人教版高中數(shù)學(xué)選修11：2.1 橢 圓 課后提升作業(yè) 九 2.1.1 Word版含解析

（人教版）精品數(shù)學(xué)教學(xué)資料 課后提升作業(yè) 九 橢圓及其標準方程 (30分鐘　60分) 一、選擇題(每小題5分,共40分) 1.設(shè)F1,F2為定點,|F1F2|=6,動點M滿足|MF1|+|MF2|=6,則動點M的軌跡是　 (　　) A.橢圓 B.直線 C.圓 D.線段 【解析】選D.因為|MF1|+|MF2|=6=|F1F2|,所以動點M的軌跡是線段. 2.設(shè)橢圓的標準方程為x2k-3+y25-k=1,若其焦點在x軸上,則k的取值范圍是　 (　　) A.k>3 B.3<k<5 C.4<k<5 D.3<k<4 【解析】選C.由題意得k-3>5-k>0,所以4<k<5. 3.(2015廣東高考)已知橢圓x225+y2m2=1(m>0)的左焦點為F1(-4,0),則m=　(　　) A.2 B.3 C.4 D.9 【解析】選B.因為橢圓x225+y2m2=1(m>0)的左焦點為F1(-4,0),所以c=4=25-m2, 所以m2=9,所以m=3. 4.若橢圓x216+y2m=1的焦距為6,則m的值為　(　　) A.7 B.7或25 C.25 D.7或5 【解析】選B.①設(shè)a2=16,b2=m,所以c2=16-m, 所以16-m=9,所以m=7; ②設(shè)a2=m,b2=16,則c2=m-16,所以m-16=9, 所以m=25. 【誤區(qū)警示】忽視焦點位置,導(dǎo)致丟解 橢圓的焦點在哪個坐標軸上主要看標準方程中x2和y2項分母的大小,如果x2項的分母大于y2項的分母,則橢圓的焦點在x軸上;反之,焦點在y軸上.由于本題中x2和y2項分母的大小不確定,因此需要進行分類討論. 5.(2016成都高二檢測)如果橢圓的兩個焦點為F1(-1,0)和F2(1,0),P是橢圓上的一點,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差數(shù)列,那么橢圓的方程是　(　　) A.x216+y29=1 B.x216+y212=1 C.x24+y23=1 D.x23+y24=1 【解析】選C.因為|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差數(shù)列, 所以|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,即a=2,c=1, 所以b2=a2-c2=3,因為焦點在x軸上,故選C. 6.已知橢圓x23+y24=1的兩個焦點F1,F2,M是橢圓上一點,且|MF1|-|MF2|=1,則△MF1F2是　(　　) A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.等邊三角形 【解題指南】利用條件和橢圓的定義解出|MF1|,|MF2|的長度,再判斷. 【解析】選B.由橢圓定義知|MF1|+|MF2|=2a=4,且已知|MF1|-|MF2|=1,所以|MF1|=52,|MF2|=32.又|F1F2|=2c=2.所以有|MF1|2=|MF2|2+|F1F2|2.因此∠MF2F1=90,即△MF1F2為直角三角形. 7.(2016合肥高二檢測)設(shè)F1,F2是橢圓x29+y24=1的兩個焦點,P是橢圓上的點,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,則△F1PF2的面積等于　(　　) A.5 B.4 C.3 D.1 【解析】選B.由橢圓方程,得a=3,b=2,c=5, 所以|PF1|+|PF2|=2a=6,又|PF1|∶|PF2|=2∶1, 所以|PF1|=4,|PF2|=2,由22+42=(25)2, 可知,△F1PF2是直角三角形,故△F1PF2的面積為 12|PF1||PF2|=1242=4. 【補償訓(xùn)練】橢圓x29+y22=1的焦點為F1,F2,點P在橢圓上.若|PF1|=4,則|PF2|=________;∠F1PF2的大小為________. 【解析】由橢圓定義,|PF1|+|PF2|=2a=6, 所以|PF2|=2, cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1||PF2| =16+4-2816=-12. 所以∠F1PF2=120. 答案:2　120 8.已知橢圓x24+y2=1的焦點為F1,F2,點M在該橢圓上,且MF1→MF2→=0,則點M到x軸的距離為　(　　) A.233 B.263 C.33 D.3 【解析】選C.由MF1→MF2→=0,得MF1⊥MF2, 可設(shè)|MF1|→=m,|MF2|→=n,在△F1MF2中, 由m2+n2=4c2得(m+n)2-2mn=4c2, 根據(jù)橢圓的定義有m+n=2a,所以2mn=4a2-4c2, 所以mn=2b2,即mn=2, 所以S△F1MF2=12mn=1. 設(shè)點M到x軸的距離為h,則:12|F1F2|h=1, 又|F1F2|=23,所以h=33. 【延伸探究】將本題中的橢圓方程改為x225+y29=1,其他條件不變,如何解答? 【解析】設(shè)M到F1,F2的距離分別為r1,r2,則r1+r2=10. 