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1、
第一章 計(jì)數(shù)原理
本章整合
知識(shí)網(wǎng)絡(luò)
專(zhuān)題探究
專(zhuān)題一:正確運(yùn)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理
【應(yīng)用1】 從集合{O,P,Q,R,S}與{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中各任取2個(gè)元素排成一排(字母和數(shù)字均不能重復(fù)).每排中字母O,Q和數(shù)字0至多只出現(xiàn)一個(gè)的不同排法種數(shù)是__________.(用數(shù)字作答)
解析:把排法分成三類(lèi):
①當(dāng)無(wú)字母O,Q和數(shù)字0時(shí),有排法CCA種;
②當(dāng)無(wú)字母O,Q,但有數(shù)字0時(shí),有排法CCA種;
③當(dāng)無(wú)數(shù)字0,但有字母O,Q其中之一時(shí),有排法CCCA種.
綜上,符合題意的不同排法種數(shù)是CCA+CCA+CCCA=8 424.
答案:8 4
2、24
【應(yīng)用2】 隨著人們生活水平的提高,某城市家庭汽車(chē)擁有量迅速增長(zhǎng),汽車(chē)牌照號(hào)碼需要擴(kuò)容.交通管理部門(mén)出臺(tái)了一種汽車(chē)牌照組成辦法,每個(gè)汽車(chē)牌照都必須有3個(gè)不重復(fù)的英文字母和3個(gè)不重復(fù)的阿拉伯?dāng)?shù)字,并且3個(gè)字母必須合成一組出現(xiàn),3個(gè)數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn).那么這種辦法共能給多少輛汽車(chē)上牌照?
提示:按照新規(guī)定,牌照可以分為2類(lèi),即字母組合在左和字母組合在右.確定一個(gè)牌照的字母和數(shù)字可以分6個(gè)步驟.
解:將汽車(chē)牌照分為2類(lèi),一類(lèi)的字母組合在左,另一類(lèi)的字母組合在右.
字母組合在左時(shí),分6個(gè)步驟確定一個(gè)牌照的字母和數(shù)字:
第1步,從26個(gè)字母中選1個(gè),放在首位,有26種選法;
第2步
3、,從剩下的25個(gè)字母中選1個(gè),放在第2位,有25種選法;
第3步,從剩下的24個(gè)字母中選1個(gè),放在第3位,有24種選法;
第4步,從10個(gè)數(shù)字中選1個(gè),放在第4位,有10種選法;
第5步,從剩下的9個(gè)數(shù)字中選1個(gè),放在第5位,有9種選法;
第6步,從剩下的8個(gè)字母中選1個(gè),放在第6位,有8種選法.
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,字母組合在左的牌照共有2625241098=11 232 000(個(gè)).
同理,字母組合在右的牌照也有11 232 000個(gè).
所以,共能給11 232 000+11 232 000=22 464 000輛汽車(chē)上牌照.
專(zhuān)題二:解排列組合應(yīng)用題
區(qū)別排列與組合
4、的重要標(biāo)志是“有序”與“無(wú)序”,無(wú)序的問(wèn)題用組合知識(shí)解答,有序的問(wèn)題屬于排列問(wèn)題.解含有約束條件的排列、組合問(wèn)題,應(yīng)先觀察取出的元素是否有順序,從而確定是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題,然后仔細(xì)審題,弄清怎樣才算完成一件事,從而確定是分類(lèi)完成,還是分步完成.分類(lèi)時(shí)需要滿足兩個(gè)條件:(1)類(lèi)與類(lèi)之間要互斥(保證不重復(fù));(2)總數(shù)要完備(保證不遺漏).分步時(shí)應(yīng)按事件發(fā)生的連貫過(guò)程進(jìn)行分步,做到步與步之間相互獨(dú)立、互不干擾,并確保連續(xù)性.
解決受條件限制的排列、組合問(wèn)題的一般策略有:
(1)特殊元素優(yōu)先安排的策略;
(2)正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略;
(3)相鄰問(wèn)題捆綁處理的策略;
(4)不相鄰問(wèn)題
5、插空處理的策略;
(5)定序問(wèn)題排除法處理的策略;
(6)“小集團(tuán)”排列問(wèn)題中先整體后局部的策略;
(7)平均分組問(wèn)題運(yùn)用除法處理的策略;
(8)構(gòu)造模型的策略.
