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高二數(shù)學(xué)同步測試(4)— 簡單幾何體

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高二數(shù)學(xué)同步測試(4)— 簡單幾何體

高中學(xué)生學(xué)科素質(zhì)訓(xùn)練 高二數(shù)學(xué)同步測試(4)— 簡單幾何體 YCY 本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分.共150分. 第Ⅰ卷(選擇題,共50分) 一、選擇題:本大題共10個(gè)小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.一個(gè)棱柱為正四棱柱的條件是                 ( ?。? A.底面是正方形,有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面    B.底面是正方形,有兩個(gè)側(cè)面是矩形 C.底面是菱形,且有一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩垂直   D.每個(gè)底面是全等的矩形 2.下列命題中正確的一個(gè)是                   (  ) A.四棱柱是平行六面體 B.直平行六面體是長方體 C.底面是矩形的四棱柱是長方體 D.六個(gè)面都是矩形的六面體是長方體 3.在底面邊長與側(cè)棱長均為a的正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知M為A1B1的中點(diǎn),則M 到BC的距離是                      (   ) A.a(chǎn) B.a(chǎn) C.a(chǎn) D.a(chǎn) 4.若四棱錐的四個(gè)側(cè)面與底面所成的角都相等,則其底面四邊形必是   ( ?。? A.矩形    B.菱形    C.圓外切四邊形 D.圓內(nèi)接四邊形 5.三棱柱的底是邊長為4的正三角形, 側(cè)棱長為8,一條側(cè)棱和底面的兩邊成45 角,則這三棱柱的側(cè)面面積為                  (  )A.32 B.4(+1) C.16(+1) D.32(+1) 6.如圖代表未折疊正方體的展開圖,將其折疊起來,變成正方體后,圖形是 (   ) A      B   C     D 7.正三棱錐S-ABC的高SO=h,斜高SM=l, 點(diǎn)P在SO上且 分SO所成的比是1 :2,則過P點(diǎn)且平行于底面的截面面積是       (   ) A.(l2-h(huán)2) B.(l2-h(huán)2) C.(l2-h(huán)2) D.(l2-h(huán)2) 8.將一個(gè)邊長為a的正方體,切成27個(gè)全等的小正方體,則表面積增加了 ( ) A. B.12a2 C.18a2 D.24a2 9.兩個(gè)平行于圓錐底面的平面將圓錐的高分成相等的三段,那么圓錐被分成的三部 分的體積的比是 ( ) A.1∶2∶3 B.1∶7∶19 C.3∶4∶5 D.1∶9∶27 10.設(shè)正多面體的每個(gè)面都是正n邊形,以每個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的棱有m條,棱數(shù)是E,面數(shù)是 F,則它們之間的關(guān)系不正確的是 ( ) A.nF=2E B.mV=2E C.V+F=E+2 D.mF=2E 第Ⅱ卷(非選擇題,共100分) 二、填空題:本大題滿分24分,每小題6分,各題只要求直接寫出結(jié)果. 11.長方體高為h,底面積為Q,垂直于底面的對角面面積為M,則長方體的全面積為  . 12.直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為V,P、Q分別是側(cè)棱AA1與CC1上的點(diǎn),且AP=C1Q,則四棱錐B-APQC的體積= . 13.已知正四棱錐S-ABCD的側(cè)面與底面所成的角為60,過邊BC的截面垂直于平面ASD,交平面ASD于EF,則二面角S-BC-E的平面角為 . 14.矩形ABCD的邊長分別為a,b(a<2b), E是DC的中點(diǎn),把矩形沿AE、BE折成 一個(gè)三棱錐的三個(gè)側(cè)面(C、D重合),則 最大的側(cè)面與底面所成的二面角的正弦 值是     . 三、解答題:本大題滿分76分. 15.(12分)在棱錐P—ABC中,PA、PB、PC兩兩成60角,PA=a,PB=b,PC=c,求三 棱錐P—ABC的體積. 16.(12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為1的菱形,ABC=60, PC⊥平面ABCD,PC=1,E為PA的中點(diǎn). (1)求證:平面EDB⊥平面ABCD; (2)求二面角A-EB-D的正切值; (3)求點(diǎn)E到平面PBC的距離. 17.