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1、
高中學(xué)生學(xué)科素質(zhì)訓(xùn)練
高二數(shù)學(xué)同步測試（4）— 簡單幾何體
YCY
本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分.共150分.
第Ⅰ卷（選擇題，共50分）
一、選擇題：本大題共10個小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．一個棱柱為正四棱柱的條件是 （ ）
A．底面
2、是正方形，有兩個側(cè)面垂直于底面
B．底面是正方形，有兩個側(cè)面是矩形
C．底面是菱形，且有一個頂點(diǎn)處的三條棱兩兩垂直
D．每個底面是全等的矩形
2．下列命題中正確的一個是 （ ）
A．四棱柱是平行六面體 B．直平行六面體是長方體
C．底面是矩形的四棱柱是長方體 D．六個面都是矩形的六面體是長方體
3．在底面邊長與側(cè)棱長均為a的正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知M為A1B1的中點(diǎn)，則M
到BC的距離是 （ ）
A．a(chǎn) B．
3、a C．a(chǎn) D．a(chǎn)
4．若四棱錐的四個側(cè)面與底面所成的角都相等，則其底面四邊形必是 （ ?。?
A．矩形 B．菱形 C．圓外切四邊形 D．圓內(nèi)接四邊形
5．三棱柱的底是邊長為4的正三角形, 側(cè)棱長為8，一條側(cè)棱和底面的兩邊成45
角，則這三棱柱的側(cè)面面積為 （ ）A．32 B．4（+1） C．16（+1） D．32（+1）
6．如圖代表未折疊正方體的展開圖，將其折疊起來，變成正方體后，圖形是 （ ）
A B C D
7．正三棱錐S
4、－ABC的高SO＝h，斜高SM＝l, 點(diǎn)P在SO上且
分SO所成的比是1 ：2，則過P點(diǎn)且平行于底面的截面面積是 ?。? ）
A．(l2－h(huán)2) B．(l2－h(huán)2) C．(l2－h(huán)2) D．(l2－h(huán)2)
8．將一個邊長為a的正方體，切成27個全等的小正方體，則表面積增加了 （ ）
A． B．12a2 C．18a2 D．24a2
9．兩個平行于圓錐底面的平面將圓錐的高分成相等的三段，那么圓錐被分成的三部
分的體積的比是 （ ）
A．1∶2∶3
5、 B．1∶7∶19 C．3∶4∶5 D．1∶9∶27
10．設(shè)正多面體的每個面都是正n邊形，以每個頂點(diǎn)為端點(diǎn)的棱有m條，棱數(shù)是E，面數(shù)是
F，則它們之間的關(guān)系不正確的是 （ ）
A．nF=2E B．mV=2E C．V+F=E+2 D．mF=2E
第Ⅱ卷（非選擇題，共100分）
二、填空題：本大題滿分24分，每小題6分，各題只要求直接寫出結(jié)果．
11．長方體高為ｈ，底面積為Ｑ，垂直于底面的對角面面積為Ｍ，則長方體的全面積為 ．
12．直三棱柱ABC－A1B1C1的體積為V，P、Q分別是側(cè)棱AA1與CC1上的點(diǎn)，且AP=C1Q，
6、則四棱錐B－APQC的體積= ．
13．已知正四棱錐S－ABCD的側(cè)面與底面所成的角為60，過邊BC的截面垂直于平面ASD，交平面ASD于EF，則二面角S－BC－E的平面角為 ．
14．矩形ABCD的邊長分別為a，b(a<2b)，
E是DC的中點(diǎn)，把矩形沿AE、BE折成
一個三棱錐的三個側(cè)面(C、D重合)，則
最大的側(cè)面與底面所成的二面角的正弦
值是 ．
三、解答題：本大題滿分76分．
15．（12分）在棱錐P—ABC中，PA、PB、PC兩兩成60角，PA=a，PB=b，PC=c，求三
棱錐P
7、—ABC的體積.
16．（12分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，ABC＝60，
PC⊥平面ABCD，PC＝1，E為PA的中點(diǎn)．
（1）求證：平面EDB⊥平面ABCD；
（2）求二面角A－EB－D的正切值；
（3）求點(diǎn)E到平面PBC的距離．
17．（12分）正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=2AB，D、E分別是側(cè)棱BB1、CC1上的點(diǎn)，
且EC=BC=2BD，過A、D、E作一截面，求：
（1）截面與底面所成的角；
（
8、2）截面將三棱柱分成兩部分的體積之比.
18．（12分）C70 分子是與C60分子類似的球狀多面體結(jié)構(gòu)，它有70個頂點(diǎn)，以每個頂點(diǎn)為一端都有3條棱，各面都是五邊形或六邊形。求C70分子中五邊形和六邊形的個數(shù)．
19．（14分）斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形，頂點(diǎn)A1在底面的射影O
是△ABC的中心，異面直線AB與CC1所成的角為45.
