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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,*,*,用傅里葉變換解偏微分方程,一、傅里葉變換,二、偏微分方程,三、方程的求解,一、傅里葉變換,1.傅里葉級(jí)數(shù),2.積分變換,3.傅里葉變換,4.離散傅里葉變換,5.快速傅里葉變換（FFT）,傅里葉級(jí)數(shù),傅里葉級(jí)數(shù)形式,an和bn稱為f(x)的傅里葉系數(shù),傅里葉級(jí)數(shù),一般意義下：,假設(shè) f(x)是定義在(-,+)內(nèi)的實(shí)函數(shù)，它在任一有限區(qū)間l,+l內(nèi)是分段光滑的,則 f(x)可以展開為傅里葉級(jí)數(shù)：,積分變換,對(duì)于一般的積分變換，我們有如下定義：令 I 為一實(shí)數(shù)集，K(s,w)是定義在 I a,b上的函數(shù)，
2、如果函數(shù) f(w)滿足：(1)在a,b上有定義；,(2)對(duì)每個(gè)sI,K(s,w)f(w)作為wa,b的函數(shù)是可積的。,則帶有參變量的積分 就定義了一個(gè)“從 f(w)到 F(s)”的變換。這種通過積分運(yùn)算把一個(gè)函數(shù)變?yōu)榱硪粋€(gè)函數(shù)的方法稱為積分變換。,積分變換,每給定一個(gè)函數(shù) K(s,w)就確定了一個(gè)積分變換，因此積分變換是由函數(shù) K(s,w)生成的。通常稱 K(s,w)為（積分變換的）核函數(shù)，稱參與變換的 f(w)為初始函數(shù)或者原象函數(shù)，把變換成的 F(s)稱為變換函數(shù)或者象函數(shù)。積分變換是作用是把初始函數(shù)變成另一類比較容易求解的象函數(shù)，因此用積分變換求解偏微分方程的方法與我們采用對(duì)數(shù)來計(jì)算數(shù)的
3、乘、除、乘方和開方的技巧是完全類似的。,傅里葉變換,傅里葉變換,傅里葉逆變換,由傅里葉級(jí)數(shù)推導(dǎo)出傅里葉積分，再推導(dǎo)出傅里葉變換，過程如下,傅里葉變換,將上兩式代入前式，并利用三角恒等式：,可以得到,傅里葉變換,現(xiàn)在假定 f(x)在(,+)內(nèi)絕對(duì)可積，那么當(dāng) l +時(shí)，就有：,上述積分的極限為：,令,以及,當(dāng) 時(shí),，,我們把上述積分表達(dá)式稱之為傅里葉積分。,傅里葉變換,傅里葉積分的兩種形式：,一種是,另一種是,傅里葉變換,引進(jìn)新函數(shù)：,便可以得出：,傅里葉變換,(1)線性性質(zhì)。假定 a、b為任意兩個(gè)實(shí)數(shù),函數(shù) f1(x)、f 2(x)滿足傅里葉變換條件，則有：,(2)卷積性質(zhì)。假定函數(shù) f1(x
4、)、f 2(x)滿足傅里葉變換條件，則稱函數(shù),稱為 f1(x)和 f 2(x)卷積,如果 f1(x)、f 2(x)和 f1*f 2 均滿足傅里葉變換條件，那么就有,：,傅里葉變換,(3)微商性質(zhì)。如果 和 均滿足傅里葉變換條件，而且當(dāng)|x|+時(shí)f(x)0，那么：,進(jìn)一步，如果 滿足傅里葉變換條件，就有：,二、偏微分方程,1.什么是偏微分方程,2.定解條件與定解問題,3.二階線性偏微分,偏微分方程的概念,偏微分方程,是指含有未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些偏導(dǎo)數(shù)的等式。,偏微分方程的一般形式：,偏微分方程的分類,如果一個(gè)偏微分方程對(duì)未知函數(shù)及它的所有偏導(dǎo)數(shù)都是線性的，且它們的系數(shù)都是僅依賴于自變量的已
5、知函數(shù)，則這樣的偏微分方程稱為,線性偏微分方程,。,對(duì)于一個(gè)非線性偏微分方程，如果它關(guān)于未知函數(shù)的最高階偏導(dǎo)數(shù)是線性的，則稱它是,擬線性偏微分方程,。,偏微分方程的例子,定解條件,常見的定解條件，可分為,初始條件,與,邊界條件,。,定解條件,定解條件,定解條件,定解問題,一個(gè)偏微分方程與定解條件一起構(gòu)成對(duì)于具體問題的完整描述，稱為,定解問題,。,二階線性偏微分,表達(dá)式為：,其中A,B,C為參數(shù)并且取決于x,y。如果在xy平面上有 ，該偏微分方程在該平面上為二階偏微分方程?？勺冃螢椋?該二階偏微分方程可分類為：拋物線方程，雙曲線方程和橢圓方程，起分類方式為：,:橢圓方程；,:拋物線方程；,:雙曲
6、線方程。,三、傅里葉變換解偏微分,1.熱傳導(dǎo)問題,2.波動(dòng)問題,3.基本步驟,熱傳導(dǎo)問題,一維的齊次熱傳導(dǎo)方程柯西問題,熱傳導(dǎo)問題,（一）將t視為參數(shù)，對(duì)（1）（2）兩式兩端進(jìn)行對(duì)于x的傅里葉變換：,記 ,則有,熱傳導(dǎo)問題,（微分性質(zhì)）,熱傳導(dǎo)問題,（二）解（3）（4）式合并后帶有參數(shù)w的的常微,分方程的初值問題，得,熱傳導(dǎo)問題,（三）利用對(duì)w的傅里葉逆變換，來求原函數(shù),（5）式的左端：,右端：,熱傳導(dǎo)問題,考慮（5）的右端：,由于 故只考慮 ，而,熱傳導(dǎo)問題,卷積性質(zhì),所以解為,波動(dòng)問題,由于時(shí)間問題，此問題是從網(wǎng)上照抄下來的，沒有自己打。,基本步驟,一般化用傅里葉變換求解偏微分方程的 4 個(gè)基本步驟：,（1）選用偏微分方程中某個(gè)適當(dāng)?shù)淖宰兞孔鞣e分變量，對(duì)方程作傅里葉變換，將方程中的自變量消去一個(gè)，化原方程為帶參數(shù)的常微分方程,（2）對(duì)定解條件作傅里葉變換，導(dǎo)出常微分方程的初始條件；,（3）解此常微分方程的定解問題，得到原未知函數(shù)的傅里葉變換式；,（4）對(duì)該式進(jìn)行逆傅里葉變換，最后求得原問題的解。,
用傅里葉變換解偏微分方程
