高一數(shù)學(xué)必修一-教案-2.3-二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上 2．3　二次函數(shù)與一元二次方程、不等式 第1課時　二次函數(shù)與一元二次方程、不等式 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.從函數(shù)觀點看一元二次方程．了解函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系.2.從函數(shù)觀點看一元二次不等式．經(jīng)歷從實際情景中抽象出一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實意義.3.借助一元二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系． 知識點一　一元二次不等式的概念 定義 只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其

2、中a≠0，a，b，c均為常數(shù) 知識點二　一元二次函數(shù)的零點 一般地，對于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實數(shù)x叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點． 知識點三　二次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對應(yīng)關(guān)系 判別式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(x10(a>0)的解集 {x|xx2}

3、 R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x10；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定為一元二次不等式的有________．(填序號) 答案　②④ 解析　一定是一元二次不等式的為②④. 2．不等式x(2－x)>0的解集為________． 答案　{x|0

4、，即－0； (2)3x2＋5x－2≥0； (3)x2－4x＋5>0. 解　(1)不等式可化為x2－5x＋6<0. 因為Δ＝(－5)2－4×1×6＝1>0，所以方程x2－5x＋6＝0有兩個實數(shù)根：x1＝2，x2＝3. 由二次函數(shù)y＝x2－5x＋6的圖象(如圖①)，得原不等式的解集為{x|2

5、)＝49>0， 所以方程3x2＋5x－2＝0的兩實根為x1＝－2，x2＝. 由二次函數(shù)y＝3x2＋5x－2的圖象(圖②)，得原不等式的解集為. (3)方程x2－4x＋5＝0無實數(shù)解，函數(shù)y＝x2－4x＋5的圖象是開口向上的拋物線，與x軸無交點(如圖③)．觀察圖象可得，不等式的解集為R. 反思感悟　解一元二次不等式的一般步驟 第一步：把一元二次不等式化為標(biāo)準(zhǔn)形式(二次項系數(shù)為正，右邊為0的形式)；第二步：求Δ＝b2－4ac；第三步：若Δ<0，根據(jù)二次函數(shù)圖象直接寫出解集；若Δ≥0，求出對應(yīng)方程的根寫出解集． 跟蹤訓(xùn)練1　解下列不等式： (1)4x2－4x＋1>0； (2)－x

6、2＋6x－10>0. 解　(1)∵方程4x2－4x＋1＝0有兩個相等的實根x1＝x2＝.作出函數(shù)y＝4x2－4x＋1的圖象如圖．由圖可得原不等式的解集為. (2)原不等式可化為x2－6x＋10<0， ∵Δ＝36－40＝－4<0， ∴方程x2－6x＋10＝0無實根， ∴原不等式的解集為?. 二、三個“二次”間的關(guān)系及應(yīng)用 例2　已知二次函數(shù)y＝ax2＋(b－8)x－a－ab，且y>0的解集為{x|－30的解集為{x|－3

7、－3,2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的兩根， 所以解得 所以y＝－3x2－3x＋18. (2)因為a＝－3<0，所以二次函數(shù)y＝－3x2＋5x＋c的圖象開口向下，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集為R，只需Δ≤0，即25＋12c≤0，所以c≤－. 所以當(dāng)c≤－時，－3x2＋5x＋c≤0的解集為R. 反思感悟　三個“二次”之間的關(guān)系 (1)三個“二次”中，二次函數(shù)是主體，討論二次函數(shù)主要是將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程和一元二次不等式的形式來研究． (2)討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應(yīng)的二次函數(shù)相聯(lián)系，通過二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)來解決問題，關(guān)系如下： 特別提

8、醒：由于忽視二次項系數(shù)的符號和不等號的開口易寫錯不等式的解集形式． 跟蹤訓(xùn)練2　已知關(guān)于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集為. (1)求a，c的值； (2)解關(guān)于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0. 解　(1)由題意知，不等式對應(yīng)的方程ax2＋5x＋c＝0的兩個實數(shù)根為和， 由根與系數(shù)的關(guān)系，得 解得a＝－6，c＝－1. (2)由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化為－6x2＋8x－2≥0，即3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1，所以不等式的解集為. 三、含參數(shù)的一元二次不等式的解法 例3　設(shè)a∈R，解關(guān)于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2

9、>0. 解　(1)當(dāng)a＝0時，不等式可化為x－2>0，解得x>2，即原不等式的解集為{x|x>2}． (2)當(dāng)a≠0時，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的兩根分別為2和－. ①當(dāng)a<－時，解不等式得－0時， 解不等式得x<－或x>2， 即原不等式的解集為. 反思感悟　解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟 特別提醒：對應(yīng)方程的根優(yōu)先考慮用因式分解確定，分解不開時再求判別式Δ，用求根公式計算． 跟蹤訓(xùn)練3　(1)當(dāng)