（1）求證：AA1⊥平面A1BC；
（2）求二面角A1－BC—A的平面角的正弦值；
（3）求這個斜三棱柱的體積.
9、
20．（14分）如圖，四棱錐的底面是直角梯形，已知垂直底面，
且，．
（1）求證：平面平面；
（2）若為側(cè)棱上的一點(diǎn)，當(dāng)為何值時，
平面，證明你的結(jié)論；
（3）若，求二面角的大?。?
參考答案（四）
一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）
題 號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答 案
C
D
A
C
D
B
A
B
B
D
二、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分）
11． 12．
10、 13．30 14．
三、解答題（本大題共6題，共76分）
15．(12分) 解：如圖，設(shè)頂點(diǎn)A在平面PBC上的射影
為O，連結(jié)PO，由題知PA、PB、PC兩兩成60角，
∴PO是∠BPC的平分線，在平面PBC上，過O作OE⊥PB，
連結(jié)AE，則AE⊥PB
16．(12分) (1) 證明：連結(jié)AC交BD于O，連EO ∵ O是AC中點(diǎn)，E是PA中點(diǎn)
∴ EO∥PC ∵ PC⊥平面ABCD，∴ PC⊥AO，PC⊥BO ∴ EO⊥AO，EO⊥BO
∴ EO⊥平面ABCD ∵ EO 平面EDB ∴ 平面EDB
11、⊥平面ABCD．
(2) 解：∵ 平面EDB⊥平面ABCD，交線為BD，又AO⊥BD ∴ AO⊥平面EDB
過O作OM⊥BE于M，連AM，則AM⊥BE∴ AMO為二面角A－BE－D的平面角
在Rt△EOB中，OB＝，EO＝PC＝
∴ EB＝1 ∵ BEOM＝OEOB
∴ OM＝＝ ∵ 在Rt△AOM中，OA＝
∴ tan AMO＝ ＝ ．
(3) 解：∵ EO∥PC，PC 平面PBC，∴ EO∥平面PBC ∴ E到平面PBC的距離就是O到平面PBC的距離
∵ 平面PBC⊥平面ABCD交線為BC，過O作OF⊥BC于F
∴ OF⊥平面PBC，O
12、F即為所求
∵ 菱形ABCD中，ABC＝60
∴ OF＝OBsin OBF＝＝
即點(diǎn)E到平面PBC的距離為 ．
17．(12分) 解（1）延長ED交CB延長線于F，
為截面與底面所成二面角的平面角. 在Rt△AEC中，EC=AC，故得∠EAC=45.
（2）設(shè)AB=a，則，
.
18．(12分) 解：設(shè)有x個五邊形和有y個六邊形，則F=x+y,V=70,E=
答：略。
19．（14分）由已知可得A1-ABC為正三棱錐，∠A1AB=45
∴∠AA1B=∠AA1C=90即AA1⊥A1B,AA1⊥A1C
∴AA1⊥平面A1BC
（1）連AO
13、并延長交BC于D,則AD⊥BC，連A1D,
則∠ADA1為所求的角.由已知可得 AD＝Absin60＝,
AA1=Absin45=,∴sin∠ADA1=
（2）在Rt△AA1D中，A1D=∴A1O=
∴V柱＝S△ABCA1O=4sin60.
20．(14分) 證明：（１）平面ABCD，.又，
故平面SCD，平面SBC，故平面SBC平面SCD.
（2）時，AE//平面SCD.
法一：取SB的中點(diǎn)E，BC的中點(diǎn)F，連結(jié)AF，則AF//CD，EF//SC.
故EF//平面SCD，AF//平面SCD；平面AEF//平面SCD.
而AE平面AEF，AE//平面SCD
14、
法二：取SB、SC的中點(diǎn)分別為E、G，連結(jié)EG、DG.則GE//BC，GE=BC，
又AD//BC，AD=BC，故AD//GE且AD=GE.
于是四邊形AEGD為平行四邊形。故AE//DG，又DG平面SCD，
故AE//平面SCD.
（3）作COBD于O，又SD平面BCD，故SDCO，
從而CO平面SBD ，作CHSB于H，
連結(jié)OH，則OH為CH在平面SBD上的射影，
故OHSB，CHO為二面角C－ＳＢ－Ｄ的平面角.
設(shè)AD=a，則BC=CD=2a 于是SA=AB=a ，
故SD==2a 則 CO=a
則CH=
而sinCHO
故CHO 二面角C－SB－D為
另解：……三角形SBO是三角形SBC在平面SBD上的射影.
設(shè)二面角C－SB－D的平面角為
則cos=,故=
高二數(shù)學(xué)同步測試（4）— 簡單幾何體
