2、與x軸垂直 D．與x軸斜交
【解析】 f′(x0)＝0，說明曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線斜率為0，所以與x軸平行或重合．
【答案】 B
3．在曲線y＝x2上切線傾斜角為的點是( )
A．(0,0) B．(2,4)
C. D.
【解析】 ∵y＝x2，
∴k＝y(tǒng)′＝ ＝
＝ (2x＋Δx)＝2x，
∴2x＝tan＝1，
∴x＝，則y＝.
【答案】 D
4．若曲線y＝x2上的點P處的切線與直線y＝－x＋1垂直，則過點P處的切線方程為( )
A．2x－y－1＝0 B．2x－y－2＝0
C．x＋2y＋2＝0 D．2x－y＋1＝0
【解析】 與直
3、線y＝－x＋1垂直的直線的斜率為k＝2.
由y＝x2知，y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.
設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0，y0)，則2x0＝2，即x0＝1，故y0＝1.
所以過P(1,1)且與直線y＝－x＋1垂直的直線方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
【答案】 A
5．曲線y＝f(x)＝x3在點P處切線的斜率為k，當(dāng)k＝3時點P的坐標(biāo)為( )
A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1,1)
C．(2,8) D.
【解析】 設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0，y0)，
則k＝f′(x0)＝
＝
＝[(Δx)2＋3x＋3x0Δx]＝3x.
∵k＝3，∴3x＝3.
∴x
4、0＝1或x0＝－1，
∴y0＝1或y0＝－1.
∴點P的坐標(biāo)為(－1，－1)或(1,1)．
【答案】 B
二、填空題
6．已知函數(shù)y＝f(x)在點(2,1)處的切線與直線3x－y－2＝0平行，則y′|x＝2等于________．
【解析】 因為直線3x－y－2＝0的斜率為3，所以由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知y′|x＝2＝3.
【答案】 3
7．若拋物線y＝2x2＋1與直線4x－y＋m＝0相切，則m＝________. 【導(dǎo)學(xué)號：26160074】
【解析】 設(shè)切點P(x0，y0)，則Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0Δx＋2(Δx)2.
∴＝4x0＋2Δx.
當(dāng)Δx
5、無限趨近于零時，無限趨近于4x0，即f′(x0)＝4x0.y′|x＝x0＝4x0，
由?
即P(1,3)．
又P(1,3)在直線4x－y＋m＝0上，
故41－3＋m＝0，∴m＝－1.
【答案】?。?
8．若函數(shù)y＝f(x)的圖象在點P(4，f(4))處的切線方程是y＝－2x＋9，則f(4)＋f′(4)＝________.
【解析】 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，f′(4)＝－2，又點P在切線上，則f(4)＝－24＋9＝1，故f(4)＋f′(4)＝－1.
【答案】?。?
三、解答題
9．求過點P(－1,2)且與曲線y＝3x2－4x＋2在點M(1,1)處的切線平行的直線．
【解】 曲線
6、y＝3x2－4x＋2在點M(1,1)處的切線斜率
k＝y(tǒng)′|x＝1＝ ＝ (3Δx＋2)＝2.
∴過點P(－1,2)的直線的斜率為2，
由點斜式得y－2＝2(x＋1)，
即2x－y＋4＝0.
所以所求直線方程為2x－y＋4＝0.
10．已知曲線y＝2x2－7，求：
(1)曲線上哪一點的切線平行于直線4x－y－2＝0?
(2)過點P(3,9)與曲線相切的切線方程．
【解】 y′＝
＝ ＝ (4x＋2Δx)＝4x.
(1)設(shè)切點為(x0，y0)，則4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，
∴切點坐標(biāo)為(1，－5)．
(2)由于點P(3,9)不在曲線上．
設(shè)所求切線的切點為A
7、(x0，y0)，則切線的斜率k＝4x0，
故所求的切線方程為y－y0＝4x0(x－x0)．
將P(3,9)及y0＝2x－7代入上式，
得9－(2x－7)＝4x0(3－x0)．
解得x0＝2或x0＝4，所以切點為(2,1)或(4,25)．
從而所求切線方程為8x－y－15＝0和16x－y－39＝0.
[能力提升]
1．設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足 ＝－1，則過曲線y＝f(x)上點(1，f(1))的切線斜率為( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【解析】 令x→0，則2x→0，所以 ＝ ＝f′(1)＝－1，故過曲線y＝f(x)上點(1，f(1))的切線斜率
8、為－1.
【答案】 B
2.已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是下列四個圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖3－1－7所示，則該函數(shù)的圖象是( )
圖3－1－7
【解析】 由函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象自左至右先增后減，可知函數(shù)y＝f(x)圖象的切線的斜率自左至右先增大后減?。?
【答案】 B
3．如圖3－1－8是函數(shù)f(x)及f(x)在點P處切線的圖象，則f(2)＋f′(2)＝________.
圖3－1－8
【解析】 由題圖可知切線方程為y＝－x＋，
所以f(2)＝，f′(2)＝－，
所以f(2)＋f′(2)＝.
【答案】
4．已知曲
9、線y＝x2＋1，是否存在實數(shù)a，使得經(jīng)過點(1，a)能夠作出該曲線的兩條切線？若存在，求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由. 【導(dǎo)學(xué)號：26160075】
【解】 由＝＝2x＋Δx，
得y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.
設(shè)切點為P(x0，y0)，則切線斜率為k＝y(tǒng)′|x＝x0＝2x0，
由點斜式得所求切線方程為：
y－y0＝2x0(x－x0)．
又因為切線過點(1，a)，且y0＝x＋1，
所以a－(x＋1)＝2x0(1－x0)，
即x－2x0＋a－1＝0.
因為切線有兩條，
所以Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，解得a<2.
故存在實數(shù)a，使得經(jīng)過點(1，a)能夠作出該曲線的兩條切線，且a的取值范圍是(－∞，2)．
高中數(shù)學(xué)人教A版選修11 第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 學(xué)業(yè)分層測評14 Word版含答案