10、a＝時，求關(guān)于x的不等式x2－x＋1≤0的解集； (2)若a>0，求關(guān)于x的不等式x2－x＋1≤0的解集． 解　(1)當(dāng)a＝時，有x2－x＋1≤0，即2x2－5x＋2≤0，解得≤x≤2， 故不等式的解集為. (2)x2－x＋1≤0?(x－a)≤0， ①當(dāng)01時，a>，不等式的解集為. 綜上，當(dāng)01時，不等式的解集為. 1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是(　　) A. B. C．? D. 答

11、案　D 解析　原不等式可化為(3x＋1)2≤0， ∴3x＋1＝0，∴x＝－. 2．如果關(guān)于x的不等式x20的解集是(　　) A．{x|x≥2或x≤0} B．{x|x>2或x<0} C．{x|0≤x≤2} D．{x|0

12、2x>0，即x(x－2)>0， 得x>2或x<0，故選B. 4．不等式x2－3x－10<0的解集是________． 答案　{x|－2

13、法 (1)圖象法： ①化不等式為標(biāo)準(zhǔn)形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)； ②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并畫出對應(yīng)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的簡圖； ③由圖象得出不等式的解集． (2)代數(shù)法：將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解． 2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合，分類討論． 3．常見誤區(qū)：當(dāng)二次項系數(shù)小于0時，需兩邊同乘－1，化為正的． 1．(2019·全國Ⅰ)已知集合M＝{x|－4

14、21>m， 故原不等式的解集為，故選D. 3．二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩根為－2,3，如果a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集為(　　) A．{x|x>3或x<－2} B．{x|x>2或x<－3} C．{x|－2

15、＋3＝－，－2×3＝， ∴b＝－a，c＝－6a， ∴不等式ax2＋bx＋c>0可化為ax2－ax－6a>0， 又a<0，∴x2－x－6<0，∴(x－3)(x＋2)<0， ∴－2

16、≥2} B．{m|－2≤m≤2} C．{m|m<－2或m>2} D．{m|－20，若此不等式的解集為，則m

17、的取值范圍是________． 答案　{m|m<0} 解析　∵不等式(mx－1)(x－2)>0的解集為， ∴方程(mx－1)(x－2)＝0的兩個實數(shù)根為和2， 且解得m<0，∴m的取值范圍是m<0. 9．已知不等式x2－2x－3<0的解集為A，不等式x2＋x－6<0的解集為B. (1)求A∩B； (2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集為A∩B，求不等式ax2＋x＋b<0的解集． 解　(1)由x2－2x－3<0，得－1

18、得解得 ∴－x2＋x－2<0，∴x2－x＋2>0， ∵Δ＝1－8＝－7<0， ∴不等式x2－x＋2>0的解集為R. 10．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－30； (2)b為何值時，ax2＋bx＋3≥0的解集為R? 解　(1)由題意知1－a<0，且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的兩根， ∴解得a＝3. ∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0，即為2x2－x－3>0， 解得x<－1或x>. ∴所求不等式的解集為. (2)ax2＋bx＋3≥0，即為3x2＋bx＋3≥0， 若此不等式解集為R，

19、 則Δ＝b2－4×3×3≤0，∴－6≤b≤6. 11．下列四個不等式： ①－x2＋x＋1≥0；②x2－2x＋>0；③x2＋6x＋10>0；④2x2－3x＋4<1. 其中解集為R的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 答案　C 解析?、亠@然不可能； ②中Δ＝(－2)2－4×>0，解集不為R； ③中Δ＝62－4×10<0.滿足條件； ④中不等式可化為2x2－3x＋3<0，所對應(yīng)的二次函數(shù)開口向上，顯然不可能．故選C. 12．在R上定義運算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，則滿足x⊙(x－2)<0的實數(shù)x的取值范圍為(　　) A．{x|0

20、|－21} D．{x|－1

21、值范圍是2≤a<3. 14．已知不等式x2－2x＋5≥a2－3a對?x∈R恒成立，則a的取值范圍為________． 答案　{a|－1≤a≤4} 解析　x2－2x＋5＝(x－1)2＋4≥a2－3a恒成立， ∴a2－3a≤4，即a2－3a－4≤0， ∴(a－4)(a＋1)≤0，∴－1≤a≤4. 15．在R上定義運算：＝ad－bc.若不等式≥1對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的最大值為________． 答案　 解析　原不等式等價于x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1， 即x2－x－1≥(a＋1)(a－2)對任意x恒成立， 因為x2－x－1＝2－≥－， 所以－≥a2－a－2

22、，解得－≤a≤. 16．已知不等式ax2＋2ax＋1≥0對任意x∈R恒成立，解關(guān)于x的不等式x2－x－a2＋a<0. 解　∵ax2＋2ax＋1≥0對任意x∈R恒成立． 當(dāng)a＝0時，1≥0，不等式恒成立； 當(dāng)a≠0時，則解得0a，即0≤a<時，a