【應(yīng)用1】 7名學(xué)生站成一排,下列情況各有多少種不同排法?
(1)甲、乙必須排在一起;
(2)甲不在排頭,乙不在排尾;
(3)甲、乙、丙互不相鄰;
(4)甲、乙之間必須隔一人.
解:(1)(捆綁法)先將甲、乙看作一個(gè)人,有A種排法,然后對(duì)甲、乙進(jìn)行排列,所以不同的排法有AA=1 440(種).
(2)(間接法)甲在排頭或乙在排尾排法共2A種,其中都包含甲在排頭且乙在排尾的情形,故有不同的排法A-2A+A=3 7
6、20(種).
(3)(插空法)把甲、乙、丙插入其余4名學(xué)生產(chǎn)生的5個(gè)空中,有AA=1 440(種)排法.
(4)先從其余5人中選1人有5種選法,放在甲、乙之間,將三人看作一個(gè)整體有A種排法,然后甲乙換位有A種,共有5AA=1 200(種)排法.
【應(yīng)用2】 有4個(gè)不同的球,四個(gè)不同的盒子,把球全部放入盒內(nèi).
(1)共有多少種放法?
(2)恰有一個(gè)盒不放球,有多少種放法?
(3)恰有一個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球,有多少種放法?
解:(1)一個(gè)球一個(gè)球地放到盒子里去,每只球都可有4種獨(dú)立的放法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,放法共有44=256(種).
(2)為保證“恰有一個(gè)盒子不放球”,先從四個(gè)盒子中
7、任意拿出去1個(gè),即將4個(gè)球分成2,1,1的三組,有C種分法;然后再?gòu)娜齻€(gè)盒子中選一個(gè)放兩個(gè)球,其余兩個(gè)球,兩個(gè)盒子,全排列即可.由分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有放法:CCCA=144(種).
(3)“恰有一個(gè)盒內(nèi)放2個(gè)球”,即另外三個(gè)盒子中恰有一個(gè)空盒.因此,“恰有一個(gè)盒子放2球”與“恰有一個(gè)盒子不放球”是一回事.故也有144種放法.
【互動(dòng)探究】 本例中的4個(gè)小球若只放入4個(gè)盒子中的兩個(gè)盒子,即只有兩個(gè)空盒子,共有多少種放法?
解:先從四個(gè)盒子中任意拿走兩個(gè)有C種,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:“4個(gè)球,兩個(gè)盒子,每盒必放球,有幾種放法?”從放球數(shù)目看,可分為(3,1),(2,2)兩類(lèi).第一類(lèi):可從4個(gè)球中先選
8、3個(gè),然后放入指定的一個(gè)盒子中即可,有CC種放法;第二類(lèi):有C種放法.因此共有CC+C=14(種).由分步乘法計(jì)數(shù)原理得“恰有兩個(gè)盒子不放球”的放法有C14=84(種).
專(zhuān)題三:二項(xiàng)式定理應(yīng)用
【應(yīng)用1】 8的展開(kāi)式中x4的系數(shù)是( )
A.16 B.70 C.560 D.1 120
解析:設(shè)二項(xiàng)展開(kāi)式的第(r+1)項(xiàng)含有x4,則Tr+1=C(x2)8-rr=C2rx16-3r,令16-3r=4,求得r=4.
所以x4的系數(shù)為C24=1 120.
答案:D
【應(yīng)用2】 若n展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為( )
A.10 B.20 C.3
9、0 D.120
解析:利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)和通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng).n展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為C+C+C+…+C=64=2n,解得n=6.設(shè)第(r+1)項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),則Tr+1=Cx6-rr=Cx6-2r,令6-2r=0,解得r=3,所以Tr+1=T4=C=20.
答案:B
【應(yīng)用3】 設(shè)(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,則a0+a1+a2+…+a11的值為( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
解析:采用賦值法,要使等式右邊為a0+a1+a2+…+a11,應(yīng)該令x+2=1,即x=-1,于是可得a0+a1+a2+…+a11=2(-1)9=-2.答案:A
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375