高中數(shù)學(xué)（北師大版）選修2-2教案：第3章 拓展資料：導(dǎo)數(shù)中的思想方法

導(dǎo)數(shù)中的思想方法 在《導(dǎo)數(shù)》一章里，隱含著很多數(shù)學(xué)思想方法，思想是從數(shù)學(xué)內(nèi)容中提煉出來的數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，也是解決問題的思維策略，有著廣泛的應(yīng)用．所以挖掘和總結(jié)出這些數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)我們鞏固《導(dǎo)數(shù)》有很大的幫助。下面就《導(dǎo)數(shù)》一章里的數(shù)學(xué)思想方法總結(jié)如下： 一、方程思想與待定系數(shù)法 方程思想在《導(dǎo)數(shù)》中到處可見，與它同時(shí)出現(xiàn)的是待定系數(shù)法。在確定函數(shù)的表達(dá)式或求函數(shù)表達(dá)式的系數(shù)等方面都可以根據(jù)方程的思想，通過待定系數(shù)法來實(shí)現(xiàn). 【例1】 已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2－3x在x=1處取得極值. （1）討論f（1）和f（－1）是函數(shù)f（x）的極大值還是極小值； （2）過點(diǎn)A（0，16）作曲線y=f（x）的切線，求此切線方程. 剖析：（1）分析x=1處的極值情況，關(guān)鍵是分析x=1左右（x）的符號(hào). （2）要分清點(diǎn)A（0，16）是否在曲線上. 解：（1）（x）=3ax2+2bx－3，依題意，（1）=（－1）=0，即 解得a=1，b=0. ∴f（x）=x3－3x，（x）=3x2－3=3（x+1）（x－1）. 令（x）=0，得x=－1，x=1. 若x∈（－∞，－1）∪（1，+∞），則（x）＞0， 故f（x）在（－∞，－1）上是增函數(shù)，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù). 若x∈（－1，1），則（x）＜0，故f（x）在（－1，1）上是減函數(shù). 所以f（－1）=2是極大值，f（1）=－2是極小值. （2）曲線y=x3－3x，點(diǎn)A（0，16）不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)M（x0，y0），則y0=x03－3x. ∵（x0）=3x02－3，∴切線方程為y－y0=3（x02－1）（x－x0）. 代入A（0，16）得16－x03+3x0=3（x02－1）（0－x0）. - 1 - / 10 解得x0=－2，∴M（－2，－2），切線方程為9x－y+16=0. 評(píng)述：過已知點(diǎn)求切線，當(dāng)點(diǎn)不在曲線上時(shí)，求切點(diǎn)的坐標(biāo)成了解題的關(guān)鍵. 二、轉(zhuǎn)化思想 等價(jià)轉(zhuǎn)化是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識(shí)范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方法。通過不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉，在《導(dǎo)數(shù)》一章里,等價(jià)轉(zhuǎn)化思想無處不在，我們要不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練自覺的轉(zhuǎn)化意識(shí)，將有利于強(qiáng)化解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)變能力，提高思維能力和技能、技巧。 例2（2009遼寧文科）設(shè)，且曲線y＝f（x）在x＝1處的切線與x軸平行。求a的值，并討論f（x）的單調(diào)性； 證明：當(dāng) 解：（Ⅰ）.有條件知， ，故. 于是. 故當(dāng)時(shí)，＜0； 當(dāng)時(shí)，＞0. 從而在，單調(diào)減少，在單調(diào)增加. （Ⅱ）由（Ⅰ）知在單調(diào)增加，故在的最大值為， 最小值為. 從而對(duì)任意，，有. 而當(dāng)時(shí)，.從而 點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，其中第二問中證明時(shí)利用了轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為差的絕對(duì)值小于最大值減去最小值。也就是不等式證明中常見的放縮法。 三、數(shù)形結(jié)合思想 數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。 例3、已知函數(shù)，，其中 是f（x）的導(dǎo)函數(shù). （1）對(duì)滿足的一切a的值，都有，求實(shí)數(shù)x的其中范圍 （2）設(shè)，當(dāng)實(shí)數(shù)m在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，函數(shù)y＝f（x）的圖象與直線y＝3只有一個(gè)公共點(diǎn)。 