高中數學（北師大版）選修2-2教案：第3章 拓展資料：導數中的思想方法

《高中數學（北師大版）選修2-2教案：第3章 拓展資料：導數中的思想方法》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數學（北師大版）選修2-2教案：第3章 拓展資料：導數中的思想方法（10頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 導數中的思想方法 在《導數》一章里，隱含著很多數學思想方法，思想是從數學內容中提煉出來的數學知識的精髓，是將知識轉化為能力的橋梁，也是解決問題的思維策略，有著廣泛的應用．所以挖掘和總結出這些數學思想方法，對我們鞏固《導數》有很大的幫助。下面就《導數》一章里的數學思想方法總結如下： 一、方程思想與待定系數法 方程思想在《導數》中到處可見，與它同時出現的是待定系數法。在確定函數的表達式或求函數表達式的系數等方面都可以根據方程的思想，通過待定系數法來實現. 【例1】 已知函數f（x）=ax3+bx2－3x在x=1處取得極值. （1）討論f（1）和f（－1）是函數f（x）的極大值還是

2、極小值； （2）過點A（0，16）作曲線y=f（x）的切線，求此切線方程. 剖析：（1）分析x=1處的極值情況，關鍵是分析x=1左右（x）的符號. （2）要分清點A（0，16）是否在曲線上. 解：（1）（x）=3ax2+2bx－3，依題意，（1）=（－1）=0，即 解得a=1，b=0. ∴f（x）=x3－3x，（x）=3x2－3=3（x+1）（x－1）. 令（x）=0，得x=－1，x=1. 若x∈（－∞，－1）∪（1，+∞），則（x）＞0， 故f（x）在（－∞，－1）上是增函數，f（x）在（1，+∞）上是增函數. 若x∈（－1，1），則（x）＜0，故f（x）在（－1，1）上

3、是減函數. 所以f（－1）=2是極大值，f（1）=－2是極小值. （2）曲線y=x3－3x，點A（0，16）不在曲線上，設切點M（x0，y0），則y0=x03－3x. ∵（x0）=3x02－3，∴切線方程為y－y0=3（x02－1）（x－x0）. 代入A（0，16）得16－x03+3x0=3（x02－1）（0－x0）. - 1 - / 10 解得x0=－2，∴M（－2，－2），切線方程為9x－y+16=0. 評述：過已知點求切線，當點不在曲線上時，求切點的坐標成了解題的關鍵. 二、轉化思想 等價轉化是把未知解的問題轉化到在已有知識范圍內可解的問題的一種重要的思想方法。通過

4、不斷的轉化，把不熟悉、不規(guī)范、復雜的問題轉化為熟悉，在《導數》一章里,等價轉化思想無處不在，我們要不斷培養(yǎng)和訓練自覺的轉化意識，將有利于強化解決數學問題中的應變能力，提高思維能力和技能、技巧。 例2（2009遼寧文科）設，且曲線y＝f（x）在x＝1處的切線與x軸平行。求a的值，并討論f（x）的單調性； 證明：當 解：（Ⅰ）.有條件知， ，故. 于是. 故當時，＜0； 當時，＞0. 從而在，單調減少，在單調增加. （Ⅱ）由（Ⅰ）知在單調增加，故在的最大值為， 最小值為. 從而對任意，，有. 而當時，.從而

5、 點評：本題考查了導數的應用以及導數判斷函數的單調性，其中第二問中證明時利用了轉化思想，轉化為差的絕對值小于最大值減去最小值。也就是不等式證明中常見的放縮法。 三、數形結合思想 數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化。 例3、已知函數，，其中 是f（x）的導函數. （1）對滿足的一切a的值，都有，求實數x的其中范圍 （2）設，當實數m在什么范圍內變化時，函數y＝f（x）的圖象與直線y＝3只有一個公共點。 解：（1）由題意令，. 對，恒有，即有，所以即 解得 故時，對滿足

6、的一切a的值，都有. （2），①當m＝0時，的圖象與直線y＝3只有一個公共點②當時，列表： x ＋ 0 － 0 ＋ 極大 極小 又因為f（x）的值域是R，且在上單調遞增，所以當時，函數y＝f（x）的圖象與直線y＝3只有一個公共點。 當時，恒有 由題意得，，即 解得 綜上m的取值范圍是 點評：利用導數確定函數的極值點，結合圖象較容易得出關于參數的不等式，從而求出參數范圍。解決本題第二問通過“以形助數，以數解形”，把交點個數轉化為兩個圖象的交點問題，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從形的直觀和數的嚴謹兩方

7、面思考問題，拓寬了解題思路。降低了問題的難度。 四、分類討論思想 分類討論是重要的數學解題方法．它把數學問題劃分成若干個局部問題，在每一個局部問題中，原先的“不確定因素”不再影響問題的解決，當這些局部問題都解決完時，整個問題也就解決了．分類討論必須給予足夠的重視，真正發(fā)揮數學解題思想作為聯系知識與能力中的作用，從而提高簡化計算能力． 例4：設，討論定義在的函數的單調性. 解： （1）若，則當時，，單調遞減；當時，，單調遞增. （2）若時，則 （ⅰ）若，則當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增. （ⅱ）若，則當時，，單調遞減.；當時，，單調遞增 （ⅲ）若，則

8、當時， ，單調遞減； 當時，，單調遞增；當時，， 單調遞減. 點評：本題重點考查通過求導研究函數的單調性，本題主要數學思想是分類討論，討論依據是包含二層：一是對求導后的二次項的系數討論；二是對兩根大小進行討論。分類要做到不重不漏，層次分明。 五、構造法 在解題時，我們常常會采用這樣的方法，通過對條件和結論的分析，構造輔助元素，它可以是一個圖形、一個方程(組)、一個等式、一個函數、一個等價命題等，架起一座連接條件和結論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數學方法，我們稱為構造法. 例5、已知函數，對于f（x）定義域內任意的x，恒成立，求a的取值范圍。 解：函數f（x）的定

9、義域為，由對任意恒成立，知對一切恒成立，即對恒成立。 設，則，由，解得 當時，解得，時， 所以h（x）在上遞增，在上遞減，故h（x）的最大值為 ，所以 點評：不等式恒成立問題，一般都會涉及到求參數范圍，往往把變量分離后可以轉化為（或）恒成立，于是m大于f（x）的最大值（或m小于f（x）的最小值），從而把不等式恒成立問題轉化為函數求最值問題，因此，利用導數求函數最值是解決不等式恒成立問題的一種重要方法?！皹嬙臁笔且环N重要而靈活的思維方式，應用好構造思想解題的關鍵是：一要有明確的方向，即為什么目的而構造；二是要弄清條件的本質特點，以便重新進行邏輯組合． 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！