江西省信豐縣高中數(shù)學 《基本不等式1 新人教A版選修45

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1、2abab 重要不等式重要不等式定理定理：如果如果 ，那么，那么 （當且僅當（當且僅當 時取時取“=”=”號）號）Rba,abba222ba 我們可以用比較法證明我們可以用比較法證明探究探究 你能從幾何的角度解釋定理嗎？你能從幾何的角度解釋定理嗎？ 幾何解釋課本第五頁幾何解釋課本第五頁ab22ab 動畫動畫幾何解釋幾何解釋221aab221ba幾何解釋幾何解釋 思考思考 1220,0,2ababab當在中以 a, b分別代替a,b能得到什么結果?2abababba2( (當且僅當當且僅當 時取時取“ “ = = ”號）號） ba 如果如果 是正數(shù)，那么是正數(shù)，那么 ,a b 基本不等式基本不等

2、式定理定理（均值定理）（均值定理）概念概念如果、都是正數(shù)，我們就稱如果、都是正數(shù)，我們就稱為、為、的的算術平均數(shù)算術平均數(shù)，稱為、的稱為、的幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)。2abab均值定理可以描述為：均值定理可以描述為： 兩個正數(shù)的兩個正數(shù)的算術平均數(shù)算術平均數(shù)不小于（即大于或等于）不小于（即大于或等于）它們的它們的幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)ab.均值定理的均值定理的幾何意義幾何意義2abab2ab半徑不小于半弦DBCEoA2ababOCCDaD 當且僅當當且僅當 中的中的“ “ = = ”號成立號成立 ba 時時2abab這句話的含義是這句話的含義是: 思考思考 2ba abba2當當ba abba2當當

3、 和成立的條件相同嗎？ 如： 成立，而 不成立。abba222abba2)5() 1(2)5() 1(22)5() 1(2)5() 1( 思考思考 3abba222成立的條件_abba2成立的條件_a，bRabR，222abcabbcac （1 1） 典例探討典例探討222abbcca222變式:求證:2a +2b +2c例例1 1 求證：求證：（）已知（）已知, , ,a b c d都是正數(shù)，求證都是正數(shù)，求證()()4abcd acbdabcd證明：證明：由, , ,a b c d都是正數(shù)，得都是正數(shù)，得02abcdab cd02acbdac bd()()4abcd acbdabcd()(

4、)4abcd acbdabcd即2., ,a b c巳知均為正數(shù),求證:(a+b)(b+c)(c+a)8abc1 .0 ,0 ,11: ()()4 .ababab巳 知求 證 練習練習1例例2 2 求證：求證：（1）在所有周長相同的矩）在所有周長相同的矩形中，正方形的面積最大；（形中，正方形的面積最大；（2）在所有）在所有面積相同的矩形中，正方形的周長最短。面積相同的矩形中，正方形的周長最短。變形變形.1 如果積 已知yx,都是正數(shù)，求證：xy是定值 ,P那么當 yx 時,和 yx 有最小值 2P2 如果和 yx 是定值 ,S那么當 yx 時,積 xy有最大值 214S證：證： Ryx, xy

5、yx21當 xyP（定值）時，2xyP 上式當 yx 時取“=” 當 yx 時， xy有最小值2 P2當 xyS (定值)時， 2Sxy 214xyS 上式當 yx 時取“=” 當 yx 時， 214xyS有最大值yx 2 P注意：注意：1、最值的含義（最值的含義（“”取最小取最小值，值，“”取最大值）取最大值） 2、用極值定理求最值的三個必要條用極值定理求最值的三個必要條件：件：一一“正正”、二、二“定定”、三、三“相等相等”2()2()abab 22a+b由 公 式 a +b2ab,ab2可 得 以 下 結 論 ：ab(1)、同 號 ；baab（ 2）、異 號 。ba練習練習21.巳知x0

6、,y0且xy=100,則x+y的最小 值是 _,此時x=_,y= _242.0,xxx巳知則6的最小值是_,此時x=_.3.,2.x yxyyx巳知都是正數(shù),求證:4.證明證明210loglgxx（1）) 1(x證：證： 1x 0lgx010logx于是 210lglg210loglgxxxxlglog 10_2xx （2）(01)x解解： 10 x0lgx010logx于是 2)10log()lg(xx從而 210loglgxx？1.yxx5、求函數(shù)的值域解解:2121,0) 1 (xxxxx時當,1,0)2(Rxxx時當2)1()(21xxxx21xx)., 22,(y解解： 1x 01x

7、011x 11xx= 112111) 1(21111xxxx 當且僅當當且僅當 111xx即即 0 x時 11xx有最小值有最小值1例例3.若，則為何值時若，則為何值時 11xx有最小值，最小值為幾？有最小值，最小值為幾？1(3)821xxxx21、求函數(shù)y=的最小值；x-3、求函數(shù)y=的值域. 練習練習347(3)3aaa3、求證其中已知，求（）的最大值例例4 4 sin232sinxyx求（0 x）的最小值。 1210,( )312(2)0,( )3xf xxxxf xxx若求的最小值；若的最大值。 注意注意:利用算術平均數(shù)和集合平均利用算術平均數(shù)和集合平均數(shù)定理時一定要注意定理的條件數(shù)定

8、理時一定要注意定理的條件: 一正一正;二定二定;三相等三相等.有一個條件達不有一個條件達不到就不能取得最值到就不能取得最值. 練習練習4求求f(x)=2+log2x+5/log2x的最值的最值.例例5.5.且 1、已知、已知 Ryxba,1ybxa， 求yx 的最小值解： yx yxbxaybaybxayxyx)(1)(2)(2bayxbxayba當且僅當 yxbxay即 bayx時 2()xyab取最小值:1abc2、 已 知31cabcab求證：1cba2)(cbacabcabcba2222221abba222bccb222caac222證明證明：cabcabcba222cabcabcba2221222cabcab33331cabcab注意注意:本題條件本題條件a,b,c為實數(shù)為實數(shù)22219(1),1,1,1211(sin)(cos)sincosx yRxyxyba bRaab已知:且求的最小值.(2)已知:且求的最大值.(3)設 為銳角,求的最小值. 練習練習5作業(yè) 課本作業(yè)；課本作業(yè)；P1P1、