2、3>5-k>0,所以40)的左焦點(diǎn)為F1(-4,0),則m= ( )
A.2 B.3 C.4 D.9
【解析】選B.因?yàn)闄E圓x225+y2m2=1(m>0)的左焦點(diǎn)為F1(-4,0),所以c=4=25-m2,
所以m2=9,所以m=3.
4.若橢圓x216+y2m=1的焦距為6,則m的值為 ( )
A.7 B.7或25
C.25 D.7或5
【解析】選B.①設(shè)a2=16,b2=m,所以c2=16-m,
所以16-m=9,所以m=7;
②設(shè)a2=m,b2=16,則c2=m-
3、16,所以m-16=9,
所以m=25.
【誤區(qū)警示】忽視焦點(diǎn)位置,導(dǎo)致丟解
橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上主要看標(biāo)準(zhǔn)方程中x2和y2項(xiàng)分母的大小,如果x2項(xiàng)的分母大于y2項(xiàng)的分母,則橢圓的焦點(diǎn)在x軸上;反之,焦點(diǎn)在y軸上.由于本題中x2和y2項(xiàng)分母的大小不確定,因此需要進(jìn)行分類討論.
5.(2016成都高二檢測)如果橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(-1,0)和F2(1,0),P是橢圓上的一點(diǎn),且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差數(shù)列,那么橢圓的方程是 ( )
A.x216+y29=1 B.x216+y212=1
C.x24+y23=1 D.x23+y24=1
【解析】
4、選C.因?yàn)閨PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差數(shù)列,
所以|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,即a=2,c=1,
所以b2=a2-c2=3,因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上,故選C.
6.已知橢圓x23+y24=1的兩個(gè)焦點(diǎn)F1,F2,M是橢圓上一點(diǎn),且|MF1|-|MF2|=1,則△MF1F2是 ( )
A.鈍角三角形 B.直角三角形
C.銳角三角形 D.等邊三角形
【解題指南】利用條件和橢圓的定義解出|MF1|,|MF2|的長度,再判斷.
【解析】選B.由橢圓定義知|MF1|+|MF2|=2a=4,且已知|MF1|-|MF2|=1,所以|MF1|=52,|MF2|
5、=32.又|F1F2|=2c=2.所以有|MF1|2=|MF2|2+|F1F2|2.因此∠MF2F1=90,即△MF1F2為直角三角形.
7.(2016合肥高二檢測)設(shè)F1,F2是橢圓x29+y24=1的兩個(gè)焦點(diǎn),P是橢圓上的點(diǎn),且|PF1|∶|PF2|=2∶1,則△F1PF2的面積等于 ( )
A.5 B.4 C.3 D.1
【解析】選B.由橢圓方程,得a=3,b=2,c=5,
所以|PF1|+|PF2|=2a=6,又|PF1|∶|PF2|=2∶1,
所以|PF1|=4,|PF2|=2,由22+42=(25)2,
可知,△F1PF2是直角三角形,故△F1PF2的面積
6、為
12|PF1||PF2|=1242=4.
【補(bǔ)償訓(xùn)練】橢圓x29+y22=1的焦點(diǎn)為F1,F2,點(diǎn)P在橢圓上.若|PF1|=4,則|PF2|=________;∠F1PF2的大小為________.
【解析】由橢圓定義,|PF1|+|PF2|=2a=6,
所以|PF2|=2,
cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1||PF2|
=16+4-2816=-12.
所以∠F1PF2=120.
答案:2 120
8.已知橢圓x24+y2=1的焦點(diǎn)為F1,F2,點(diǎn)M在該橢圓上,且MF1→MF2→=0,則點(diǎn)M到x軸的距離為 ( )
A.233
7、 B.263 C.33 D.3
【解析】選C.由MF1→MF2→=0,得MF1⊥MF2,
可設(shè)|MF1|→=m,|MF2|→=n,在△F1MF2中,
由m2+n2=4c2得(m+n)2-2mn=4c2,
根據(jù)橢圓的定義有m+n=2a,所以2mn=4a2-4c2,
所以mn=2b2,即mn=2,
所以S△F1MF2=12mn=1.
設(shè)點(diǎn)M到x軸的距離為h,則:12|F1F2|h=1,
又|F1F2|=23,所以h=33.
【延伸探究】將本題中的橢圓方程改為x225+y29=1,其他條件不變,如何解答?
【解析】設(shè)M到F1,F2的距離分別為r1,r2,則r1+r2=10.
8、
又r12+r22=(2c)2=64,
所以(r1+r2)2-2r1r2=64即r1r2=18.令M到x軸的距離為h,
所以12r1r2=122ch,解得h=94.
【拓展延伸】揭秘焦點(diǎn)三角形
橢圓中的焦點(diǎn)三角形問題由于涉及知識面廣,探究性強(qiáng),綜合性高,成為橢圓和解三角形、三角函數(shù)以及不等式等知識交匯的命題點(diǎn),是命題的“焦點(diǎn)”.在解決與橢圓有關(guān)的焦點(diǎn)三角形問題中,常用到以下結(jié)論:
設(shè)F1,F2為橢圓焦點(diǎn),M為橢圓上的點(diǎn).
