江西省信豐縣高中數(shù)學(xué) 《基本不等式1 新人教A版選修45

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1、2abab 重要不等式重要不等式定理定理：如果如果 ，那么，那么 （當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取時(shí)取“=”=”號）號）Rba,abba222ba 我們可以用比較法證明我們可以用比較法證明探究探究 你能從幾何的角度解釋定理嗎？你能從幾何的角度解釋定理嗎？ 幾何解釋課本第五頁幾何解釋課本第五頁ab22ab 動(dòng)畫動(dòng)畫幾何解釋幾何解釋221aab221ba幾何解釋幾何解釋 思考思考 1220,0,2ababab當(dāng)在中以 a, b分別代替a,b能得到什么結(jié)果?2abababba2( (當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取時(shí)取“ “ = = ”號）號） ba 如果如果 是正數(shù)，那么是正數(shù)，那么 ,a b 基本不等式基本不等

2、式定理定理（均值定理）（均值定理）概念概念如果、都是正數(shù)，我們就稱如果、都是正數(shù)，我們就稱為、為、的的算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)，稱為、的稱為、的幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)。2abab均值定理可以描述為：均值定理可以描述為： 兩個(gè)正數(shù)的兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)不小于（即大于或等于）不小于（即大于或等于）它們的它們的幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)ab.均值定理的均值定理的幾何意義幾何意義2abab2ab半徑不小于半弦DBCEoA2ababOCCDaD 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 中的中的“ “ = = ”號成立號成立 ba 時(shí)時(shí)2abab這句話的含義是這句話的含義是: 思考思考 2ba abba2當(dāng)當(dāng)ba abba2當(dāng)當(dāng)

3、 和成立的條件相同嗎？ 如： 成立，而 不成立。abba222abba2)5() 1(2)5() 1(22)5() 1(2)5() 1( 思考思考 3abba222成立的條件_abba2成立的條件_a，bRabR，222abcabbcac （1 1） 典例探討典例探討222abbcca222變式:求證:2a +2b +2c例例1 1 求證：求證：（）已知（）已知, , ,a b c d都是正數(shù)，求證都是正數(shù)，求證()()4abcd acbdabcd證明：證明：由, , ,a b c d都是正數(shù)，得都是正數(shù)，得02abcdab cd02acbdac bd()()4abcd acbdabcd()(

4、)4abcd acbdabcd即2., ,a b c巳知均為正數(shù),求證:(a+b)(b+c)(c+a)8abc1 .0 ,0 ,11: ()()4 .ababab巳 知求 證 練習(xí)練習(xí)1例例2 2 求證：求證：（1）在所有周長相同的矩）在所有周長相同的矩形中，正方形的面積最大；（形中，正方形的面積最大；（2）在所有）在所有面積相同的矩形中，正方形的周長最短。面積相同的矩形中，正方形的周長最短。變形變形.1 如果積 已知yx,都是正數(shù)，求證：xy是定值 ,P那么當(dāng) yx 時(shí),和 yx 有最小值 2P2 如果和 yx 是定值 ,S那么當(dāng) yx 時(shí),積 xy有最大值 214S證：證： Ryx, xy

5、yx21當(dāng) xyP（定值）時(shí)，2xyP 上式當(dāng) yx 時(shí)取“=” 當(dāng) yx 時(shí)， xy有最小值2 P2當(dāng) xyS (定值)時(shí)， 2Sxy 214xyS 上式當(dāng) yx 時(shí)取“=” 當(dāng) yx 時(shí)， 214xyS有最大值yx 2 P注意：注意：1、最值的含義（最值的含義（“”取最小取最小值，值，“”取最大值）取最大值） 2、用極值定理求最值的三個(gè)必要條用極值定理求最值的三個(gè)必要條件：件：一一“正正”、二、二“定定”、三、三“相等相等”2()2()abab 22a+b由 公 式 a +b2ab,ab2可 得 以 下 結(jié) 論 ：ab(1)、同 號 ；baab（ 2）、異 號 。ba練習(xí)練習(xí)21.巳知x0

6、,y0且xy=100,則x+y的最小 值是 _,此時(shí)x=_,y= _242.0,xxx巳知?jiǎng)t6的最小值是_,此時(shí)x=_.3.,2.x yxyyx巳知都是正數(shù),求證:4.證明證明210loglgxx（1）) 1(x證：證： 1x 0lgx010logx于是 210lglg210loglgxxxxlglog 10_2xx （2）(01)x解解： 10 x0lgx010logx于是 2)10log()lg(xx從而 210loglgxx？1.yxx5、求函數(shù)的值域解解:2121,0) 1 (xxxxx時(shí)當(dāng),1,0)2(Rxxx時(shí)當(dāng)2)1()(21xxxx21xx)., 22,(y解解： 1x 01x

7、011x 11xx= 112111) 1(21111xxxx 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 111xx即即 0 x時(shí) 11xx有最小值有最小值1例例3.若，則為何值時(shí)若，則為何值時(shí) 11xx有最小值，最小值為幾？有最小值，最小值為幾？1(3)821xxxx21、求函數(shù)y=的最小值；x-3、求函數(shù)y=的值域. 練習(xí)練習(xí)347(3)3aaa3、求證其中已知，求（）的最大值例例4 4 sin232sinxyx求（0 x）的最小值。 1210,( )312(2)0,( )3xf xxxxf xxx若求的最小值；若的最大值。 注意注意:利用算術(shù)平均數(shù)和集合平均利用算術(shù)平均數(shù)和集合平均數(shù)定理時(shí)一定要注意定理的條件數(shù)定

8、理時(shí)一定要注意定理的條件: 一正一正;二定二定;三相等三相等.有一個(gè)條件達(dá)不有一個(gè)條件達(dá)不到就不能取得最值到就不能取得最值. 練習(xí)練習(xí)4求求f(x)=2+log2x+5/log2x的最值的最值.例例5.5.且 1、已知、已知 Ryxba,1ybxa， 求yx 的最小值解： yx yxbxaybaybxayxyx)(1)(2)(2bayxbxayba當(dāng)且僅當(dāng) yxbxay即 bayx時(shí) 2()xyab取最小值:1abc2、 已 知31cabcab求證：1cba2)(cbacabcabcba2222221abba222bccb222caac222證明證明：cabcabcba222cabcabcba2221222cabcab33331cabcab注意注意:本題條件本題條件a,b,c為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)22219(1),1,1,1211(sin)(cos)sincosx yRxyxyba bRaab已知:且求的最小值.(2)已知:且求的最大值.(3)設(shè) 為銳角,求的最小值. 練習(xí)練習(xí)5作業(yè) 課本作業(yè)；課本作業(yè)；P1P1、