又r12+r22=(2c)2=64, 所以(r1+r2)2-2r1r2=64即r1r2=18.令M到x軸的距離為h, 所以12r1r2=122ch,解得h=94. 【拓展延伸】揭秘焦點三角形 橢圓中的焦點三角形問題由于涉及知識面廣,探究性強,綜合性高,成為橢圓和解三角形、三角函數(shù)以及不等式等知識交匯的命題點,是命題的“焦點”.在解決與橢圓有關(guān)的焦點三角形問題中,常用到以下結(jié)論: 設(shè)F1,F2為橢圓焦點,M為橢圓上的點. (1)|MF1|+|MF2|=2a. (2)|MF1||MF2|≤|MF1|+|MF2|22=a2. (3)|MF1||MF2|=2a2-|MF1|2+|MF2|22. (4)S△MF1F2=b2tanθ2(其中∠F1MF2=θ). 二、填空題(每小題5分,共10分) 9.(2016昆明高二檢測)已知橢圓的焦點在y軸上,其上任意一點到兩焦點的距離和為8,焦距為215,則此橢圓的標準方程為________. 【解析】由已知,2a=8,2c=215,所以a=4,c=15,所以b2=a2-c2=16-15=1,所以橢圓的標準方程為y216+x2=1. 答案:y216+x2=1 10.(2016衡水高二檢測)已知P是橢圓x24+y23=1上的一動點,F1,F2是橢圓的左、右焦點,延長F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么動點Q的軌跡方程是________. 【解析】依題意,|PF1|+|PF2|=2a(a是常數(shù)且a>0). 又|PQ|=|PF2|,所以|PF1|+|PQ|=2a, 即|QF1|=2a. 由題意知,a=2,b=3,c=a2-b2=4-3=1. 所以|QF1|=4,F1(-1,0), 所以動點Q的軌跡是以F1為圓心,4為半徑的圓, 所以動點Q的軌跡方程是(x+1)2+y2=16. 答案:(x+1)2+y2=16 三、解答題 11.(10分)(2016綿陽高二檢測)求滿足下列條件的橢圓的標準方程: (1)焦點在y軸上,焦距是4,且經(jīng)過點M(3,2). (2)c∶a=5∶13,且橢圓上一點到兩焦點的距離的和為26. 【解析】(1)由焦距是4可得c=2,且焦點坐標為(0,-2),(0,2). 由橢圓的定義知,2a=32+(2+2)2+32+(2-2)2=8,所以a=4,所以b2=a2-c2=16-4=12.又焦點在y軸上,所以橢圓的標準方程為y216+x212=1. (2)由題意知,2a=26,即a=13,又c∶a=5∶13,所以c=5, 所以b2=a2-c2=132-52=144, 因為焦點所在的坐標軸不確定, 所以橢圓的標準方程為x2169+y2144=1或y2169+x2144=1. 【補償訓(xùn)練】1.已知橢圓的焦點在x軸上,且焦距為4,P為橢圓上一點,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中項. (1)求橢圓的方程. (2)若△PF1F2的面積為23,求P點坐標. 【解析】(1)由題意知,2c=4,c=2. 且|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8,即2a=8,所以a=4.所以b2=a2-c2=16-4=12.又橢圓的焦點在x軸上, 所以橢圓的方程為x216+y212=1. (2)設(shè)P點坐標為(x0,y0), 依題意知,12|F1F2||y0|=23, 所以|y0|=3,y0=3, 代入橢圓方程得x0216+y0212=1,得x0=23, 所以P點坐標為(23,3)或(23,-3)或(-23,3)或(-23,-3). 2.F1,F2是橢圓x29+y27=1的兩個焦點,A為橢圓上一點,且∠AF1F2=45,求△AF1F2的面積. 【解析】|F1F2|=22,|AF1|+|AF2|=6, |AF2|=6-|AF1|, |AF2|2=|AF1|2+|F1F2|2-2|AF1||F1F2|cos45 =|AF1|2-4|AF1|+8,(6-|AF1|)2 =|AF1|2-4|AF1|+8,|AF1|=72, S=12722222=72. 【能力挑戰(zhàn)題】 如圖,△ABC中底邊BC=12,其他兩邊AB和AC上中線的和為30,求此三角形重心G的軌跡方程,并求頂點A的軌跡方程. 【解析】以BC邊所在直線為x軸,BC邊中點為原點,建立如圖所示坐標系, 則B(6,0),C(-6,0),CE,BD為AB,AC邊上的中線,則|BD|+|CE|=30. 由重心性質(zhì)可知|GB|+|GC| =23(|BD|+|CE|)=20. 因為B,C是兩個定點,G點到B,C距離和等于定值20,且20>12, 所以G點的軌跡是橢圓,B,C是橢圓焦點. 所以2c=|BC|=12,c=6,2a=20,a=10, b2=a2-c2=102-62=64, 故G點的軌跡方程為x2100+y264=1,去掉(10,0),(-10,0)兩點. 又設(shè)G(x′,y′),A(x,y),則有x2100+y264=1. 由重心坐標公式知x=x3,y=y3, 故A點軌跡方程為x32100+y3264=1, 即x2900+y2576=1,去掉(-30,0),(30,0)兩點. 關(guān)閉Word文檔返回原板塊