(12分)正三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1=2AB,D、E分別是側(cè)棱BB1、CC1上的點(diǎn), 且EC=BC=2BD,過A、D、E作一截面,求: (1)截面與底面所成的角; (2)截面將三棱柱分成兩部分的體積之比. 18.(12分)C70 分子是與C60分子類似的球狀多面體結(jié)構(gòu),它有70個(gè)頂點(diǎn),以每個(gè)頂點(diǎn)為一端都有3條棱,各面都是五邊形或六邊形。求C70分子中五邊形和六邊形的個(gè)數(shù). 19.(14分)斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形,頂點(diǎn)A1在底面的射影O 是△ABC的中心,異面直線AB與CC1所成的角為45. (1)求證:AA1⊥平面A1BC; (2)求二面角A1-BC—A的平面角的正弦值; (3)求這個(gè)斜三棱柱的體積. 20.(14分)如圖,四棱錐的底面是直角梯形,已知垂直底面, 且,. (1)求證:平面平面; (2)若為側(cè)棱上的一點(diǎn),當(dāng)為何值時(shí), 平面,證明你的結(jié)論; (3)若,求二面角的大小. 參考答案(四) 一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分) 題 號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案 C D A C D B A B B D 二、填空題(本大題共4小題,每小題6分,共24分) 11. 12. 13.30 14. 三、解答題(本大題共6題,共76分) 15.(12分) 解:如圖,設(shè)頂點(diǎn)A在平面PBC上的射影 為O,連結(jié)PO,由題知PA、PB、PC兩兩成60角, ∴PO是∠BPC的平分線,在平面PBC上,過O作OE⊥PB, 連結(jié)AE,則AE⊥PB 16.(12分) (1) 證明:連結(jié)AC交BD于O,連EO ∵ O是AC中點(diǎn),E是PA中點(diǎn) ∴ EO∥PC ∵ PC⊥平面ABCD,∴ PC⊥AO,PC⊥BO ∴ EO⊥AO,EO⊥BO ∴ EO⊥平面ABCD ∵ EO 平面EDB ∴ 平面EDB⊥平面ABCD. (2) 解:∵ 平面EDB⊥平面ABCD,交線為BD,又AO⊥BD ∴ AO⊥平面EDB 過O作OM⊥BE于M,連AM,則AM⊥BE∴ AMO為二面角A-BE-D的平面角 在Rt△EOB中,OB=,EO=PC= ∴ EB=1 ∵ BEOM=OEOB ∴ OM== ∵ 在Rt△AOM中,OA= ∴ tan AMO= = . (3) 解:∵ EO∥PC,PC 平面PBC,∴ EO∥平面PBC ∴ E到平面PBC的距離就是O到平面PBC的距離 ∵ 平面PBC⊥平面ABCD交線為BC,過O作OF⊥BC于F ∴ OF⊥平面PBC,OF即為所求 ∵ 菱形ABCD中,ABC=60 ∴ OF=OBsin OBF== 即點(diǎn)E到平面PBC的距離為 . 17.(12分) 解(1)延長ED交CB延長線于F, 為截面與底面所成二面角的平面角. 在Rt△AEC中,EC=AC,故得∠EAC=45. (2)設(shè)AB=a,則, . 18.(12分) 解:設(shè)有x個(gè)五邊形和有y個(gè)六邊形,則F=x+y,V=70,E= 答:略。 19.(14分)由已知可得A1-ABC為正三棱錐,∠A1AB=45 ∴∠AA1B=∠AA1C=90即AA1⊥A1B,AA1⊥A1C ∴AA1⊥平面A1BC (1)連AO并延長交BC于D,則AD⊥BC,連A1D, 則∠ADA1為所求的角.由已知可得 AD=Absin60=, AA1=Absin45=,∴sin∠ADA1= (2)在Rt△AA1D中,A1D=∴A1O= ∴V柱=S△ABCA1O=4sin60. 20.(14分) 證明:(1)平面ABCD,.又, 故平面SCD,平面SBC,故平面SBC平面SCD. (2)時(shí),AE//平面SCD. 法一:取SB的中點(diǎn)E,BC的中點(diǎn)F,連結(jié)AF,則AF//CD,EF//SC. 故EF//平面SCD,AF//平面SCD;平面AEF//平面SCD. 而AE平面AEF,AE//平面SCD 法二:取SB、SC的中點(diǎn)分別為E、G,連結(jié)EG、DG.則GE//BC,GE=BC, 又AD//BC,AD=BC,故AD//GE且AD=GE. 于是四邊形AEGD為平行四邊形。故AE//DG,又DG平面SCD, 故AE//平面SCD. (3)作COBD于O,又SD平面BCD,故SDCO, 從而CO平面SBD ,作CHSB于H, 連結(jié)OH,則OH為CH在平面SBD上的射影, 故OHSB,CHO為二面角C-SB-D的平面角. 設(shè)AD=a,則BC=CD=2a 于是SA=AB=a , 故SD==2a 則 CO=a 則CH= 而sinCHO 故CHO     二面角C-SB-D為 另解:……三角形SBO是三角形SBC在平面SBD上的射影. 設(shè)二面角C-SB-D的平面角為 則cos=,故=

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