解：（1）由題意令，. 對(duì)，恒有，即有，所以即 解得 故時(shí)，對(duì)滿足的一切a的值，都有. （2），①當(dāng)m＝0時(shí)，的圖象與直線y＝3只有一個(gè)公共點(diǎn)②當(dāng)時(shí)，列表： x ＋ 0 － 0 ＋ 極大 極小 又因?yàn)閒（x）的值域是R，且在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)y＝f（x）的圖象與直線y＝3只有一個(gè)公共點(diǎn)。 當(dāng)時(shí)，恒有 由題意得，，即 解得 綜上m的取值范圍是 點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的極值點(diǎn)，結(jié)合圖象較容易得出關(guān)于參數(shù)的不等式，從而求出參數(shù)范圍。解決本題第二問通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，把交點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圖象的交點(diǎn)問題，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，從形的直觀和數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)兩方面思考問題，拓寬了解題思路。降低了問題的難度。 四、分類討論思想 分類討論是重要的數(shù)學(xué)解題方法．它把數(shù)學(xué)問題劃分成若干個(gè)局部問題，在每一個(gè)局部問題中，原先的“不確定因素”不再影響問題的解決，當(dāng)這些局部問題都解決完時(shí)，整個(gè)問題也就解決了．分類討論必須給予足夠的重視，真正發(fā)揮數(shù)學(xué)解題思想作為聯(lián)系知識(shí)與能力中的作用，從而提高簡(jiǎn)化計(jì)算能力． 例4：設(shè)，討論定義在的函數(shù)的單調(diào)性. 解： （1）若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增. （2）若時(shí)，則 （?。┤?，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增. （ⅱ）若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增 （ⅲ）若，則當(dāng)時(shí)， ，單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，， 單調(diào)遞減. 點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查通過求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，本題主要數(shù)學(xué)思想是分類討論，討論依據(jù)是包含二層：一是對(duì)求導(dǎo)后的二次項(xiàng)的系數(shù)討論；二是對(duì)兩根大小進(jìn)行討論。分類要做到不重不漏，層次分明。 五、構(gòu)造法 在解題時(shí)，我們常常會(huì)采用這樣的方法，通過對(duì)條件和結(jié)論的分析，構(gòu)造輔助元素，它可以是一個(gè)圖形、一個(gè)方程(組)、一個(gè)等式、一個(gè)函數(shù)、一個(gè)等價(jià)命題等，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數(shù)學(xué)方法，我們稱為構(gòu)造法. 例5、已知函數(shù)，對(duì)于f（x）定義域內(nèi)任意的x，恒成立，求a的取值范圍。 解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?，由?duì)任意恒成立，知對(duì)一切恒成立，即對(duì)恒成立。 設(shè)，則，由，解得 當(dāng)時(shí)，解得，時(shí)， 所以h（x）在上遞增，在上遞減，故h（x）的最大值為 ，所以 點(diǎn)評(píng)：不等式恒成立問題，一般都會(huì)涉及到求參數(shù)范圍，往往把變量分離后可以轉(zhuǎn)化為（或）恒成立，于是m大于f（x）的最大值（或m小于f（x）的最小值），從而把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題，因此，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值是解決不等式恒成立問題的一種重要方法?！皹?gòu)造”是一種重要而靈活的思維方式，應(yīng)用好構(gòu)造思想解題的關(guān)鍵是：一要有明確的方向，即為什么目的而構(gòu)造；二是要弄清條件的本質(zhì)特點(diǎn)，以便重新進(jìn)行邏輯組合． 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！