(1)|MF1|+|MF2|=2a.
(2)|MF1||MF2|≤|MF1|+|MF2|22=a2.
(3)|MF1||MF2|=2a2-|MF1|2+|M
9、F2|22.
(4)S△MF1F2=b2tanθ2(其中∠F1MF2=θ).
二、填空題(每小題5分,共10分)
9.(2016昆明高二檢測)已知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,其上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和為8,焦距為215,則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.
【解析】由已知,2a=8,2c=215,所以a=4,c=15,所以b2=a2-c2=16-15=1,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y216+x2=1.
答案:y216+x2=1
10.(2016衡水高二檢測)已知P是橢圓x24+y23=1上的一動(dòng)點(diǎn),F1,F2是橢圓的左、右焦點(diǎn),延長F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是
10、________.
【解析】依題意,|PF1|+|PF2|=2a(a是常數(shù)且a>0).
又|PQ|=|PF2|,所以|PF1|+|PQ|=2a,
即|QF1|=2a.
由題意知,a=2,b=3,c=a2-b2=4-3=1.
所以|QF1|=4,F1(-1,0),
所以動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是以F1為圓心,4為半徑的圓,
所以動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是(x+1)2+y2=16.
答案:(x+1)2+y2=16
三、解答題
11.(10分)(2016綿陽高二檢測)求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(1)焦點(diǎn)在y軸上,焦距是4,且經(jīng)過點(diǎn)M(3,2).
(2)c∶a=5∶13,且橢圓上一點(diǎn)到兩焦
11、點(diǎn)的距離的和為26.
【解析】(1)由焦距是4可得c=2,且焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-2),(0,2).
由橢圓的定義知,2a=32+(2+2)2+32+(2-2)2=8,所以a=4,所以b2=a2-c2=16-4=12.又焦點(diǎn)在y軸上,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y216+x212=1.
(2)由題意知,2a=26,即a=13,又c∶a=5∶13,所以c=5,
所以b2=a2-c2=132-52=144,
因?yàn)榻裹c(diǎn)所在的坐標(biāo)軸不確定,
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2169+y2144=1或y2169+x2144=1.
【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,且焦距為4,P為橢圓上一點(diǎn),且|F1F2|
12、是|PF1|和|PF2|的等差中項(xiàng).
(1)求橢圓的方程.
(2)若△PF1F2的面積為23,求P點(diǎn)坐標(biāo).
【解析】(1)由題意知,2c=4,c=2.
且|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8,即2a=8,所以a=4.所以b2=a2-c2=16-4=12.又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,
所以橢圓的方程為x216+y212=1.
(2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),
依題意知,12|F1F2||y0|=23,
所以|y0|=3,y0=3,
代入橢圓方程得x0216+y0212=1,得x0=23,
所以P點(diǎn)坐標(biāo)為(23,3)或(23,-3)或(-23,3)或(-23,-3).
2.
13、F1,F2是橢圓x29+y27=1的兩個(gè)焦點(diǎn),A為橢圓上一點(diǎn),且∠AF1F2=45,求△AF1F2的面積.
【解析】|F1F2|=22,|AF1|+|AF2|=6,
|AF2|=6-|AF1|,
|AF2|2=|AF1|2+|F1F2|2-2|AF1||F1F2|cos45
=|AF1|2-4|AF1|+8,(6-|AF1|)2
=|AF1|2-4|AF1|+8,|AF1|=72,
S=12722222=72.
【能力挑戰(zhàn)題】
如圖,△ABC中底邊BC=12,其他兩邊AB和AC上中線的和為30,求此三角形重心G的軌跡方程,并求頂點(diǎn)A的軌跡方程.
【解析】以BC邊所在直線為
14、x軸,BC邊中點(diǎn)為原點(diǎn),建立如圖所示坐標(biāo)系,
則B(6,0),C(-6,0),CE,BD為AB,AC邊上的中線,則|BD|+|CE|=30.
由重心性質(zhì)可知|GB|+|GC|
=23(|BD|+|CE|)=20.
因?yàn)锽,C是兩個(gè)定點(diǎn),G點(diǎn)到B,C距離和等于定值20,且20>12,
所以G點(diǎn)的軌跡是橢圓,B,C是橢圓焦點(diǎn).
所以2c=|BC|=12,c=6,2a=20,a=10,
b2=a2-c2=102-62=64,
故G點(diǎn)的軌跡方程為x2100+y264=1,去掉(10,0),(-10,0)兩點(diǎn).
又設(shè)G(x′,y′),A(x,y),則有x2100+y264=1.
由重心坐標(biāo)公式知x=x3,y=y3,
故A點(diǎn)軌跡方程為x32100+y3264=1,
即x2900+y2576=1,去掉(-30,0),(30,0)兩點(diǎn).
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人教版高中數(shù)學(xué)選修11：2.1 橢 圓 課后提升作業(yè) 九 2.1.1 Word版含解析
