計算過程，使較復雜的數(shù)學問題得到簡捷的解決，它來源于對基礎知識和基本方法的積累，需要從一般的方法原理中進行提煉概括，積極聯(lián)想，橫向類比，從曾經(jīng)遇到過的類似問題中尋找靈感，構造出相應的函數(shù)、概率、幾何等具體的數(shù)學模型，使問題快速解決． 【例4】 如圖，已知球O的球面上有四點A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，則球O的體積等于________． 解析　如圖，以DA，AB，BC為棱長構造正方體，設正方體的外接球球O的半徑為R，則正方體的體對角線長即為球O的直徑，所以|CD|＝＝2R，所以R＝，故球O的體積V＝＝π. 答案　

10、π 探究提高　構造法實質上是化歸與轉化思想在解題中的應用，需要根據(jù)已知條件和所要解決的問題確定構造的方向，通過構造新的函數(shù)、不等式或數(shù)列等新的模型，從而轉化為自己熟悉的問題．本題巧妙地構造出正方體，而球的直徑恰好為正方體的體對角線，問題很容易得到解決． 【訓練4】 已知a＝ln －，b＝ln －，c＝ln －，則a，b，c的大小關系為________． 解析　令f(x)＝ln x－x， 則f′(x)＝－1＝. 當0＜x＜1時，f′(x)＞0， 即函數(shù)f(x)在(0，1)上是增函數(shù)． ∵1＞＞＞＞0， ∴a＞b＞c. 答案　a＞b＞c 方法五　綜合分析法 對于開放性的填空題

11、，應根據(jù)題設條件的特征綜合運用所學知識進行觀察、分析，從而得出正確的結論． 【例5】 定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且f(x)＝f(2－x)，在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)．關于函數(shù)f(x)有下列結論： ①圖象關于直線x＝1對稱；②最小正周期是2；③在區(qū)間[－2，－1]上是減函數(shù)；④在區(qū)間[－1，0]上是增函數(shù)． 其中正確結論的序號是________(把所有正確結論的序號都填上)． 解析　由f(x)＝f(2－x)可知函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，故①正確；又函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，其圖象關于坐標原點對稱，而圖象又關于直線x＝1對稱，故函數(shù)f(x)必是一個周期函數(shù)，其最小正周期為4

12、×(1－0)＝4，故②不正確；因為奇函數(shù)在關于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調性是相同的，且f(x)在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，所以其在區(qū)間[－2，－1]上也是減函數(shù)，故③正確；④因為函數(shù)f(x)關于直線x＝1對稱，在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，而函數(shù)在關于對稱軸對稱的兩個區(qū)間上的單調性是相反的，故函數(shù)在區(qū)間[0，1]上為增函數(shù)，又由奇函數(shù)的性質，可得函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，0]上是增函數(shù)，故④正確．所以正確的結論有①③④.故填①③④. 答案?、佗邰? 探究提高　對于規(guī)律總結類與綜合型的填空題，應從題設條件出發(fā)，通過逐步計算、分析總結探究其規(guī)律，對于多選型的問題更要注重分析推導的過程，以防多選或漏

13、選．做好此類題目要深刻理解題意，捕捉題目中的隱含信息，通過聯(lián)想、歸納、概括、抽象等多種手段獲得結論． 【訓練5】 已知f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當x≥0時，有f(x＋1)＝－f(x)，且當x∈[0，1)時，f(x)＝log2(x＋1)，給出下列命題： ①f(2 013)＋f(－2 014)的值為0；②函數(shù)f(x)在定義域上是周期為2的周期函數(shù)；③直線y＝x與函數(shù)f(x)的圖象只有1個交點；④函數(shù)f(x)的值域為(－1，1)． 其中正確命題的序號有________． 解析　對于①，當x≥0時，有f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，f(2 013)＋f(－2 014)＝f(2 01

14、3)＋f(2 014)＝f(2×1 006＋1)＋f(2×1 007)＝f(1)＋f(0)＝0，因此①正確； 對于②，注意到f＝f＝log2 ， f＝f＝f＝－f ＝－log2， 因此f≠f，函數(shù)f(x)在定義域上不是周期為2的周期函數(shù)，②不正確；對于③，注意到當x∈[1，2)時，x－1∈[0，1)，f(x)＝－f(x－1)＝－log2x；當x≥0時，f(x＋2)＝f(x)，在坐標系內畫出函數(shù)y＝f(x)與直線y＝x的大致圖象，結合圖象可知，它們的公共點只有1個，因此③正確；對于④，當x∈[0，1)時，f(x)＝log2(x＋1)的值域是[0，1)；當x∈[1，2)時，f(x)＝－log2x的值域是(－1，0]，因此函數(shù)y＝f(x)的值域是(－1，1)，④正確．綜上所述，其中正確命題的序號有①③④. 答案?、佗邰? 1．解填空題的一般方法是直接法，除此以外，對于帶有一般性命題的填空題可采用特例法，和圖形、曲線等有關的命題可考慮數(shù)形結合法．解題時，常常需要幾種方法綜合使用，才能迅速得到正確的結果． 2．解填空題不要求求解過程，從而結論是判斷是否正確的唯一標準，因此解填空題時要注意如下幾個方面： (1)要認真審題，明確要求，思維嚴謹、周密，計算有據(jù)、準確； (2)要盡量利用已知的定理、性質及已有的結論； (3)要重視對所求結果的檢驗．