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1、2021-2022國家開放大學(xué)電大《微積分初步》期末試題及答案
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一、填空題(每小題4分，本題共20分)
1?函數(shù)，(x + 1) = x2+2x + 7,則/(%) =?
小，.sin 3x
2.1im = .
1。 X
3. 曲線y = x^在點(1, 1)處的切線的斜率是.
fl 2
4. J ](sinxcos2x-x )dx =?
5. 微分方程xyn + (I/)。cosx = ex+y的階數(shù)為.
二、單項選擇題(每小題4分，本題共20分)
1 .函數(shù)/(x) = ―1—的定義域是()? ln(x-l)
A. (l,+oo)
B. (0,l)
2、D(l,+8)
C. (1,2) u (2,+00)
D. (0,2) u(2,+oo)
.3
2. 當(dāng)k=()時，函數(shù)/(%)= xsm- + 1? xou在 1 = 0處連續(xù).
k, x = 0
A. 0
B. 1
C. 2
D. -1
3. 下列結(jié)論中正確的是( )?
A. X。是/3)的極值點，則工0必是/G)的駐點
B. 使f\x)不存在的點X。一定是/(%)的極值點.
C. 若.八＞0)= 0,則與必是/3)的極值點
D?X。是/（）的極值點，旦/（X。）存在，則必有/r（xo） = O
4. 若函數(shù) /（x） = x +> 0）,貝0 J /（
3、x）dx=（）.
A. x +Vx +c
1 2 2 |
B. —x + —x2 +c
2 3
C. x2 +x + c
3 1
D. x2 + — x2 +c
2
5. 微分方程* = 0的通解為（ ）?
A. y = 0
B. y - c
C. y = x + c
D. y = ex
三、 計算題（本題共44分，每小題11分）
1 ?計算極限Iim-V--5V + 6 .
13 X2 -9
2. 設(shè) y = x4x + cos3x，求?.
3. 計算不定積分j x sin xdx
4. 計算定積分j^ex（l + ex）2dx
四、 應(yīng)用題（本題16
4、分）
用鋼板焊接一個容積為411?的底為正方形的無蓋水箱，已知鋼板每平方米10元，焊接費40元，問 水箱的尺寸如何選擇，可使總費最低？最低總費是多少？
試題答案及評分標(biāo)準(zhǔn)
（僅供參考）
一、填空題（每小題4分，本題共20分）
9 1 2
1. x +6 2. 3 3.— 4. 5. 2
2 3
二、單項選擇題（每小題4分，木題共20分）
l.c
2.B
3.D
4.A
5.B
11分
9分
11分
11分
三、計算題（本題共44分，每小題11分）
1 ［占卜 i?(x —2)(x —3) r x — 2 1
1 ?解：原式=lim-
5、 =lim =-
a (x + 3)(% -3) 13 x + 3 6
3 - .
2. 解：yr = — x2 -3sin3x
2
3 -
dy = (― x2 -3sin3x)dx
3. 解：Jx sinxdx = -x cos x + J cos xdx = -x cos x + sinx + c
4. 解：+ ex)2dx = J：(i + ex)2d(l + e) = -(l + ex)3 =— 11 分
0 0 3 o 3
四、應(yīng)用題(本題16分)
4
解：設(shè)水箱的底邊長為x,高為h,表面積為S,且有h = --
x2
所以 S = x2+4xh=x2 + —,
X
b 0 16
S = 2x ——-
x
令S = 0,得x = 2, 10 分
因為本問題存在最小值，且函數(shù)的駐點唯一，所以，當(dāng)x = 2,h = 1時水箱的表面積最小.
16分
此時的費用為 51 xl0+40=160 (元)
I x=2
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